人教新课标版数学高二数学必修5作业2-3-2等差数列

技能演练
基 础 强 化
1．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1) D.n (n ＋1)2
答案 D
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 1＋a 101<0
C ．a 1＋a 101＝0
D ．a 1＋a 101的符号不确定
答案 C
3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和且a 3＝－6，a 7＝6，则( ) A ．S 4＝S 5 B ．S 5＝S 6 C ．S 4>S 6
D ．S 5>S 6
解析 ∵a 3＋a 7＝2a 5＝0， ∴a 5＝0，∴S 4＝S 5. 答案 A
4．数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( )
A ．第4项
B ．第5项
C ．第6项
D ．第7项
解析 a n ＝3n 2
－28n ＝3(n 2
－28
3
n )
＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1432－3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1432.
∵n ∈N *，∴当n ＝5时，a n 有最小值． 答案 B
5．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是( )
A ．求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1n 的前10项和(n ∈N *)
B ．求数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
12n 的前10项和(n ∈N *)
C ．求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1n 的前11项和(n ∈N *)
D ．求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
12n 的前11项和(n ∈N *)
解析 要理解循环体的含义，当第一次执行k ＝1时，S ＝1
2；当
第二次执行k ＝2时，S ＝12＋1
4.可见，该程序是求前10项的偶数的倒
数和．
答案 B
6．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ＝1,2,3，…)，则数列的通项公式为__________；数列{na n }中数值最小的项是第__________项．
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)] ＝2n －11，当n ＝1时，也成立， ∴a n ＝2n －11，
na n ＝2n 2
－11n ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫n －1142－1218.
∵n ∈N *，∴当n ＝3时，na n 有最小值． 答案 2n －11 3
能 力 提 升
7．若x ≠y ，数列x ，a 1，a 2，y 和x ，b 1，b 2，b 3，y 各自成等差数列，则a 1－a 2
b 1－b 2
＝________.
解析 由于a 1－a 2＝x －y 3，b 1－b 2＝x －y 4，则a 1－a 2b 1－b 2＝4
3.
答案 4
3
8．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S n
T
n
＝7n ＋2n ＋3
，则a 5b 5＝________.
解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)
29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×9＋29＋3
＝65
12.
答案 65
12
9．首项为正数的等差数列{a n }，它的前3项和与前11项的和相等，问此数列的前多少项的和最大？
解 ∵S 3＝S 11，∴3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×10
2d .
∴d ＝－2
13
a 1.又a 1>0，∴d <0.
S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1－1
13n (n －1)a 1
＝－1
13a 1(n 2－n －13n )
＝－113a 1(n －7)2＋49
13a 1，
∴当n ＝7时，S n 有最大值4913a 1.
即此数列的前7项和最大．
10．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝1
4(a n ＋1)2，且a n >0.
(1)求a 1，a 2； (2)求{a n }的通项公式；
(3)令b n ＝20－a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值． 解 (1)a 1＝S 1＝1
4(a 1＋1)2⇒a 1＝1.
a 1＋a 2＝1
4(a 2＋1)2⇒a 2＝3.
(2)当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝1
4[(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2]
＝14(a 2n －a 2
n －1)＋12(a n －a n －1)， 由此得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1＝2.
∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (3)∵b n ＝20－a n ＝21－2n ， ∴b n －b n －1＝－2，b 1＝19.
∴{b n }是以19为首项，－2为公差的等差数列． ∴ T n ＝19n ＋n (n －1)2×(－2)
＝－n 2＋20n .
故当n ＝10时，T n 的最大值为100.
品 味 高 考
11．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )
A ．13
B ．35
C ．49
D ．63
解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)
2
＝7(3＋11)
2＝49.
答案 C
12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.
解析
由已知⎩⎨
⎧
a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，
⇒⎩⎨⎧
a 1＝2，d ＝2.
∴a n ＝2n . 答案 2n。