深圳市第二高级中学高三文科诊断性测试（一）（概率、立几、数列）

D
C
B
A
N M A B
C D B 1C 1
深圳二高高三文科数学诊断性测试（二）
（主要考查概率与统计、立体几何、数列）
一．选择题：每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出正确的一项。

1．复数2
2
(1i)i
等于 A.2 B.2- C.i 2- D.i 2
2. 已知直线l 、m 和平面α、β，下列四个命题中，真命题的个数是
①若l ∥α，m ∥α，则l ∥m ；②若α∥l ，β∥l ，则α∥β； ③若l α⊥，l β⊥，则α∥β；④若l α⊥，m α⊥，则l ∥m .
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3. 如图是一正方体被过棱的中点M 、N 和顶点A 、D 截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为
4. 已知{}n a 是等差数列，6720a a +=，7828a a +=，则该数列前13项和13S 等于
A.156
B.132
C.110
D.100
5. 已知2
21
()x f x x +=
的导函数为'()f x ，则'()f i =（i 为虚数单位） A.12i -- B.22i -- C.22i -+ D.22i -
6. 在等差数列{}n a 中，设n S 为其前n 项和，已知
2313a a =，则45
S
S 等于 A.
815 B.40121 C.1625 D.5
7
7. “1=m ”是“直线01)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂 直”的
A ．充分必要条件
B ．充分而不必要条件
C ．.必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
8. 已知正数x 、y 满足⎩⎨⎧≥+-≤-0
5302y x y x ，则11
()()42x y z =⋅的最大值为
3124 16
1
D. 132
9. 已知点F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过
F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的
离心率等于
A. 3
B. 2
C.3
D.4
10. 某农场，可以全部种植水果、 蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且
产品全部供应距农场d （km ）
（200d km <）的中心城市，其产销资料如右表：当距离d 达到
()n km 以上时，四种农作物中以全
部种植稻米的经济效益最高（经济
效益＝市场销售价值－生产成本－运输成本），则n 的值为
A.50
B.60
C.100
D.120
二．填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11. 设向量(3,4),(2,1)==--a b ，则向量a +b 与a -b 的夹角的余弦值为
12. 若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为311A B CD -的外接球的体积是 13. 设,m n 是两条不同的直线，βα,是两个不重合的平面，给定下列四个命题：
① m n m n αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ ② a a ααββ⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
③ //m m n n αα⊥⎫⇒⎬
⊥⎭
④ ////m n m n αβαβ⊂⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⎭
； 其中为真命题的是 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点)4
7,
2(π
A 到直线22)4sin(=
+πθρ的
距离为 .
15．(几何证明选做题)已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于B
A ,两点，割线PCD 经过圆心，若3=PA ，4=A
B ，5=PO ，则⊙O 的半径为
项目 作物 水果 蔬菜 稻米 甘蔗 市场价格（元/kg ）
8 3 2 1 生产成本（元/kg ）
3 2 1 0.
4 运输成本（元/kg ⋅km ）
0.06 0.02 0.01 0.01 单位面积相对产量（kg ）
10
15
40
30
i=i+1S=S+m i ×f i 输入m i ,f i
开始否
结束
输出S i>=7？
i ＝1S ＝0
是
90
80
70
60
50
40
30
20
(单位:mg/100m
0.0250.0200.0150.010频率/组距
酒精含量
0.005
___________.
三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16（本小题满分12分）已知向量()1,2=-a ，(),x y =b ．
（Ⅰ）若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足1=-a b 的概率； （Ⅱ）若,x y ∈[]1,6，求满足0>a b 的概率．
17（本小题满分12分） “根据《道路交通安全法》规定：
车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80） 之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车．”
8月15日晚8时开始某市交警一队在该市
一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时 图甲 共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画
出的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；
（图甲中每组包括左端点，不包括右端点）
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点 值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者 血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S 值， 并说明S 的统计意义；（图乙中数据i m 与i f 分别表示图 图乙 甲中各组的组中值及频率）
（Ⅲ）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率．
18（本小题满分14分）如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，12BB =， M 是线段11B D 的中点． （Ⅰ）求证：//BM 平面1D AC ；
（Ⅱ）求三棱锥11D AB C -的体积．
19（本小题满分14分）
如图，已知△ABC 内接于圆O,AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ,2AB =， 3tan EAB ∠=． （Ⅰ）证明：平面ACD ⊥平面ADE ；
（Ⅱ）记AC x =，()V x 表示三棱锥A －CBE 的体积，求()V x 的表达式； （Ⅲ）当()V x 取得最大值时，求证：AD=CE ．
20（本小题满分14分）20．（本小题满分14分）已知数列{}
n a 的前n 项和是n S ， 且满足21n n S a =-
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}
n b 满足12-=⋅n b a n n ，
求数列{}
n b 的前n 项和T n ；
（3）请阅读如图所示的流程图，根据流程图判断
该算法能否有确定的结果输出？并说明理由。

21（本小题满分14分） 已知点列1122(1,),(2,),,(,),
n n B y B y B n y (*)n N ∈顺次
为直线4
x
y =
上的点，点列1122(,0),(,0),
,(,0),n n A x A x A x (*)n N ∈顺次为x 轴上的点，其中1x a =(01)a <<，对任意的*n N ∈，点n A 、n B 、1+n A 构成以n B 为顶
点的等腰三角形.
开始
a=1,b=1,n=1,T=1
12,2
a a
b b =+=⨯
T=T+a ×b n=n+1
T>6
输出T,n
结束
是
否
(Ⅰ)求证：对任意的*n N ∈，n n x x -+2是常数，并求数列{}n x 的通项公式； (Ⅱ)问是否存在等腰直角三角形1+n n n A B A ？请说明理由.
参考答案 1 2 3
4 5 6 7 8 9 10 C B B
A
D
A
B
C
B
A
11.
25
5 12.36π ； 13. ②和③； 14. 22
； 15. 2 16. （1）解：设(),x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．……2分
用A 表示事件“1=-a b ”，即21x y -=-.……………………………3分
则A 包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．…………………………5分 ∴()31
3612
P A =
=．………………………………………6分 （2）解：用B 表示事件“0>a b ”，即20x y ->.……………………………………7分 试验的全部结果所构成的区域为
(){},16,16x y x y ≤≤≤≤，………8分
构
成
事
件
B
的区域为
(){},16,16,20x y x y x y ≤≤≤≤->，
如图所示．…………………………10分
所以所求的概率为()1
42
425525
P B ⨯⨯==
⨯．……………12分 17．解：（1）依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上者，由图甲知，共有0.05603⨯=（人） （2）由图乙知输出的1122770S m f m f m f =+++
+
＝250.25350.15450.2550.15650.1750.1850.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝47
（mg/100ml ）S 的统计意义为60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值． （3）酒精浓度在70/100mg ml （含70）以上人数为：(0.100.05)609+⨯=
设除吴、李两位先生外其他7人分别为a 、b 、c 、d 、e 、f 、g ，则从9人中抽出2人的一切可能的结果组成的基本事件如下：
（吴，李），（吴，a ），（吴，b ），（吴，c ），（吴，d ），（吴，e ），（吴，f ），
（吴，g ），（李，a ），
（李，b ），（李，c ），（李，d ），（李，e ），（李，f ），（李，g ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ），（a ，g ），（b,c ），(b,d)，(b,e)，(b,f)，(b,g)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(c,g)，(d,e)，(d,f)，(d,g)，(e,f)，(e,g)，(f,g)共36种．
用M 表示吴、李两位先生至少有1人被抽中这一事件，则M 所含的基本事件数为15， 故155()3612
P M ==．
18. 解：（Ⅰ）连接1D O ，如图，
∵O 、M 分别是BD 、11B D 的中点，11BD D B 是矩形，
∴四边形1D OBM 是平行四边形， ∴1//D O BM ．--------2分
∵1D O ⊂平面1D AC ，BM ⊄平面1D AC ，∴//BM 平面1D AC ．----------------------6分 （Ⅱ）连接1OB ，∵正方形ABCD 的边长为2，12BB =，∴1122B D =，12OB =，
12D O =，则2221111OB D O B D +=，∴11OB D O ⊥． -------------------8分
又∵在长方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ⊥，1AC D D ⊥，且1BD D D D =，
∴AC ⊥平面11BDD B ，又1D O ⊂平面11BDD B ， ∴1AC D O ⊥，又1AC
OB O =， --------------10分
∴1D O ⊥平面1AB C ，即1D O 为三棱锥11D AB C -的高． ---------------------12分
∵1111
2222222AB C S AC OB ∆=
⋅⋅=⨯⨯=，12D O = ∴1111114
2222333
D AB C AB C V S D O -∆=⋅⋅=⨯⨯=
． ----------------------14分 19. 解：（１）证明：∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴//CD BE ，//BC DE ---------1分
∵ DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴DC BC ⊥． ----------2分 ∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥且DC AC C = ∴BC ⊥平面ADC ．
∵DE//BC ∴DE ⊥平面ADC ---------------------------------------3分 又∵DE ⊂平面ADE ∴平面ACD ⊥平面ADE ----------------4分
（2）∵ DC ⊥平面ABC , CD//BE ∴BE ⊥平面ABC
O
E
D
B
C
A
∵AB ⊂平面ABC ∴BE ⊥AB, --------------------------------------------------------5分 在R ｔ△ABE 中，由3
tan 2
BE EAB AB ∠=
=,2AB =得3BE =分 在R ｔ△ABC 中 ∵2224AC AB BC x =-=-02x <<）
∴211
422
ABC S AC BC x x ∆=
⋅=-分 ∴1
()3
C ABE E ABC ABC V x V V S BE --∆===
⋅2346x x =-（02x <<）-------8分 （3）由（2）知要()V x 取得最大值，当且仅当2224(4)x x x x -=
-
∵02x << ∴2
2
22
2
4(4)(
)42
x x x x +--≤=------------10分 ∴当且仅当224x x =-，即2x =
即当()V x 取得最大值时2AC =
这时△ACB 为等腰直角三角形
连结DB , ∵AC=BC,DC=DC ∴Rt DCA ∆≌Rt DCB ∆ --------------12分 ∴AD=BD 又四边形BCDE 为矩形 ∴BD CE = ∴AD=CE-------------------------14分 20. 解：（Ⅰ）由21n n S a =-得，1211-=--n n a s ---------1分 当，n 时2≥1n a --=n n s s ,)12()12(1---=-n n n a a a 2,21
1==∴--n n
n n a a a a {}n a ∴是以2为公比的等比数列
---------4分 令n=1得11121,1,a a a =-∴={}n a ∴的通项公式是12n n a -= ---------5分 （Ⅱ）由1
121121(21)()22
n n n n n n a b n b n ---⋅=-==-⋅得 -------- 6分 0211111()3()(21)()2
2
2
n n T n -∴=⋅+⋅++-⋅
------
--7分
121111
1()3()(21)()222
2
n n T n ∴=⋅+⋅++-⋅
--------8分
相减得：12121
1111121
12()2()2()(21)()32
2
2
2222
n n n n n n T n ---=+⋅+⋅+
+--⋅=-----9分
3
1
121
6,22n n n n T ---∴=-
-
-------10分 （Ⅲ）没有确定的结果输出！
-------11分
原因如下：该流程图的作用首先是求出数列{}
n b 的前n 项和n T ，然后找出数列{}
n b 中使
6n T >成立的第一项，并输出,n T n 的值，
-------12分
而由（2）可得数列{}
n b 的前n 项和6n T <，不可能满足6n T >， -------13分 所以该程序将永远执行下去没有确定的结果输出． -------14分 21． 解：（Ⅰ）由题意得(,)4
n n B n ，(,0)n n A x ，11(,0)n n A x ++， ∵点n A 、n B 、1+n A 构成以n B 为顶点的等腰三角形， ∴1||||n n n n A B A B +=2
2
221()()()()4
4
n n n n
x n x n +-+=
-+得22
1111122()()2()n n n n n n n n n n x nx x nx x x x x n x x +++++-=-⇒-+=-
又∵1n n x x +≠，∴12n n x x n ++=， ①， 则212(1)n n x x n +++=+ ② 由②－①得，22n n x x +-=，即n n x x -+2是常数． -----------4分 即所列{}{}212,()k k x x k N *
-∈都是等差数列.
（注：可以直接由图像得到
n x x n n =++2
1
,即n x x n n 21=++ , (n *∈N ) ） 当n 为正奇数时，11
(
1)212
n n x x a n +=+-⨯=+-， 当n 为正偶数时，由212x x +=得，22x a =-，故2(1)22
n n x x n a =+-⨯=-，
∴1, (, ()n a n n x n a n +-⎧=⎨-⎩
为正奇数为正偶数）． -----------------------6分
（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形1+n n n A B A ，由题意190n n n A B A +∠=． 在1n n n Rt A B A +∆中，11||||242
n n n n n n
A A x x ++=-=⨯
=． -----------8分 当n 为正奇数时，1n x a n =+-，11n x n a +=+-，
∴1|||11||22|2(1)n n x x n a a n a a +-=+---+=-=-，故有2(1)24
n
a -=⨯
，即14n a -=
，又∵01a <<，∴011a <-<，∴014
n
<<，即04n <<， ∴当1,3n =时，使得三角形1+n n n A B A 为等腰直角三角形． --------10分
当n 为正偶数时，n x n a =-，111n x a n a n +=++-=+， ∴1|||||2|2n n x x a n n a a a +-=+-+==，故有224n a =⨯，即4
n a =， 又∵01a <<，∴014
n
<<，即04n <<， ∴当2n =时，使得三角形1+n n n A B A 为等腰直角三角形．
综上所述，当1,2,3n =时，使得三角形1+n n n A B A 为等腰直角三角形． ------------14分 注：也可以回答为113
,,424
a =
时，使得三角形1+n n n A B A 为等腰直角三角形．。