湘教版七年级下册数学 第4章 相交线与平行线 平行线的性质
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XJ版七年级下
第4章相交线与平行线
4．3 平行线的性质
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1C
2C
3B
4B
5C
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7B
8B
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9B
10 C
11 D 12 见习题
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13 见习题 14 见习题 15 见习题
1．【中考·铜仁】如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则 ∠1的度数是( ) C
A．20°B．30° C．40°D．50°
【点拨】因为直线a∥b， 所以∠1＋∠BCA＋∠BAC＋∠2＝180°. 因为∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°， 所以∠2＝40°.
【答案】C
11．已知∠1与∠2是同旁内角．若∠1＝50°，则∠2的度 数是( )
A．50°B．130° C．50°或130°D．不能确定
13．如图，已知EG∥AD，∠E＝∠3.AD是∠BAC的平分 线吗？若是，请说明理由．
解：AD是∠BAC的平分线．理由如下： 因为EG∥AD， 所以∠3＝∠1，∠E＝∠2. 又因为∠E＝∠3，所以∠1＝∠2， 即AD是∠BAC的平分线．
14 ． 如 图 ， 已 知 AB ∥ CD ， ∠ BOF ＝ 90° ， ∠ FGC ＝ 125°，求∠EFG的度数．
【点拨】本题易忽略利用平行线的性质的前提而误 用平行线的性质．本题没有说明两直线平行，因此 同旁内角的数量关系是不确定的．
【答案】D
12．【中考·重庆B卷】如图，AB∥CD，三角形EFG的顶 点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H， GE 平 分 ∠ FGD. 若 ∠ EFG ＝ 90° ， ∠ E ＝ 35° ， 求 ∠EFB的度数．
【答案】B
9．【中考·河南】如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°， 则∠2的度数为( ) B
A．100° B．110° C．120° D．130°
*10.【中考·齐齐哈尔】如图，直线a∥b，将一块含30°角 (∠BAC＝30°)的直角三角尺按图中方式放置，其中A 和C两点分别落在直线a和b上，若∠1＝20°，则∠2 的度数为( )
4 ． 【 中 考 ·济 南 】 如 图 ， DE∥BC ， BE 平 分 ∠ ABC ， 若 ∠1＝70°，则∠CBE的度数为( ) B
A．20° B．35° C．55° D．70°
5．【中考·黔西南州】如图，将一块三角尺的直角顶点放 在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为( ) C
A．37° B．43° C．53° D．54°
6 ． 【 中 考 ·达 州 】 如 图 ， AB∥CD ， ∠ 1 ＝ 45° ， ∠ 3 ＝ 80°，则∠2的度数为( ) B
A．30° B．35° C．40° D．45°
7.【中考·枣庄】一副直角三角尺如图放置，点C在FD的延 长 线 上 ， AB∥CF ， ∠ F ＝ ∠ ACB ＝ 90° ， 则 ∠ DBC 的度数为( )
解：因为在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°， 所以∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.
因为GE平分∠FGD，所以∠EGF＝∠EGD＝55°. 因为AB∥CD，所以∠EHB＝∠EGD＝55°. 所以∠EHF＝180°－∠EHB＝125°， 所以∠EFB＝180°－∠E－∠EHF＝ 180°－35°－125°＝20°.
A．10°B．15B° C．18°D．30°
8．【中考·南通】如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD 于点E，若∠C＝70°，则∠AED的度数为( )
A．110° B．125° C．135° D．140°
Байду номын сангаас
【点拨】因为 AB∥CD，所以∠C＋∠CAB＝180°. 因为∠C＝70°，所以∠CAB＝110°. 因为 AE 平分∠CAB，所以∠CAE＝12∠CAB＝55°， 所以∠CEA＝180°－∠CAE－∠C＝55°， 所以∠AED＝180°－∠CEA＝180°－55°＝125°.
15．直线AB∥CD，点P是直线AB，CD外的任意一点，连 接PA，PC. (1)探究猜想： ①如图①，若∠A＝30°， ∠C＝40°，则∠APC＝________°； ②如图①，若∠A＝40°， 70 ∠C＝60°，则∠APC＝________°；
100
③猜想图①中∠A，∠C，∠APC三者之间有怎样的等 量关系？并说明理由．
A．70° B．100° C．110° D．120°
2．【中考·新疆】如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1的 度数是( C )
A．40° B．50° C．130° D．150°
3．【中考·湘西州】如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝ 40°，则∠3的度数为( B )
A．40° B．90° C．50° D．100°
∠APC＝∠A－∠C
解：∠∠APC＝∠A＋∠C. 理 由 如 下 ： 过 P 点 向 左 侧 作 PE ∥ AB ， 则 ∠APE＝∠A. 因为AB∥CD，所以PE∥CD， 所以∠CPE＝∠C. 又因为∠APC＝∠APE＋∠CPE， 所以∠APC＝∠A＋∠C.
(2)拓展： ①如图②，若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠APC＝ ________°； ②猜想3图0 ③中∠A，∠C， ∠APC三者之间的数量 关系为________________．
下面提供三种思路： (1)过点F作FH∥AB； (2)延长OF交CD于点M； (3)延长GF交AB于点K. 请你利用三种思路中的两种思路，将图形补充完整， 并求∠EFG的度数．
【 点 拨 】 解 本 题 时 思 路 (1) 是 构 造 平 行 线 ， 将 ∠EFG分割为两个角，再求度数，思路(2)是构造 平行线的截线，再求度数．本题还可以选思路(3) 解答．
解：利用思路(1)．过点F作FH∥AB，如图①. 因为FH∥AB， 所以∠HFO＝∠BOF＝90°. 因为AB∥CD，所以FH∥CD， 所以∠FGC＋∠GFH＝180°. 因为∠FGC＝125°，所以∠GFH＝55°， 所以∠EFG＝∠GFH＋∠HFO＝55°＋90°＝145°.
利用思路(2)．延长OF交CD于点M，如图②. 因为CD∥AB， 所以∠CMF＝∠BOF＝90°. 因为∠FGC＝125°，所以∠1＝55°. 因为∠1＋∠2＋∠GMF＝180°，所以∠2＝35°. 因为∠EFG＋∠2＝180°，所以∠EFG＝145°.
第4章相交线与平行线
4．3 平行线的性质
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11 D 12 见习题
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13 见习题 14 见习题 15 见习题
1．【中考·铜仁】如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则 ∠1的度数是( ) C
A．20°B．30° C．40°D．50°
【点拨】因为直线a∥b， 所以∠1＋∠BCA＋∠BAC＋∠2＝180°. 因为∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°， 所以∠2＝40°.
【答案】C
11．已知∠1与∠2是同旁内角．若∠1＝50°，则∠2的度 数是( )
A．50°B．130° C．50°或130°D．不能确定
13．如图，已知EG∥AD，∠E＝∠3.AD是∠BAC的平分 线吗？若是，请说明理由．
解：AD是∠BAC的平分线．理由如下： 因为EG∥AD， 所以∠3＝∠1，∠E＝∠2. 又因为∠E＝∠3，所以∠1＝∠2， 即AD是∠BAC的平分线．
14 ． 如 图 ， 已 知 AB ∥ CD ， ∠ BOF ＝ 90° ， ∠ FGC ＝ 125°，求∠EFG的度数．
【点拨】本题易忽略利用平行线的性质的前提而误 用平行线的性质．本题没有说明两直线平行，因此 同旁内角的数量关系是不确定的．
【答案】D
12．【中考·重庆B卷】如图，AB∥CD，三角形EFG的顶 点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H， GE 平 分 ∠ FGD. 若 ∠ EFG ＝ 90° ， ∠ E ＝ 35° ， 求 ∠EFB的度数．
【答案】B
9．【中考·河南】如图，l1∥l2，l3∥l4，若∠1＝70°， 则∠2的度数为( ) B
A．100° B．110° C．120° D．130°
*10.【中考·齐齐哈尔】如图，直线a∥b，将一块含30°角 (∠BAC＝30°)的直角三角尺按图中方式放置，其中A 和C两点分别落在直线a和b上，若∠1＝20°，则∠2 的度数为( )
4 ． 【 中 考 ·济 南 】 如 图 ， DE∥BC ， BE 平 分 ∠ ABC ， 若 ∠1＝70°，则∠CBE的度数为( ) B
A．20° B．35° C．55° D．70°
5．【中考·黔西南州】如图，将一块三角尺的直角顶点放 在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为( ) C
A．37° B．43° C．53° D．54°
6 ． 【 中 考 ·达 州 】 如 图 ， AB∥CD ， ∠ 1 ＝ 45° ， ∠ 3 ＝ 80°，则∠2的度数为( ) B
A．30° B．35° C．40° D．45°
7.【中考·枣庄】一副直角三角尺如图放置，点C在FD的延 长 线 上 ， AB∥CF ， ∠ F ＝ ∠ ACB ＝ 90° ， 则 ∠ DBC 的度数为( )
解：因为在三角形EFG中，∠EFG＝90°，∠E＝35°， 所以∠EGF＝180°－90°－35°＝55°.
因为GE平分∠FGD，所以∠EGF＝∠EGD＝55°. 因为AB∥CD，所以∠EHB＝∠EGD＝55°. 所以∠EHF＝180°－∠EHB＝125°， 所以∠EFB＝180°－∠E－∠EHF＝ 180°－35°－125°＝20°.
A．10°B．15B° C．18°D．30°
8．【中考·南通】如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD 于点E，若∠C＝70°，则∠AED的度数为( )
A．110° B．125° C．135° D．140°
Байду номын сангаас
【点拨】因为 AB∥CD，所以∠C＋∠CAB＝180°. 因为∠C＝70°，所以∠CAB＝110°. 因为 AE 平分∠CAB，所以∠CAE＝12∠CAB＝55°， 所以∠CEA＝180°－∠CAE－∠C＝55°， 所以∠AED＝180°－∠CEA＝180°－55°＝125°.
15．直线AB∥CD，点P是直线AB，CD外的任意一点，连 接PA，PC. (1)探究猜想： ①如图①，若∠A＝30°， ∠C＝40°，则∠APC＝________°； ②如图①，若∠A＝40°， 70 ∠C＝60°，则∠APC＝________°；
100
③猜想图①中∠A，∠C，∠APC三者之间有怎样的等 量关系？并说明理由．
A．70° B．100° C．110° D．120°
2．【中考·新疆】如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1的 度数是( C )
A．40° B．50° C．130° D．150°
3．【中考·湘西州】如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝ 40°，则∠3的度数为( B )
A．40° B．90° C．50° D．100°
∠APC＝∠A－∠C
解：∠∠APC＝∠A＋∠C. 理 由 如 下 ： 过 P 点 向 左 侧 作 PE ∥ AB ， 则 ∠APE＝∠A. 因为AB∥CD，所以PE∥CD， 所以∠CPE＝∠C. 又因为∠APC＝∠APE＋∠CPE， 所以∠APC＝∠A＋∠C.
(2)拓展： ①如图②，若∠A＝20°，∠C＝50°，则∠APC＝ ________°； ②猜想3图0 ③中∠A，∠C， ∠APC三者之间的数量 关系为________________．
下面提供三种思路： (1)过点F作FH∥AB； (2)延长OF交CD于点M； (3)延长GF交AB于点K. 请你利用三种思路中的两种思路，将图形补充完整， 并求∠EFG的度数．
【 点 拨 】 解 本 题 时 思 路 (1) 是 构 造 平 行 线 ， 将 ∠EFG分割为两个角，再求度数，思路(2)是构造 平行线的截线，再求度数．本题还可以选思路(3) 解答．
解：利用思路(1)．过点F作FH∥AB，如图①. 因为FH∥AB， 所以∠HFO＝∠BOF＝90°. 因为AB∥CD，所以FH∥CD， 所以∠FGC＋∠GFH＝180°. 因为∠FGC＝125°，所以∠GFH＝55°， 所以∠EFG＝∠GFH＋∠HFO＝55°＋90°＝145°.
利用思路(2)．延长OF交CD于点M，如图②. 因为CD∥AB， 所以∠CMF＝∠BOF＝90°. 因为∠FGC＝125°，所以∠1＝55°. 因为∠1＋∠2＋∠GMF＝180°，所以∠2＝35°. 因为∠EFG＋∠2＝180°，所以∠EFG＝145°.