2016-2017学年高中数学人教A必修5学业分层测评21 基本不等式：ab≤a+b2 含解析

学业分层测评(二十一）
（建议用时:45分钟）
［学业达标］
一、选择题
1．已知x〉0，y〉0,x,a，b,y成等差数列，x，c，d，y成等比数列,则错误!的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
【解析】错误!＝错误!≥错误!＝4,当且仅当x＝y时等号成立．
【答案】D
2．设x>0，则y＝3－3x－错误!的最大值是( )
A．3 B．3－2错误!
C．3－2错误!D．－1
【解析】y＝3－3x－错误!＝3－错误!≤3－2错误!＝3－2错误!，
当且仅当3x＝错误!,即x＝错误!时取等号．
【答案】C
3．下列函数中，最小值为4的函数是（）
A．y＝x＋错误!B．y＝sin x＋错误!
C．y＝e x＋4e－x D．y＝log3x＋log x81
【解析】A、D不能保证是两正数之和，sin x取不到2，只有C项满足两项均为正,当且仅当x＝ln 2时等号成立．
【答案】C
4．已知m＝a＋1
a－2（a>2），n＝22－b2(b≠0),则m，n之间的大小关系是（）
A．m>n B．m〈n
C．m＝n D．不确定
【解析】∵a〉2，∴a－2>0.
又∵m＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥2错误!＋2＝4（当且仅当a－2＝错误!，即a＝3时,“＝"成立）．
即m∈［4,＋∞),由b≠0得b2≠0，
∴2－b2<2,∴22－b2〈4，即n<4.
∴n∈(0,4），综上易知m>n。

【答案】A
5．已知x〉0，y〉0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是（）A．3 B．4 C。

错误!D。

错误!
【解析】∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝错误!>0.
∴0〈x<8,∴x＋2y＝x＋2·错误!＝(x＋1）＋错误!－2≥2错误!－2＝4.
当且仅当x＋1＝错误!,即x＝2时,取“＝"号，此时x＝2，y＝1。

【答案】B
二、填空题
6．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
【解析】设水池的造价为y元，长方体底的一边长为x m,由于底面积为4 m2，所以另一边长为错误!m．那么
y＝120·4＋2·80·错误!
＝480＋320错误!≥480＋320·2错误!＝1 760（元）．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
【答案】 1 760
7．若对任意x〉0,错误!≤a恒成立,则a的取值范围是________．【解析】因为x〉0，所以x＋错误!≥2。

当且仅当x＝1时取等号，所以有
错误!＝错误!≤错误!＝错误!,
即错误!的最大值为错误!，
故a≥错误!.
【答案】错误!
8．设a>0，b〉0，给出下列不等式:
①a2＋1〉a；
②错误!错误!≥4;
③（a＋b）错误!≥4;
④a2＋9>6a。

其中恒成立的是________（填序号）．
【解析】由于a2＋1－a＝错误!2＋错误!〉0，故①恒成立；
由于a＋错误!≥2，b＋错误!≥2.
∴错误!错误!≥4，故②恒成立；
由于a＋b≥2错误!，错误!＋错误!≥2错误!，
故(a＋b）·错误!≥4，故③恒成立;当a＝3时,a2＋9＝6a,故④不能恒成立．
【答案】①②③
三、解答题
9．（1)已知x〈3，求f(x)＝错误!＋x的最大值;
（2）已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求错误!＋错误!的最小值. 【导学号:05920079】
【解】(1）∵x<3,∴x－3<0，
∴f（x）＝错误!＋x＝错误!＋(x－3)＋3
＝－错误!＋3
≤－2错误!＋3＝－1，
当且仅当错误!＝3－x，即x＝1时取等号,∴f(x）的最大值为－1。

(2）法一∵x,y∈R＋，
∴（x＋y)错误!＝4＋错误!≥4＋2错误!.
当且仅当y
x＝错误!，即x＝2（错误!－1），y＝2（3－错误!)时取“＝"号．
又x＋y＝4，∴错误!＋错误!≥1＋错误!，
故错误!＋错误!的最小值为1＋错误!.
法二∵x，y∈R＋,且x＋y＝4，
∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝1＋错误!≥1＋2错误!＝1＋错误!。

当且仅当错误!＝错误!,即x＝2（错误!－1)，y＝2（3－错误!)时取“＝”号．
∴错误!＋错误!的最小值为1＋错误!.
10．某种汽车,购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0。

9万元，年维修费第一年是0。

2万元，以后逐年递
增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少？
【解】设使用x年平均费用最少．由条件知,汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项,0。

2万元为公差的等差数列．因此,汽车使用x年总的维修费用为错误!x万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有
y＝错误!＝错误!＝1＋错误!＋错误!≥1＋2错误!＝3。

当且仅当错误!＝错误!，即x＝10时，y取最小值．
即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．
［能力提升］
1．（2015·湖南高考）若实数a,b满足错误!＋错误!＝错误!,则ab的最小值为（）
A。

错误!B．2 C．2错误!D．4
【解析】由错误!＋错误!＝错误!知a〉0,b>0,所以错误!＝错误!＋错误!≥2
错误!，即ab≥2错误!,
当且仅当错误!即a＝错误!，b＝2错误!时取“＝”,所以ab的最小值为2错误!。

【答案】C
2．若lg(3x)＋lg y＝lg（x＋y＋1)，则xy的最小值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解】由lg（3x）＋lg y＝lg（x＋y＋1），
得错误!
因为x〉0,y〉0，所以3xy＝x＋y＋1≥2错误!＋1，
所以3xy－2错误!－1≥0，
即3(错误!）2－2错误!－1≥0,
所以(3xy＋1）(xy－1)≥0，
所以错误!≥1，所以xy≥1，
当且仅当x＝y＝1 时,等号成立,
所以xy的最小值为1。

【答案】A
3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当错误!取得最大值时错误!＋错误!－错误!的最大值为________．
【解析】错误!＝错误!＝错误!≤错误!＝1
当且仅当x＝2y时等式成立,此时z＝2y2，错误!＋错误!－错误!＝－错误!＋错误!＝－错误!2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1。

【答案】1
4．已知函数f（x)＝lg x（x∈R＋），若x1，x2∈R＋，判断错误!［f （x1）＋f（x2）]与f错误!的大小并加以证明．
【解】错误!［f(x1）＋f（x2）］≤f错误!.证明：f（x1）＋f（x2)
＝lg x1＋lg x2＝lg（x1·x2）,
f错误!＝lg错误!.
∵x1,x2∈R＋，∴错误!≥ 错误!，
∴lg错误!≤lg错误!，
即错误!lg(x1·x2）≤lg错误!，
∴错误!（lg x1＋lg x2）≤lg错误!。

故错误![f（x1）＋f(x2)］≤f错误!。