内蒙古北方重工业集团有限公司第三中学2019届高三数学第二次模拟考试试题 文

2019届高三年级第二次模拟考试考试
数学(文）试题
考试时间：2018年11月14日 满分：150分 时长：120分
第一部分
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合M={0|<x x ｝，N={822
1|<<x x }，R 是实数集，则)(N M C R =（ ) A ．}3|{≥x x B ．}01|{<<-x x C ．1|{-≤x x 或}0≥x D ． }3|{<x x
2．已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-= （ ）
A ．43-
B 。

54 C.45 D 。

34-
3．设f(x ）是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x ）＝2x 2－x ，则f(1）＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
4．已知两条直线l 1：(a －1）x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝（ ）
A ．－1
B ．2
C ．0或－2
D ．－1或2
5．设323log ,log log a b c π===( )
A. a b c >> B 。

a c b >>
C 。

b a c >> D. b c a >> 6．已知点P （2，y ）在抛物线y 2＝4x 上，则P 点到抛物线焦点F 的距离为（ ）
A ．2
B ．3 C.错误! D.错误!
7．下列说法正确的是（ ）
A ．“0)0(=f ”是“函数)(x f 是奇函数”的充要条件
B ．若p ：R x ∈∃0，01020>--x x ，则p ⌝:R x ∈∀，012
<--x x C ．“若6π
α=,则21sin =
α”的否命题是“若6πα≠，则2
1sin ≠α” D ．若q p ∧为假命题,则p ,q 均为假命题 8．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0）,离心率等于错误!，则C 的方程是 ( ）
A.x 23＋错误!＝1
B.错误!＋错误!＝1
C. 错误!＋错误!＝1 D 。

错误!＋错误!＝1
9．已知向量b a ,3=32=，且)(b a a +⊥,则a 与b 的夹角为( )
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
10． 设在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若A a B c C b sin cos cos =+，则ABC ∆的形状为（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不确定
11．已知双曲线9y 2－m 2x 2
＝1（m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为错误!，则m ＝（ )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 12．已知)(x f y =为偶函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+-=，则满足2
1))((=
a f f 的实数a 的个数为（ ） A 、8 B 、6 C 、4 D 、2
第二部分 本卷包括必考题和选考题两部分,第（13）题~第(21）题为必考题，每个题目考生都必须做答。

第（22)～第
(23)题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分,共20分.
13．函数y ＝a x 在［0，1]上的最大值与最小值的和为3,则a 的值为________。

14．已知C B A ,,为圆O 上的三点，若)(2
1AC AB AO +=,则AC AB 与的夹角为 . 15．过点A （6,0），B(1,5)，且圆心C 在直线l ：2x －7y ＋8＝0上的圆的方程为________。

16．下面有5个命题:
① 函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π．
② 终边在y 轴上的角的集合是{|,}2
k k Z παα=∈． ③ 在同一坐标系中,函数sin y x =的图象和函数y x =的图象有3个公共点． ④ 把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π得到3sin 2y x =的图象． ⑤ 函数sin()2y x π
=-在[0,]π上是减函数．
其中，真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号)
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.
17．(本小题满分12分）设函数f （x)＝sinωx＋sin 错误!，x ∈R.
(1）若ω＝12
，求f （x)的最大值及相应的x 的集合； （2）若x ＝错误!是f （x)的一个零点，且0<ω<10,求f(x)的单调递增区间.
18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a ，b ，c.已知3cos(B －C)－1＝6cosBcosC 。

（1）求cos A;
(2）若a ＝3，△ABC 的面积为2错误!，求b ，c 。

19．（本小题满分12分）已知:圆C ：x 2＋y 2
－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0。

（1）当a 为何值时,直线l 与圆C 相切；
(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且｜AB|＝2错误!时,求直线l 的方程。

20．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M ：2222+=1(>>0)x y a b a b
的右焦点F 作直30x y +-=交M 于,A B 两点,P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12。

（1）求椭圆M 的方程;
（2) ,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.
21．(本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .
（1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；
(2)求()f x 的单调区间;
(3)设2()22g x x x =-+,若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围。

请考生从第22、23二题中任意选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑。

把答案填在答题卡上。

22． ［选修4-4:坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为
.
（1）M 为曲线C 1的动点,点P 在线段OM 上，且满足16⋅OM OP =,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为π23（，），点B 在曲线C 2上,求△OAB 面积的最大值。

23．[选修4—5：不等式选讲］（10分)
（1)设函数|1||3|)(--+=x x x f ，解不等式1)(≤x f ；
(2）已知
=2，证明：+≤2a b 。

高三数学（文科）参考答案:
一、选择题：1.A 2.C 3.A 4。

D 5。

A 6。

B 7。

C 8.D 9。

D 10。

B 11。

D 12。

A
二、填空题:13。

2 14。

90 15. 13)2()3(22
=-+-y x 16。

①④ 三、解答题：
17. 解：（1）f （x )＝sin ωx ＋sin 错误!＝sin ωx －cos ωx ,
当ω＝错误!时，f （x ）＝sin 错误!－cos 错误!＝错误!sin 错误!,又－1≤sin 错误!≤1,
所以f (x )的最大值为2,此时，x 2－错误!＝错误!＋2k π, k ∈Z ，即x ＝错误!＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为{x |x ＝错误!＋4k π，k ∈Z ｝．
(2)法一：因为f (x ）＝错误!sin 错误!，
所以，x ＝错误!是f (x ）的一个零点⇔f 错误!＝错误!sin 错误!＝0，
即错误!－错误!＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，k ∈Z,
又0<ω<10，所以0〈8k ＋2<10,－错误!<k 〈1，而k ∈Z ，
所以k ＝0,ω＝2，f （x )＝错误!sin 错误!，由－错误!＋2k π≤2x －错误!≤错误!＋2k π，k ∈Z, 得－错误!＋k π≤x ≤错误!＋k π,k ∈Z ，
所以f （x ）的单调递增区间为错误!，k ∈Z 。

法二：x ＝错误!是f (x ）的一个零点⇔f 错误!＝sin 错误!－cos 错误!＝0，
即tan 错误!＝1.所以错误!＝k π＋错误!,k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z
又0<ω<10,所以0〈8k ＋2〈10,－错误!<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f （x )＝错误!sin 错误!. 以下同法一．
18。

解：（1)由3cos （B －C )－1＝6cos B cos C ，
得3(cos B cos C －sin B sin C ）＝－1，
即cos(B ＋C )＝－错误!，
从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝错误!.
(2）由于0<A <π，cos A ＝错误!，所以sin A ＝错误!.
又S △ABC ＝2错误!,即错误!bc sin A ＝2错误!，解得bc ＝6.
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得b 2＋c 2
＝13.
解方程组错误!得错误!或错误!
19. 解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋（y －4）2＝4，则此圆的圆心为(0,4)， 半径为2。

20。

【解析】（1）设112200( ) ( ),(,)A x y B x y P x y ，，，，则
∵22
11
22+=1x y a b ,22
2222+=1x y a b ，2
1
21
=1y y x x ---，
∴22121
22121
()==1()b x x y y a y y x x +--+-， ∵0
2102001
2,2,2
y x x x y y y x +=+==。

∴222a b =。

∵由题意知,椭圆M 的右焦点为(3,0)，
∴223a b -=。

∴226,3a b ==。

∴椭圆M 的方程为22
+=163x y .
（2）由22+=16330x y x y ⎧⎪⎨⎪+=⎩，解得43
33
x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=-⎪⎩03x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩ ∴46AB =
由题意可设直线CD 的方程为53
(3)3y x n n =+-<<, 由22
+=163
x y y x n
⎧⎪⎨⎪=+⎩，得2234260x nx n ++-=，
设3344(,),(,)C x y D x y ,则23434426
,33n
n x x x x -+=-⋅=，
∴CD ==
∴四边形ABCD 的面积12S AB CD =⋅=。

当0n =时，max 3S =，
∴四边形ABCD
21。

解:（Ⅰ）由已知1
()2(0)f x x x '=+>， ………………2分
(1)213f '=+=.
故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3。

………………4分 (Ⅱ）1
1
'()(0)ax f x a x x x +=+=>. ………………5分
①当0a ≥时,由于0x >，故10ax +>，'()0f x >
所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分 ②当0a <时，由'()0f x =，得1
x a =-。

在区间1
(0,)a -上，()0f x '>，在区间1
(,)a -+∞上()0f x '<，
所以，函数()f x 的单调递增区间为1
(0,)a -,单调递减区间为1
(,)a -+∞.
………………7分
（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <。

………………8分 max ()2g x = ………………9分 由（Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ,故不符合题意.
(或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.） ………………10分
当0a <时,()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1
(,)a -+∞上单调递减，
故()f x 的极大值即为最大值，11
()1ln()1ln()f a a a -=-+=----， ………11分
所以21ln()a >---，解得31
e a <-. ………12分
22.解：
（1)设P 的极坐标为（）（＞0）,M 的极坐标为（）由题设知
｜OP ｜=,=. 由｜OP ｜=16得的极坐标方程 因此的直角坐标方程为。

（2）设点B 的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB 面积
当时， S 取得最大值。

所以△OAB 面积的最大值为。

23。

解：（1）]21
,(--∞∈x
（2）因为+=+++33223
()33a b a a b ab b
=++23()ab a b +≤++2
3()2(a b)4a b +=+3
3()24a b
所以 +≤3()8a b ，因此+≤2a b。