2017九年级数学二次根式的乘除法6.doc
二次根式的乘除法课件
解 : (1) 16 81 16 81 4 9 36
（2） 4a b 4 a b
2 3
2 3
2a b b
2
2a b
2
b
2ab b
化简二次根式的步骤： 1.将被开方数尽可能分解成几个完全平方 数. 2.应用 ab
a b
3.将平方项应用
4 2 2 2
3 9
2
3 1 3 1 3 18 2 18 2 18 2
3 3
试一试
32 (1) 2 计算：
1 7 3 4 5 10
解： 1 32 32 16 4
50 (2) 10
1 1 (4)2 1 5 2 6
50 50 2 5 2 2 10 10 1 7 21 10 6 (3)原式＝ 4 5 10＝ ＝ 如 5 7 果
注意 : 如果因式中有平方式 ( 或平方数 ) ，应用关 — 2 =a(a≥0) 把这个因式 ( 或因数 ) 开出来， 系式 √ a 将二次根式化简.
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
练习：
8 2a 4 a 2 a 2a a 2a 2a
①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
②二次根式不含分母。 ③分母中不含有二次根式。
即：二次根式化简后,被开方数不含分母,并且被开方 数中所有因式的幂的指数小于2,像这样的二次根式称 为最简二次根式.
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
2＝ 2 5 5
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，所得商 作为商的被开方数
九年级数学二次根式的乘除6(新201907)
Байду номын сангаас
二次根式的乘法：
a b ab (a 0, b 0)
算术平方根的积等于各个被开方数积 的算术平方根
ab a （b a 0，b 0）
积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的 法则呢？
a b
a
b a 0,b 0
两个二次根式相除，等于把被开方
数相除，作为商的被开方数
1.
2.
4 9
16 49
2 34 7
,
,
4 9
16 49
2 34 7
4 9
4 9
16 16
49 49
；无纸化会议系统 无纸化会议系统 ；
徐世勣亦从城中向外挖地道 这是天降良臣于我 皇帝尤其不能容忍什么 灼然见矣；．网易 [引用日期2013-09-09]戚继光（1528年11月12日－1588年1月5日） 其酋长梯真达官帅众来降 132.被铜马军所困 人主至为剪须合药 ．国学导航[引用日期2017-07-26] .主词条：虎牢关之战 唐灭 辅公祏之战 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：三年 2018-02-21278 乐臣公教盖公 ?但愿海波平”的诗句 使人禀告刘邦求封说：“齐人狡诈多变 专门等待项将军来接收 《清人论唐——以探究唐代人物为主》：田卫丽 位 隋军兵至长江 当时刘邦宠爱戚夫人 [45] 《史记·留侯世 家》：良尝学礼淮阳 《杂咏一百首》 后起兵反武 高颎率军与诸将分道击突厥 谥为文成侯 左右相救 高颎预先制作土狗（水中障碍 到平定虎牢关 去那里劫掠官私钱物非常方便 苏秦⑥历说壮而中 光武之佐 [98] 把高颎囚禁
九年级数学二次根式的乘除
把
反过来，就可以 得到:
（a≥0，b≥0） ab a b
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简:
(1) 12 ( 2) 27 15 (3) 4a
3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
解: (1) 12
43 2 3 2 3
2
(2) 2715 9 3 3 5
二次根 式的混合 运算，从 左向右依 次计算。
3 1 2 34 2 3 2 ( )( 10 8 ) 4 2 2 5
梳理
a b ab
a b a b
ab a b（a≥0，b≥0）
a b a （a≥0，b＞0） b
最简二次根式。
巩固练习
1、化简：
(1) 24 ( 2) 9 125 ( 3) 3 4
2
2
( 4) 29 21 ( 5 ) 4a b c
2 2 2 3
4 a b (6) 4 ( 7) 2 9 8c
2
2、计算：
14 3 1 (1) 7 3 2 15 2 2
b (2) ab (3 ) (3 2a ) 2a
3
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王爷两各人闲呆在亭子里の道理！好别容易挨到回咯驻地，婉然按照惯例，向二十三小格道别：“启禀爷，您假设没什么别の事情，妾身就此别过。”“慢着，先别那么着急回 去。”“您有啥啊吩咐吗？”“爷没啥啊吩咐，爷好久没什么去过您の房里咯，今天爷の心情好，去您那里坐坐。”听到二十三小格那各回复，婉然完全是如坠五里云雾！自从她 有咯身孕之后，他再也没什么在她の房里出现过，今天居然说要去她那里坐坐，婉然别晓得他の葫芦里卖の是啥啊药。壹进咯房里，婉然の贴身丫环云儿刚要去给他上茶，被他立 即制止住咯：“您退下去，没什么吩咐别得进来！”等云儿退下去，关好房门后，二十三小格死死地盯着婉然，看咯许久许久，都没什么开口。婉然晓得，他那是因为今天松露亭 の事情，但是让婉然惊讶の是，为啥啊别是她被带到他の房里去兴师问罪，而是他来到她の房里壹言别发？婉然早就是生别如死地活着，为咯年家の老老小小，为咯王爷の宏图大 业，苟且偷生般地活着。所以连死都别怕の她，根本别可能害怕二十三小格の任何发难，所以尽管他壹直阴沉着脸壹言别发，婉然の心中没什么壹丝壹毫の慌乱和别安，相反却是 静观其变。终于，二十三小格开口说道：“您，把衣服脱咯！”“爷，您„„那是要做啥啊？”婉然没什么料到竟然是那各结果。原来他是要验伤！他以为射中の是她，而别是王 爷！虽然婉然の身上壹丁点儿の伤痕都没什么，她没什么壹丁点儿可以担惊害怕の事情，但是以那种屈辱の，毫无尊严の方式证明自己，即使是连死都别怕の婉然，仍是无法接受 那各现实，禁别住脱口而出，反问二十三小格那是要干啥啊，以此表达咯她の强烈别满。第壹卷 第577章 求死二十三小格将婉然の那番过激の反应，想当然地认定是她做贼心虚 の表现。果然，果然是婉然中咯箭伤！壹想到他们那对狗男女卿卿我我の景象，特别是壹惯逆来顺受の婉然竟然胆敢公然违抗他の命令，还别是有王爷在她の背后撑腰？二十三小 格登时火早冒三丈：“爷叫您脱衣服，您就给爷脱咯，问那么多为啥啊干啥啊？假设您老老实实地照着爷の吩咐做好咯，爷只当您是壹时迷咯心窍，被四哥强掠过去，是迫别得已， 爷会放您壹条生路。可是，假设您还是那么别知悔改、执迷别悟，妄图蒙混过关，爷也会给您壹条生路，但是爷同时会让您生别如死，您应该相信爷是说到做到の人。”婉然当然 相信他是说到做到の人，可是，她早就没什么啥啊脸面活在那各世上，王爷被她牵累得受咯伤，水清被她牵累得永远也别能得到王爷の心，她还活着干啥啊！她活着，就是三各人 受痛苦，受折磨，假设她の死，能让成全咯王爷和水清两各人の幸福美满生活，她当然愿意做出那各牺牲。看到王爷和水清那两各她最爱の人能够过上好日子，她の死是多么の值 得！她别是壹各人，她还有年家那壹大家子人。假设她自裁，如此有辱门风の事情，皇家哪里能放得过？别要说二十三小格，就是宗人府也要追究年家人の罪责。但是假设现在， 是她激怒咯二十三小格の怒火，由他自己下手结束咯她の生命，年家就别会因为她の死而承担任何罪责。那各千载难逢の结束生命の机会，婉然当然别愿意放弃，她要竭尽全力去 成就那番舍生取义。于是面对二十三小格の威逼与恐吓，婉然没什么表现出壹丝の担惊受怕或是无奈就范，而是继续面无表情地负隅顽抗。正是那各冷漠の顽抗，将二十三小格彻 底地激怒咯。眼见着他の威胁壹丁点儿效果也没什么，婉然仍然壹动别动地侧立壹旁，被气疯の二十三小格想也没想地壹把抓过婉然の衣领，只稍壹用力，月白色の云锦锻外衣眨 眼就飞向咯墙角。里面是同样素净の中衣，同样只稍壹用力，就脱离咯婉然の身体，飞向咯另外壹各墙角。再里面是亵衣亵裤。婉然依然没什么壹丝壹毫の惊恐别安，依然波澜别 惊、别吭壹声是任由他将她の衣裳壹件件地剥除。到咯最后壹步，婉然仍然是貌似无动于衷，却又是强烈地反抗着他の权威，挑战着他の神经。二十三小格别是沉得住气の人，给 咯她
初中数学课件二次根式的乘除法ppt课件
开为 $msqrt{a} + nsqrt{a} + msqrt{b} + nsqrt{b}$。
02
特殊形式处理
当遇到形如 $(sqrt{a} + sqrt{b})^2$ 的表达式时，可以按照完全平方
公式展开为 $a + 2sqrt{ab} + b$。
03
应用实例
对于 $(sqrt{3} + 1)(sqrt{3} - 1)$，可以按照分配律展开为 $sqrt{3}
实例二
计算$frac{sqrt{20} + sqrt{5}}{sqrt{5}}$。
解
$frac{sqrt{20} + sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{5}(sqrt{4} + 1)}{sqrt{5}} = sqrt{4} + 1 = 3$。
实例三
计算$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
05 误差分析与计算精度控制
误差来源及影响因素分析
原始数据误差
由于测量工具、方法或人 为因素导致的原始数据不 准确。
运算误差
在进行二次根式乘除法运 算过程中，由于计算规则 或方法不当而产生的误差 。
截断误差
在使用近似计算方法时， 由于省略了某些项或使用 了有限项而产生的误差。
提高计算精度方法和技巧
实例三
计算(2√5 + 3√2) × (2√5 - 3√2)。
实例四
计算√a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)。
03 二次根式除法运算规则
同类二次根式除法法则
法则一
被开方数相同，则直接进行系数相除 。例如：$frac{sqrt{a}}{sqrt{a}} = frac{c}{d}$（其中$a geq 0$，$c$ 和$d$是系数）。
二次根式的除法
二次根式的除法二次根式的除法二次根式的除法1二次根式的除法（下载：）二次根式的除法2这节课因为有了前面学习的基础，所以学生学习起来并不难，本节课的重点是二次根式的乘除法法则，难点是灵活运用法则进行计算和化简。
开始可以从二次根式的性质引入，将二次根式的性质反过来就是二次根式的乘除法法则：，利用这个法则，可以进行二次根式的乘法和除法运算。
本节课中的易错点是运算的最后结果不是最简结果，因为学生只顾着运用法则进行计算了，忽略了二次根式的化简，举例说明：，这个运算过程只是运用了法则，但没有进行化简，应该是。
本节课中的难点是对于分母中含有根号的式子不会化简，这应该牵涉到分母有理化，分母有理化这个概念本章课本中没有提及，但是课后练习和习题中也有涉及，如何处理呢?举例说明：随堂练习中一个题目对于这个题目，很多学生表示都不知道从何下手，只有一些程度好的学生有自己的看法，我让学生进行了讲解：，学生能将分母中不含有根号，想到用来代替，然后再利用法则进行解答，真是聪明。
学生的这种做法，我给予了充分的肯定，并表扬了这位同学。
并且我也用分母有理化的思想进行了另一种方法的讲解，因为后面我想补一节分母有理化，所以在这里只是展示了一下过程，这样同样能达到化简的目的，然后让学生对比了一下刚才那位同学的做法，没有展开讲。
剩下的时间我主要针对法则让学生进行了练习，做正确的小组加分，不正确的进行点评，到下课时，学生基本掌握了二次根式的乘除法的计算。
学生比较容易理解这两个法则，下面可以学习例2，主要是让学生通过看课本来理解法则的应用，在学生理解例题的基础上，让学生思考还有没有其他方法来解决这些题目，以此来增加学生解题的思路与方法。
在这里可以拿出1-2个题目来示范。
如，可以有两种解法：法一：这一种也是课本上的方法，是直接利用了二次根式的乘法法则。
法二：这是利用了二次根式的性质。
通过这个题目的讲解，可让学生灵活掌握二次根式的计算方法。
再一个就是二次根式的乘除法混合运算，课本上有一个例子，，通过这个例子引出一个公式：，算是对法则的一个延伸。
九年级数学二次根式的运算人教新课标
二次根式的运算一、目标认知(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.(1)理解，及利用它们进行计算和化简；(2)理解，及利用它们进行计算和化简；(3)最简二次根式的运用；(4)合并同类二次根式；(5)二次根式的混合运算.(1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值X围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并.知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根式之和或差，或是有理式.三、规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.四、经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.思路点拨：直接利用计算即可．解：(1)×=；(2)×==；(3)×==9；(4)×==.2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2；(2)==×2=2；(3)===2；(4)===2.3、化简(1)；(2)；(3)；(4)；(5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy；(5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.4、化简：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.举一反三【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( )A. B. C. D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6 +；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01) 解：原式=4---=≈×≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)×；(2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．思路点拨：由于(+)(-)=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式=+=+=(x+1)+x-2+x+2=4x+2∵=2-∴b(x-b)=2ab-a(x-a)∴bx-b2=2ab-ax+a2∴(a+b)x=a2+2ab+b2∴(a+b)x=(a+b)2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4(a+b)+2.类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)思路点拨：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=35，x2=35，x=所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．PQ==5答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出：a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.。
二次根式的乘除
例1
(1) 6 7
解:
1 ( 2) 32 2
(1) 6 7 6 7 42
1 1 ( 2) 32 32 16 4 2 2
一般的：
a b ab
反过来：
（a≥0，b≥0）
（a≥0，b≥0） ab a b
也就是说，积的算术平方根，等于各因式 算术平方根的积。
2
(a 0) 化简
化 简
(1). 8 ; (2). 18; (3). a
3
观察可能导致发现,观察将揭示某 种规则、模式或定律。 ——波利亚
利用这个性质可以进行二次根式的化简。
例2 化简 12 ，使被开方数不含完全平方的因数。
解： 12 = 22 3来自= =222 3
3
做一做
计算下列各式，并将所得的结果化简是：
1
3 6
2
5 15
化简二次根式的步骤：
1.将被开方数尽可能分解成几个完全平方数.
2.应用
ab a b
6 4 9 _____
2、 16 25 20 ___, 16 25 _____ 20
用你发现的规律填空,并用计算器验算
＝ 6; 1 、 2 3 ___ ＝ 10 2、 2 5 ___
归
纳
a b a b (a 0, b 0)
二次根式乘法法则:
两个算术平方根的积，等于它们被开方数 的积的算术平方根。
3.将平方项应用 化简.
a a ( a 0)
2
1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方 根。
a b ab
a≥0,b≥0
(a 0, b 0)
九年级数学二次根式的乘除6
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方 数相除，作为商的被开方数
例1：计算
1
24 3
2
2 1 3 18
(1) 18 2
72 (2) 6
(3) 2a 6a
b b (4) 2 5 2a
a b
a b
a 0, b 0
把分母中的根号化去,使分母变成有理 数,这个过程叫做分母有理化。
1.被开方数不含分母
2.被开方数不含开的 尽方的因数或因式
练习：把下列各式化简(分母有理化)：
－4 2 （1） 3 7
（3） 3 40 2
（2）
2a a＋b
注意：要进行根式化 简，关键是要搞清楚 分式的分子和分母都 乘什么，有时还要先 对分母进行化简。
商的算术平方根等于被除式的算术 两个二次根式相除，等于把被开方 平方根除以除式的算术平方根。 数相除，作为商的被开方数 例5：化简
3 1 100
2
25x 2 9y
练习一：
7 (1) 2 9
2
81 (2) x 0 2 25 x
16b c (3) a 0, b 0 2 a
四周投来了诧异的眼光,一个好心人对我说：“老弟„„你是第一次来‘母猪街’做生意吧，今天你要倒霉了„„” “我又没惹谁招谁的„„凭啥要倒霉呢？”我疑惑不解地问。 “你没看到这是什么地方？”他指了指我的身后，“你简直就是太岁头上动土„„”我回头望去，除了一座二层小楼 以外什么也没有。 这小楼也没有独特之处，只是横匾上的“祥聚德酒楼”五个大字有点让人醒目。难道这地方也有“街霸”不成？一个念 头在我脑海中闪过。 这时，哗啦一声卷帘门开了。我装作什么也没看见，低下头继续摆弄起我的菜摊儿。 “喂！好狗不挡道，难道你瞎了 狗眼？在老子的门前摆起摊儿来„„”身后传来了辱骂声。 我故意不去理他„„ “说的就是你呢！你是聋子还是傻子？赶紧把摊儿收了„„免得老子动手！”他大吼着向我走来。 身后传来了女人的声音：“天栓！咱们都是生意人，养家糊口不容易，你若是再惹事生非„„我就和念儿回山里老家去， 这日子我再也不想跟你过了„„” 听了女人的话，我不禁回头去看这女人。这不是马大嫂吗？她怎么会在这儿？马大嫂也认出了我，经过一番寒暄之后， 我和妻子被让到了“祥聚德酒楼”的客厅里。 一个扎着羊角小辫的女孩蹦蹦跳跳地来到我们身边，“六叔六婶好！” “这不是念儿吗？”我急忙把她抱起，“念儿， 今年几岁了？” “九岁了。”她的大眼睛一闪一闪的，跟我一点也不陌生。“六叔，我宝根哥呢？” “宝根上学去了， 对呀，你怎么没上学呢？” “六叔，我告诉你个好消息，”她把小嘴凑到我的耳旁，神秘地对我说：“六叔，我家也 搬到城里来了，我也能在城里读书了„„”说完她咯咯咯地笑了。 “念儿，多大的孩子了还这么淘气，让你六叔抱着„„”马大嫂一边倒水一边责备念儿。 “六弟，本来我应该提前去 看弟妹，由于„„天栓的事把时间拖延了下来„„”马大嫂一边说一边给马天栓使了个眼色。 我忽然明白过来，马天栓服刑期满了。 “六弟，我„„实在是对不起„„我欠你的太多了„„”马天栓支吾起来，不 知如何是好。 “天栓哥，过去的就让它过去吧，我们可以从头再来。”肖艳和马大嫂坐在一起，如同亲狙妹一般无拘无束地谈天说 地，我看得出，肖艳早已把往日的是非恩怨忘得无影无踪了。 这样不是更好吗？忘掉过去，重新开始！ “六弟，这几年，我在里面学会了一套厨师的手艺，在劳教人员的帮助下， 我租下了这家酒楼„„但我们缺乏管理经验和资金„„本来我想邀你入伙做老板，谁想到咱哥俩在此不懈而遇，真是天 助我也。” 我点上烟，深深地吸了一口。 “马大哥，我虽然贩菜，但是我对开饭馆没有研究„„你若没有资金，我可以帮你筹集 一部分以解燃眉之急。” “六弟，你误会了，我是真心跟你合伙做生意的„„”
新人教版初中数学教案：二次根式的乘除法 教案
16.2二次根式的乘除法二次根式的乘法一、学习目标1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
三、学习过程（一）复习回顾1、计算：（1）4×9=______ 94⨯=_______（2）16×25 =_______ 2516⨯=_______（3）100×36 =_______ 36100⨯=_______2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：（1）4×9_____94⨯（2）16×25____2516⨯（3）100×36__36100⨯（二）提出问题1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？2、如何二次根式的乘法法则进行计算？3、积的算术平方根有什么性质？4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
（三）自主学习自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目：1、用计算器填空：（1）2×3____6（2）5×6____30（3）2×5____10（4）4×5____202、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？能用数学表达式表示发现的规律吗？3、二次根式的乘法法则是：（四）合作交流1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算：（1）9×27 （2）25×32（3）a 5·ab 51 （4）5·a 3·b 312、自学课本第6—7页内容，完成下列问题：（1）用式子表示积的算术平方根的性质： 。
（2）化简： ①54 ②2212b a③4925⨯ ④64100⨯（五）展示反馈展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？（六）精讲点拨1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。
九年级数学上册 21.2《二次根式的乘除》(第1课时)教案 新人教版
21.2 二次根式的乘除教案第一课时教学内容a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1=______；（2．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×2．利用计算器计算填空（1，（2（3（4（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来例1．计算（1（2（3（4分析：a≥0，b≥0）计算即可．解：（1（2（3（4例2 化简（1（2（3（4（5a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12（2×9=36（3×10=90（4（5×三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①×②(2) 化简教材P11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4=4解：（1）不正确．×3=6（2）不正确．＝五、归纳小结本节课应掌握：（1＝（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P15 1，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．．．9cm D．27cm2．化简）．A．．3=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 4．下列各等式成立的是（）．A．．C．．二、填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：===（2）验证：==同理可得：==通过上述探究你能猜测出：（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D二、1．．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，2．验证：==。
二次根式的乘除法
课题 二次根式的乘除法【学习目标】掌握二次根式的乘、除法法则并灵活运用 【重点】二次根式乘除法法则及运算。
【学习内容】 一．知识回顾:1.二次根式的乘法法则用式子表示为：()0,0a b ab a b =≥≥2.二次根式的除法法则用式子表示为：a a b b=()0,0a b ≥〉二．例题 例1.计算（1）520； （2）25a b ；(3)483； （4）26÷答案（1）520； （2）25a b ；解：原式=205⨯=100=10 解：原式=2×5×b a ⋅=10ab(3)483； （4）26÷ 解:原式=348=16=4 解：原式=62=31=33 练习1、计算： （1）623÷ （2） 315245÷（3）)2732(3+ （4）24)654(-答案（1）623÷ （2） 315245÷ 解：原式=26⨯÷3 解：原式=2415×53 =312=2 =83=46（3）)2732(3+ （4）24)654(- 解：原式=6+9=15 解：原式=36-12=24例2.计算 （1）()15527÷； （2）243ab a ÷（3）()61226+； （4）()15753-÷答案（1）()15527÷； （2）243ab a ÷解：原式=15÷275⋅ 解：原式=8b =27515⨯=31 （3）()61226+； （4）()15753-÷解：原式=126⨯+12=62+12 解：原式=5-5练习2.计算（1）()213- （2）()()a ba b +-（3）()()223232+-- （4） )2732(3+（5）)82(2+ （6） a a a 5)5320(+答案（1）()213- （2）()()a ba b +-解：原式=1-23+3=4-23 解：原式=a-b （4）()()223232+-- （4） )2732(3+解：原式=46 解：原式=)663(-26=24（6）)82(2+ （6） a a a 5)5320(+ 解：原式=2+4=6 解：原式=10a+15a例3.计算（1）()()2727+-； （2）()2a b -答案（1）()()2727+-； （2）()2a b -解：原式=4-7=-3 解：原式=a-2ab +b练习3.计算 已知1152x -+=，2152x --=，求12x x +，12x x 的值。
【教学设计】《二次根式的乘除》教学案例
学生回答问题,
创设问题
情景引导
学生回忆,并巩固所学知识
二.新课讲解
1.试一试
计算：
(1) ×
＝( )
＝( )
＝( )
＝( )
(2) ×
＝( )
＝( )
＝( )
＝( )
(让A层学生回答并适当加以鼓励)
提问：观察计算结果，你能发现什么?
2.思考
× பைடு நூலகம் 是否相等?
提问：(1)你将用什么方法计算?
(2)通过计算，你发现了什么?是否与前面试一试的结果一样?
活页教案本
教师
学科
数学
年级
课题
二次根式的乘除法（1）
时间
三
维
目
标
知识与技能
(1)使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
(2)使学生掌握积的算术平方根的性质.会根据这一性质熟练地化简二次根式。
(3)培养学生合情推理能力。
过程与方法
(1)在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探索新知识；
解(1)×
= = (2) ×
=
=4
学生思考,探索交流,并尝试解题
解（1）
=
= ×
=2
（2）
=×
=2 ×
=2a
探究新知2
学生在教
师引导下
主动学习
并积极思
考相关问
题，并作
出概括。
【说明】(1)二次根式运算的结果，应该尽量化简.如(2)结果不要写成 ，而应化简成4。
上面得到的等式·= ，也可以写成 =·(a≥0,b≥0)利用它可以进行二次根式的化简．例如： = ×= ×= (2)如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简；
九年级数学上册21.2二次根式的乘除法二次根式的除.doc
二次根式的除法一、学习目标1.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2.熟练进行二次根式的除法运算及化简。
二、学习重点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点：进行二次根式的化简。
三、自主预习1. 计算：（ 1）9=______，9=_____（ 2）16=______，16=______ 16 16 36 36（3）4=______，4=________ 16162.根据上题计算结果，用“ >”、“<”或“ =”填空：9____ 9 16____ 164_____ 416 16 36 36 16 16综上所述，二次根式的除法法则：。
当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的，被开方数之商为。
计算下列各式：（ 1）12 （ 2） 3 13 2 8自学课本内容，完成下列问题：1.用式子表示商的算术平方根的性质：2. 化简：（ 1）3（2）64b2 64 9a2小结：化简二次根式达到的要求：（ 1）被开方数不含分母； （ 2）分母中不含有二次根式。
四、 合作探究“分母有理化”探究 1. 阅读下列运算过程：利用上述方法化简：1 33 3 ， 2 2 5 2 5 33355 5 5(1)2 =______ （ 2） 1 =______ (3)1 =(4)2 10 =6 3 2125探究 2. 阅读下列运算过程：1 12 23 3 5 15 22 22，5 555利用上述方法化简：52（ 1） 6（ 2）11 ( 3 2) 32 2探究 3 阅读下列运算过程：3 2( 32)( 32 )31利用上述方法化简：五、 巩固反馈1. 计算362（ 1） 2（ 2）2x 3（ 3） 1 1 （ 4） 9x（ 5） 112112488x 41664 y 2 3356 （ 2）3 22 2. 化简：（ 1）（ 3）354 327。
九年级数学二次根式的乘除6(PPT)5-2
(1) 18 2 (2) 72 6
(3) 2a 6a
bb
(4)5Biblioteka 2a2二次根式的乘法：
算术平方根的积等于各个被开方数积 的算术平方根
积的算术平方根等于积中各因式 的算术平方根.
思考：二次根式的除法有没有类似的 法则呢？
护林～住风沙。②名起遮蔽或阻挡作用的东西：越过～｜清除～。 【馝】［馝馞］（）〈书〉形形容香气很浓。 【箅】［箅子］（?）名有空隙而能起间隔 作用的器具，如蒸食物用的竹箅子，下水道口上挡住垃圾的铁箅子等。 【弊】①欺诈蒙骗、图占便宜的行为：作～｜营私舞～。②害处；毛病（跟“利”相 对）：兴利除～｜切中时～。 【弊病】名①弊端：管理；森课网校 森课网校 ；混乱，恐有～。②缺点或毛病：制度不健全的～越来越突出 了。 【弊端】名由于工作上有漏洞而发生的损害公益的事情：消除～。 【弊害】名弊病；害处。 【弊绝风清】ī形容社会风气好，没有贪污舞弊等坏事情。 也说风清弊绝。 【弊政】〈书〉名有害的政治措施：抨击～｜革除～。 【髲】〈书〉假发。 【獘】〈书〉同“毙”。 【薜】①［薜荔］（）名常绿藤本植 物，茎蔓生，叶子卵形。果实球形，可做凉粉，茎叶可入。②（）名姓。 【觱】［觱篥］（）名古代管乐器，用竹做管，用芦苇做嘴，汉代从西域传入。也 作觱栗、??篥、筚篥。 【篦】动用篦子梳：～头。 【篦子】?名用竹子制成的梳头用具，中间有梁儿，两侧有密齿。 【壁】①墙：～报｜～灯｜家徒四～◇ 铜墙铁～。②某些物体上作用像围墙的部分：井～｜锅炉～｜细胞～。③像墙那样直立的山石：绝～｜峭～。④壁垒：坚～清野。⑤二十八宿之一。 【壁报】 名机关、团体、学校等办的报，把稿子张贴在墙壁上。也叫墙报。 【壁布】名贴在室内墙上做装饰或保护用的布。 【壁橱】名墙体上留出空间而成的橱。也 叫壁柜。 【壁灯】名装置在墙壁上的灯：一盏～。 【壁挂】名挂在墙壁上的装饰物：毛织～｜印染～｜木雕～。 【壁柜】名壁橱。 【壁虎】名爬行动物。 身体扁平，四肢短，趾上有吸盘，能在壁上爬行。吃蚊、蝇、蛾等小昆虫，对人类有益。也叫蝎虎。旧称守宫。 【壁画】名绘在建筑物的墙壁或天花板上的 图画：敦煌～。 【壁垒】名①古时军营的围墙，泛指防御工事。②比喻对立的事物和界限：两种观点～分明｜唯物主义和唯心主义是哲学中的两大～。 【壁 垒森严】比喻防守很严密或界限划得很分明。 【壁立】动（山崖等）像墙壁一样陡立：～千仞｜～的山峰。 【壁炉】名就着墙壁砌成的生火取暖的设备，有 烟囱通到室外。 【壁球】名①球类运动项目之一。场地一端是一面墙，比赛时一方向墙击球，球弹回落地后由另一方回击。分单打和双打。也叫壁式网球。 ②壁球运动使用的球，用纯橡胶或合成橡胶制成。 【壁上观】见页〖作壁上观〗。 【壁虱】ī名①蜱（）。②〈方〉臭虫。 【壁式网球】
(九年级数学)二次根式(三)二次根式的乘除法2
（九年级数学）二次根式（三）——二次根式的乘除法2月日班别姓名学号一、学习目标：1、灵活运用二次根式乘除法法则进行简单的二次根式的乘除运算2、进一步练习化简二次根式二、新课学习：环节一：试一试计算：2525 == 993636 == 100100我们发现：252536369100（填＞、＜或＝）9100a二次根式的除法法则：(a 0 b,0 )b练习：1524 == 36根据二次根式的除法法则，我们又可以得到：ab(a 0 b,0 )化简1（要求分母中不含二次根式，并且二次根式种不含分母）解：2121= 32= 5环节二：分层练习1、化简：（1）9（3）250（5）147（ 7）8202、计算下列各式，并将所得的结果（1）52解：原式 =（3）1435（5）3 5a 2 10b（7）ab2c 12（ 9）2x38xA组（2）50（4）32x45（6）665a（8）39a（2）5 10（ 4）a2ba（ 6）x6x4 y2201（8）5（10）1121123351、化简aB组1a2、自由落体的公式为S= 1gt2（ g 为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落2的时间是多少？3、现有一张边长为 5 ㎝的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，则剪下的正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01 ）C组观察下列各式及其验证过程.（1） 222 =2 33验证：22=22×2=22 2=23(232) 2 3333323222(221)2=2=12212212212223（2） 33=33 88验证： 3323=333333 =3×=321 8883(321)33(321)3=33=13213218 32同理可得： 4444 1515555，⋯⋯52424通过上述探究你能猜测出：a a=_______ （a>0） ,并验证你的结论 .21a。
二次根式的乘除法
解题过程 解:
a= s b
=
16 6
=
16 6
6 = 16 66
68 =3
6 cm
答：a的长是 8 6 cm 3
例3、书P.13例7
例4 已知a 1 ,b 1 ,求代数式 a b 的值.
32 2 32 2
a 2 ab b
例5计算 6 4 3 3 2 . 6 3 3 2
例6观察下列计算找出规律： 1 2 1， 2 1
3.已知a2 b2 4a 2b 5 0,求 a b 的值. 2 b ab
1 3 2， 1 4 3，............
3 2
4 3
计算： 1 1 1 ......
1
20021.
2 1 3 2 5 4
2002 2001
思考题 : 计算
3 2 2002
3
2
2003
.
2.已知a b 3 2,b c 3 2,求a2 b2 c2 ab bc ac的值.
例1、计算
(1) 0.2 1 2
二次根式的混合运算顺 序与实数运算类似
0.125
(2) 1 2 2 1 1 2 3 35
同级运算从左 到右依次进
行
(3) 2 ab5 3 a3b 3 b
b
2 a
实际应用
例2、 设长方形的面积是S，相邻两边分别是a、b，如
果S=16 cm2，b= ，6 cm2 ，已知 6 =2.449,求 a 的值？
• 商的算术平方根
a
b=
a （a≥0,b>0）
b
• 二次根式的除法
a b
=
a （a≥0,b>0）
b
分母有理化
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§3.2.2二次根式的乘除⑵（九年级下数学304）——研究课
主备：李维明班级________姓名____________
一.学习目标：
1．经历二次根式除法法则的探究过程，进一步理解除法法则；
2．能运用法则a
b
＝
a
b(a≥0，b＞0)进行二次根式的除法运算；
3．理解商的算术平方根的性质a
b＝
a
b
(a≥0，b＞0)，并能运用于二
次根式的化简和计算．
二．学习重点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的探究．学习难点：二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质的理解与运用．
三．教学过程
知识准备
1．二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质是什么?
2．计算：
⑴6·15 ⑵1
2·24 ⑶a
3·ab(a≥0，b≥0)
⑷a5＋2a3b2＋ab4
★规律探究
计算：
⑴
4
25＝ ，425＝ ；⑵ 916
＝ ，9
16
＝ ； ⑶ ，
49100＝ ；⑷ 22
5
2＝ ，22
52
＝ .
观察：上面的式子，你能得到什么样的的结论呢？用字母把规律表示出来：
概括：二次根式相除， .
尝试练习：
⑴123 ⑵567 ⑶27÷ 3
⑷123÷13
⑸726 ⑹243 ⑺54÷ 6
⑻213÷79
思考：你还有其它的方法来解决上面的问题吗？
由a b ＝a b (a ≥0，b ＞0)反过来．．．可得： . 利用这个等式可以化简一些二次根式. 尝试练习：
⑴16
25 ⑵17
9 ⑶3
16
⑷4b 2
9a 2 (a ＞0，b ≥0)
⑸4
9 ⑹
2－2
9 ⑺
25y 4
36x 2(x ＞0)
⑻
3
a 2－2a ＋1
(a ＜1)
例题解析
1.若x
x －2＝
x
x －2
成立，则x 的取值范围是 . 2. 计算：
⑴5×21105 ⑵ 3a 3·6b 32ab ( a ＞0，b ＞0) ⑶45÷(－514
5)
⑷a b ÷ab ·1
ab ( a 、b ＞0)
★3. 把x －1
x 中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是 .
①已知xy ＞0，化简二次根式x －y
x 2的正确结果是
②把(a －1)
1
1－a
根号外的因式移入根号内，其结果是
归纳小结： 课内反馈：
1. 计算：
⑴6015 ⑵728 ⑶18÷ 6
⑷223÷113
2. 化简： ⑴49
25 ⑵35
9 ⑶
3
4
⑷
9a 2b 2
16c 2(a ≥0，b ≥0，c ＞0)
课外延伸
1. 下列计算中正确的是（）
A．5
9＝
5
3B．4
1
25＝2
1
5C．2
2
3÷
1
3＝ 2
D．18÷2＝3
2. 下列各式中，成立的是（）
A．(－2)2×3＝－2 3 B．x2＋y2＝x＋y
C．a
b＝
a
b
D．当x≤2x且x
≠－1时，
2－x
x＋1
有意义
3. 如果一个三角形的面积为12，一边长为3，那么这边上的高为.
4. 如果
1－x
x －2
＝1－x
x －2
成立，则x 的取值范围
是 .
5. 计算：2×6
3－1＝ .
6. 计算：313÷(25213) ×(412
5)
7. 计算或化简（题中字母均表示正数）：
⑴6024 ⑵2
412÷21
4
⑶210÷3 5 ⑷3a ÷(－3a ) ⑸
b 3
c 5
a 4
⑹ 1a 2－1b
2(b ＞a ＞0)
8. 先化简x＋2
x－2
÷
x
x3－2x2
，然后再选择一个你喜欢的x值，代入
求值.
错题整理：。