三次Bezier曲线的生成与拼接

三次Bezier曲线的生成与拼接
李红林
【摘要】本文利用VC++编程环境,生成两段三次Bezier曲线,并对曲线进行连续
性条件讨论,且实现了曲线拼接.
【期刊名称】《科技视界》
【年(卷),期】2016(000)021
【总页数】2页(P126,187)
【关键词】三次;Bezier;连续性;曲线拼接
【作者】李红林
【作者单位】曲靖师范学院信息工程学院,云南曲靖655011
【正文语种】中文
Bezier曲线是由法国人Bezier于20世纪70年代初为解决汽车外型设计而提出的一种新的参数表示方法[1]。

Bezier方法是曲线、曲面造型中的一个里程碑，它以
逼近原理为基础，应用Bezier方法，可逼近数学曲线、曲面或设计师勾画的草图，起到辅助设计的作用[2-3]。

由于实际应用中的线和面形状复杂，用单一曲线、曲
面无法表示，所以有必要对曲线、曲面进行拼接。

1.1 Bezier曲线的定义其中，t∈[0，1]，Pi是特征多边形第i个顶点的坐标（xi，yi）。

依次用线段连接Pi（i=0，1，…，n）中相邻两个向量的终点，组成的n边折线多边形称为Bezier多边形或特征多边形[4]。

Bi，n（t）是伯恩斯坦多项式。

1.2 三次Bezier曲线
当n=3时，即为三次Bezier曲线。

三次Bezier曲线用矩阵表示如下：
在VC++6.0环境下，新建一个基于MFC的单文档工程。

在工程View.cpp中添加Bezier曲线生成函数，当n＝3时，生成任意两条三次Bezier曲线，如图1所示。

样条曲线是由各个多项式曲线段连接而成，为了保证各个曲线段在连接点处是光滑的，需要满足各种连续性条件[5]。

连续性有参数连续性和几何连续性。

若两条相邻参数曲线段在连接点处具有n阶连续导矢，即n阶连续可微，则将这类连续性称为n阶参数连续性条件，记为Cn。

若只要求两条相邻参数曲线段在连接点处的n阶导矢成比例，而不要求必须相等，则将这类连续性称为n阶几何连续性，记为Gn。

因参数连续性条件比几何连续性条件更加苛刻一些。

所以，在三次Bezier曲线拼接时以几何连续性为例。

设两条三次Bezier曲线的控制点列分别为Pi（i=0，1，2，3）和Qj（j =0，1，2，3）。

若将P（t）段与Q（t）相连，则在连接点处达到G0、G1、G2连续的充要条件是：
（1）G0连续：P（1）=Q（0）。

即P（t）的终点与Q（t）的起点重合，如图2所示，曲线在连接点处不能保证是光滑连接。

（2）G1连续：是两段相邻曲线在连接点处不仅达到G0连续，同时一阶导数成比例，即P’（1）=αQ’（0），其中α是比例系数。

具有G1连续，在连接点处有公共的切矢方向，即P2，P3（Q0），Q1三点共线，如图3所示。

（3）G2连续：指两段相邻曲线段的一阶导数、二阶导数在交点处均成比例。

P’（1）=αQ’（0），P’’（1）=βQ’’（0）。

G2连续除了满足G1条件外，还满足：副法矢方向相同、曲率相等。

本文首先对三次Bezier曲线进行了简单分析与实现；其次对曲线的连续性进行分
析；最后对生成的三次Bezier曲线进行拼接。

该拼接方法可实现任意次的Bezier 曲线的拼接。

【相关文献】
［1］杜晓增,丁宇辰.计算机图形学基础[M].2版.北京:机械工业出版社,2013:103.
［2］严兰兰,宋来忠,李军成.有理Bezier曲线的拼接[J].三峡大学学报:自然科学版,2005,27(5):469-471.
［3］杨林英.Bezier曲线的拼接及扩展[D].兰州:西北师范大学,2013.
［4］芦殿军.Bezier曲线的拼接及其连续性[J].青海大学学报:自然科学版,2004,22 (6):84-86. ［5］银红霞,杜四春,蔡立军.计算机图形学[M].北京:水利水电出版社,2005:133-134.。