高考物理专题汇编物理微元法解决物理试题(一)及解析

高考物理专题汇编物理微元法解决物理试题(一)及解析
一、微元法解决物理试题
1．对于同一物理问题，常常可以从宏观与微观两个不同角度进行研究，找出其内在联系，从而更加深刻地理解其物理本质．正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内粒子数量n 为恒量，为简化问题，我们假定粒子大小可以忽略；其速率均为v ，且与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂
直，且速率不变．利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力f 与m
n 、和v 的关系正确的是（ ）
A ．216nsmv
B ．213nmv
C ．216nmv
D ．2
13nmv t ∆ 【答案】B
【解析】
【详解】 一个粒子每与器壁碰撞一次给器壁的冲量2I mv ∆=，如图所示，
以器壁上面积为S 的部分为底、v t ∆为高构成柱体，由题设可知，其内有
16的粒子在t ∆时间内与器壁上面积为S 的部分发生碰撞，碰撞粒子总数16
N n Sv t =⋅∆，t ∆时间内粒子给器壁的冲量21·3I N I nSmv t =∆=∆，由I F t =∆可得213
I F nSmv t ==∆，213
F f nmv S ==，故选B ．
2．一条长为L 、质量为m 的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，如图所示，在链条的另一端用水平力缓慢地拉动链条，当把链条全部拉到桌面上时，需要做多少功（ ）
A ．16mgL
B ．19mgL
C ．118mgL
D ．136
mgL 【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 悬在桌边的1
3
l 长的链条重心在其中点处，离桌面的高度： 111236
h l l =⨯= 它的质量是13
m m '= 当把它拉到桌面时，增加的重力势能就是外力需要做的功，故有
1113618
P W E mg l mgl =∆=⨯= A ．
16mgL ，与结论不相符，选项A 错误； B ．
19mgL ，与结论不相符，选项B 错误； C ．
118mgL ，与结论相符，选项C 正确； D ．136
mgL ，与结论不相符，选项D 错误； 故选C ．
【点睛】
如果应用机械能守恒定律解决本题，首先应规定零势能面，确定初末位置，列公式时要注意系统中心的变化，可以把整体分成两段来分析．
3．如图所示，有一连通器，左右两管的横截面积均为S ，内盛密度为ρ的液体，开始时两管内的液面高度差为h ．打开底部中央的阀门K ，液体开始流动，最终两液面相平．在这一过程中，液体的重力加速度为g 液体的重力势能（ ）
A ．减少214
gSh ρ
B ．增加了214gSh ρ
C ．减少了212gSh ρ
D ．增加了212
gSh ρ 【答案】A
【解析】
打开阀门K ，最终两液面相平，相当于右管内 2
h
的液体流到了左管中，它的重心下降了 2h ，这部分液体的质量122
h m V S Sh ρρρ===，由于液体重心下降，重力势能减少，重力势能的减少量：211224
p h E mgh Sh g Sgh ρρ∆='=
⋅⋅=，减少的重力势能转化为内能，故选项A 正确．
点睛：求出水的等效重心下移的高度，然后求出重力势能的减少量，再求出重力势能的变化量，从能量守恒的角度分析答题．
4．为估算雨水对伞面产生的平均撞击力，小明在大雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得10分钟内杯中水位上升了45mm ，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。

设雨滴撞击伞面后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为33
110kg/m ⨯，伞面的面积约为0.8m 2，据此估算当时雨水对伞面的平均撞击力约为（ ）
A ．0.1N
B ．1.0N
C ．10N
D ．100N
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
对雨水由动量定理得 Ft mv Shv ρ=∆=
则
0.72N 1.0N Shv
F t ρ==≈
所以B 正确，ACD 错误。

故选B 。

5．如图所示，某力10N F =，作用于半径1m R =的转盘的边缘上，力F 的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F 做的总功应为（ ）
A ．0J
B ．20J π
C ．10J
D ．20J 【答案】B
【解析】
【详解】
把圆周分成无限个微元，每个微元可认为与力F 在同一直线上，故
W F s ∆=∆
则转一周中做功的代数和为
2π20πJ F R W ⨯==
故选B 正确。

故选B 。

6．如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是
A ．重力做功为mgL
B ．绳的拉力做功为0
C ．空气阻力做功0
D ．空气阻力做功为12
F L π-
阻 【答案】ABD
【解析】
A 、如图所示，重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方向上的位移为A
B 在竖直方向上的投影L ，
所以W G =mgL ．故A 正确．B 、因为拉力F T 在运动过程中始终与运动方向垂直，故不做功，即W FT =0．故B 正确．C 、F 阻所做的总功等于每个小弧段上F 阻所做功的代数和，即12F 1=()2
W F x F x F L π-∆+∆+⋅⋅⋅=阻阻阻阻，故C 错误，D 正确；故选ABD ． 【点睛】根据功的计算公式可以求出重力、拉力与空气阻力的功．
7．如图所示，摆球质量为m ，悬线长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A ．重力做功为mgL
B ．悬线的拉力做功为0
C ．空气阻力F 阻做功为－mgL
D ．空气阻力F 阻做功为－
12F 阻πL 【答案】ABD
【解析】
【详解】
A ．由重力做功特点得重力做功为：
W G ＝mgL
A 正确；
B ．悬线的拉力始终与v 垂直，不做功，B 正确；
CD ．由微元法可求得空气阻力做功为：
W F 阻＝－
12
F 阻πL C 错误，D 正确．
8．我们一般认为，飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其它星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计．此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动．
设想有一质量为M 的宇宙飞船，正以速度0v 在宇宙中飞行．飞船可视为横截面积为S 的圆柱体（如图所示）．某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云．
(1)已知在开始进入尘埃云的一段很短的时间t ∆内，飞船的速度减小了v ∆，求这段时间内飞船受到的阻力大小．
(2)已知尘埃云公布均匀，密度为ρ．
a ．假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面．若不采取任何措施，飞船将不断减速．通过监测得到飞船速度的倒数“1/v ”与飞行距离“x ”的关系如图所示．求飞船的速度由0v 减小1%的过程中发生的位移及所用的时间．
b ．假设尘埃与飞船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用．为了保证飞船能以速度0v 匀速穿过尘埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器．已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子，形成向外发射的高速（远远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力的．若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为m ，加速电压为U ，元电荷为e ．在加速过程中飞行器质量的变化可忽略．求单位时间内射出的阳离子数．
【答案】（1）v M
t ∆∆（2）a ．019919602M v S ρ b 202Sv eum ρ 【解析】
(1)飞船的加速度∆=∆v a t
，根据牛顿第二定律有：=f Ma 则飞船受到的阻力v f M t
∆=∆ (2)a ．对飞船和尘埃，设飞船的方向为正方向，根据动量守恒定律有：
0099()
100Mv M Sx v ρ=+，解得99M x S ρ= 由1x v -图象可得：0
011100299t x v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 解得：019919602M t v S ρ=
； b ．设在很短时间t ∆内，与飞船碰撞的尘埃的质量为m '，所受飞船的作用力为f '，飞船与尘埃发生弹性碰撞，
由动量守恒定律可知：012Mv Mv m v =+' 由机械能守恒定律可知：222012111222Mv Mv m v '=+ 解得202M v v M m '
=+ 由于M m >'，所以碰撞后尘埃的速度202v v =
对尘埃，根据动量定理可得：2f t m v ∆=''，其中0m Sv t ρ'=∆
则飞船所受到的阻力202f Sv ρ'=
设一个离子在电场中加速后获得的速度为v
根据动能定理可能得：e 212
mv =
设单位时间内射出的离子数为n ，在很短的时间t ∆内， 根据动量定理可得：F t n tmv ∆=∆
则飞船所受动车=F nmv ，飞船做匀速运动，F f '=，
解得：202n Sv eum
ρ=
9．守恒定律是自然界中某种物理量的值恒定不变的规律，它为我们解决许多实际问题提供了依据．在物理学中这样的守恒定律有很多，例如：电荷守恒定律、质量守恒定律、能量守恒定律等等．
(1)根据电荷守恒定律可知：一段导体中通有恒定电流时，在相等时间内通过导体不同截面的电荷量都是相同的．
a ．己知带电粒子电荷量均为g ，粒子定向移动所形成的电流强度为，求在时间t 内通过某一截面的粒子数N ．
b ．直线加速器是一种通过高压电场使带电粒子加速的装置．带电粒子从粒子源处持续发出，假定带电粒子的初速度为零，加速过程中做的匀加速直线运动．如图l 所示，在距粒子源l 1、l 2两处分别取一小段长度相等的粒子流I ∆．已知l l :l 2=1:4，这两小段粒子流中所含的粒子数分别为n 1和n 2，求：n 1:n 2．
(2)在实际生活中经常看到这种现象：适当调整开关，可以看到从水龙头中流出的水柱越来越细，如图2所示，垂 直于水柱的横截面可视为圆．在水柱上取两个横截面A 、B ，经过A 、B 的水流速度大小分别为v I 、v 2；A 、B 直径分别为d 1、d 2，且d 1：d 2=2:1．求：水流的速度大小之 比v 1:v 2．
(3)如图3所示：一盛有水的大容器，其侧面有一个水平的短细管，水能够从细管中喷出；容器中水面的面积S l 远远大于细管内的横截面积S 2;重力加速度为g ．假设 水不可压缩，而且没有粘滞性．
a ．推理说明：容器中液面下降的速度比细管中的水流速度小很多，可以忽略不计：
b ．在上述基础上，求：当液面距离细管的高度为h 时， 细管中的水流速度v ．
【答案】（1）a. Q It N q q
== ；b. 21:2:1n n =；（2）221221::1:4v v d d ==；（3）a.设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v ．按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv =,由12S S >>，可得12v v <<．所以：液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计． b. 2v gh 【解析】
【分析】
【详解】
(1)a.电流Q I t
=， 电量Q Nq = 粒子数Q It N q q =
= b.根据2v ax = 可知在距粒子源1l 、2l 两处粒子的速度之比：12:1:2v v =
极短长度内可认为速度不变，根据x v t ∆=
∆， 得12:2:1t t = 根据电荷守恒，这两段粒子流中所含粒子数之比：12:2:1n n =
(2)根据能量守恒，相等时间通过任一截面的质量相等，即水的质量相等.
也即：2
··4
v d π处处相等 故这两个截面处的水流的流速之比：221221::1:4v v d d == (3)a .设：水面下降速度为1v ，细管内的水流速度为v .
按照水不可压缩的条件，可知水的体积守恒或流量守恒，即：12Sv Sv =
由12S S >>，可得:12v v <<.
所以液体面下降的速度1v 比细管中的水流速度可以忽略不计.
b.根据能量守恒和机械能守恒定律分析可知：
液面上质量为m 的薄层水的机械能等于细管中质量为m 的小水柱的机械能． 又根据上述推理：液面薄层水下降的速度1v 忽略不计，即10v =.
设细管处为零势面，所以有：21002
mgh mv +=
+ 解得:2v gh =
10．随着电磁技术的日趋成熟，新一代航母已准备采用全新的电磁阻拦技术，它的原理是，飞机着舰时利用电磁作用力使它快速停止。

为研究问题的方便，我们将其简化为如图所示的模型。

在磁感应强度为B 、方向如图所示的匀强磁场中，两根平行金属轨道MN 、PQ 固定在水平面内，相距为L ，电阻不计。

轨道端点MP 间接有阻值为R 的电阻。

一个长为L 、质量为m 、阻值为r 的金属导体棒ab 垂直于MN 、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好。

飞机着舰时质量为M 的飞机迅速钩住导体棒ab ，钩住之后关闭动力系统并立即获得共同的速度v ,忽略摩擦等次要因素，飞机和金属棒系统仅在安培力作用下很快停下来。

求 （1）飞机在阻拦减速过程中获得的加速度a 的最大值；
（2）从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中R 上产生的焦耳热Q R ； （3）从飞机与金属棒共速到它们停下来的整个过程中运动的距离x 。

【答案】（1）22()()B L v R r M m ++；（2）2()2()R M m v R r ++；（3）22
()()M m R r v B L ++ 【解析】
【分析】
【详解】
（1）产生的感应电动势
E BLv =
E I R r
=+ ()F BIL M m a ==+安
解得
22()()
B L v a R r M m =++ （2）由能量关系；
21()2
M m v Q += R R Q Q R r
=
+ 解得 2
()2()
R R M m v Q R r +=+ （3）由动量定理
-t t 0()I BIL BLq M m v ⋅∆=-⋅∆=-=-+安
()M m v q BL
+= q I t =⋅∆
E I R r
=+ E t ∆Φ=
∆ BLx ∆Φ=
解得
22
()()M m R r v x B L ++=
11．从微观角度看，气体对容器的压强是大量气体分子对容器壁的频繁撞击引起的．正方体密闭容器中有大量运动的粒子，每个粒子质量为m ，单位体积内的粒子数量为n ．为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略；速率均为v ，且与容器壁各面碰撞的机会均等；与容器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与容器壁垂直，且速率不变．
①利用所学力学知识，推导容器壁受到的压强p 与m 、n 和v 的关系；
②我们知道，理想气体的热力学温度T 与分子的平均动能E 1成正比，即1T E α=，式中α
为比例常数．请从微观角度解释说明：一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与热力学温度成正比．
【答案】①2
13p nmv = ②见解析
【解析】 【分析】 【详解】
①在容器壁附近，取面积为S ，高度为v t ∆的体积内的粒子为所究对象，该体积中粒子个数2N Sv tn =∆
可以撞击任一容器壁的粒子数为
21
6
N ， 一个撞击容器壁的气体分子对其产生的压力用F 来表示，根据牛顿第三定律容器壁对气体分子的力大小也为F ， 由
2F t mv ∆=
得
2mv
F t
=
∆ 容器壁受到的压强
22
1163
N F
p nmv S ==
②由
21
3p nmv =，k T aE =，212
k E mv = 解得
23n
p T a
=
所以一定质量的理想气体，体积一定时，其压强与热力学温度成正比．
12．如图所示，两平行金属导轨置于水平面（纸面）内，导轨间距为l ，左端连有一阻值为R 的电阻。

一根质量为m 、电阻也为R 的金属杆置于导轨上，金属杆右侧存在一磁感应强度大小为B 、方向竖直向下的匀强磁场区域。

给金属杆一个瞬时冲量使它水平向右运动，它从左边界进入磁场区域的速度为v 0，经过时间t ，到达磁场区域右边界（图中虚线位置）时速度为
01
2
v 。

金属杆与导轨始终保持垂直且接触良好，它们之间的动摩擦因数为μ。

除左端所连电阻和金属杆电阻外，其他电阻忽略不计。

求： (1)金属杆刚进入磁场区域时的加速度大小；
(2)金属杆在滑过磁场区域的过程中金属杆上产生的焦耳热。

【答案】(1)2202B L v a g mR
μ=+ ；(2)22222
010*******m gRv m g Rt Q mv B L μμ-=-
【解析】 【分析】 【详解】
(1)金属杆刚进入磁场时，有
0E BLv =
E
I R R
=
+ F BIL =
金属杆受到的摩擦力
f m
g μ=
由牛顿第二定律
F f ma +=
联立以上各式解得
2202B L v a g mR
μ=+
(2)当金属杆速度为v 时，产生的感应电动势
E BLv '=
感应电流
E I R R
'
'=
+ 金属杆受到的安培力
F BI L ''=
由动量定理得，在短暂的时间t ∆内有
F t mg t m v μ-∆-∆=⋅∆
即
222B L v t mg t m v R
μ∆--∆=∆
对上式从金属杆进入磁场到离开磁场，求和得
220022
B L x v mgt m mv R μ--=- 式中x 为磁场区域左、右边界的距离，解得
022
2mv R mgtR
x B L
μ-=
设此过程中金属杆克服安培力做功为W ，由动能定理
02
2011
222
v W mgx m mv μ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭
联立以上各式，解得此过程中回路产生的焦耳热为
222220022
328m gRv m g Rt
Q W mv B L μμ-==-
则金属杆产生的焦耳热为
22222
01022
232162m gRv m g Rt Q Q mv B L μμ-==-
13．如图所示，有一条长为L 的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，斜面倾角为θ。

当链条由静止开始释放后，链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度。

1
(3sin )2
gL θ-【解析】 【分析】 【详解】
设斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面，链条的总质量为m 。

开始时斜面上的那部分链条的重力势能为
p1sin 24mg L
E θ=-
⋅ 竖直下垂的那部分链条的重力势能为
p224
mg L E =-
⋅ 则开始时链条的机械能为
1p1p2sin (1sin )24248mg L mg L mgL E E E θθ⎛⎫
=+=-
⋅+-⋅=-+ ⎪⎝⎭
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能为
p 2
L
E mg =-⋅
动能为
2k 12
E mv =
则机械能为
22k p 11
22
E E E mv mgL =+=
- 因为链条滑动过程中只有重力做功，所以其机械能守恒，则由机械能守恒定律得21E E = 即
211(1sin )228
mgL
mv mgL θ-=-+ 解得
1
(3sin )2
v gL θ=
-
14．某游乐园有一喷泉，竖直向上喷出的水柱将一质量为m = 0.9kg 的开口向下的铁盒倒顶在空中，铁盒稳定悬停。

已知水以恒定的速率v 0 = 10m/s ，从截面积为S = 100mm 2的管口中持续不断的喷出；盒子内底平整（盒子底面积大于与盒底接触的水流截面积）；水流向上运动并冲击铁盒后，在竖直方向水的速度减为零，在水平方向朝四周均匀散开。

忽略空气阻力，已知水的密度为ρ = 1⨯103 kg/m 3，重力加速度g = 10m/s 2，求： （1）喷泉单位时间内喷出的水的质量；
（2）盒子在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度h ；
【答案】（1）1kg ；（2）0.5m 【解析】 【分析】 【详解】
（1）设Δt 时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV ，质量为Δm ，则
ΔΔm V ρ=
0ΔΔV v S t =
由以上两式代入数据得
340Δ1101010kg/s 1kg/s Δm
v S t
ρ-==⨯⨯⨯= 故单位时间内从喷口喷出的水的质量为1 kg/s 。

（2）设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h ，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v 。

对于∆t 时间内冲击铁盒的水∆m ，由动能定理得
22
011ΔΔΔ22m gh m v m v '''-=-
ΔΔm vS t ρ'=
以竖直向上为正方向，设水对玩具的作用力的大小为F ，∆t 时间内冲击铁盒的水的质量忽略不计，由动量定理得
Δ0ΔF t m v '-⋅=-
由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得
F mg =
联立以上各式代入数据得
200.5m 22v m h g S
ρ=-=
故盒子在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度为0.5m 。

15．物理问题的研究首先要确定研究对象。

当我们研究水流，气流等流体问题时，经常会选取流体中的一小段来进行研究，通过分析能够得出一些有关流体的重要结论。

(1)水刀应用高压水流切割技术，相比于激光切割有切割材料范围广，效率高，安全环保等优势。

某型号水刀工作过程中，将水从面积S =0.1mm 2的细喷嘴高速喷出，直接打在被切割材料表面，从而产生极大压强，实现切割。

已知该水刀每分钟用水600g ，水的密度为ρ=1.0×103kg/m 3
a ．求从喷嘴喷出水的流度v 的大小
b ．高速水流垂直打在材料表面上后，水速几乎减为0，求水对材料表面的压强p 约为多大。

(2)某同学应用压力传感器完成以下实验，如图所示，他将一根均匀的细铁链上端用细线悬挂在铁架台上，调整高度使铁链的下端刚好与压力传感器的探测面接触。

剪断细线，铁链逐渐落在探测面上。

传感器得到了探测面所受压力随时间的变化图象。

通过对图线分析发现铁链最上端落到探测面前后瞬间的压力大小之比大约是N 1:N 2=3:1，后来他换用不同长度和粗细的铁链重复该实验，都得到相同结果。

请你通过理论推理来说明实验测得的结果是正确的。

（推理过程中需要用到的物理量的字母请自行设定）
【答案】(1)a ．100m/s ；b ．71.010pa p =⨯；(2)推导过程见解析 【解析】 【分析】 【详解】
(1)a ．一分钟喷出的水的质量为
m Svt ρ=
所以水的流速
m v St
ρ=
代入数据得v =100m/s
b ．选取t ∆时间内打在材料表面质量为m ∆水为研究对象，由动量定理得
0F t mv -∆=-∆
其中
=m Sv t ρ∆∆
解得
2F Sv ρ=
根据牛顿第三定律，材料表面受到的压力
'F F =
则根据压强公式
'F p S
=
解得
27=1.010pa p v ρ=⨯
(2)设单位长度的铁链质量为b ，铁链的长度为L ，当铁链的最上端落在探测面上时，选取铁链最上端的一小段为研究对象，其质量
m bv t ∆=∆
根据自由落体运动公式
22v gL =
可知速度
2v gL 设向下方向为正，根据动量定理
0F t mv -∆=-∆
解得
2F bgL =
则探测面受到铁链最上端的压力为
'2F F bgL ==
此时除最上端外，其余部分的铁链已经落在探测面上，对探测面的压力
N mg =
其中
m bL =
则探测面受到的总压力为
1'3N N F bgL =+=
当铁链的最上端落在探测面上后，探测面受到的压力大小
2N mg bgL ==
由此可得
1231
N N = 实验结果是正确的。