北京第八中学九年级数学上册第四单元《圆》检测卷(有答案解析)

一、选择题
1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）
A ．24π
B ．21π
C ．16.8π
D ．36π
2．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在⊙O 上，点D 在优弧ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）
A ．165°
B ．155°
C ．145°
D ．135° 3．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在O 上，两边分别交圆O 于A ，B 两点，若O 的直径为6，则弦AB 的长为（ ）
A ．3
B ．2
C 2
D 34．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）直径所对的圆周角是直角；（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；（4）相等的圆心角所对的弧相等；（5）圆内接四边形的对角互补．其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5．点P 到圆上各点的最大距离为10cm ，最小距离为6cm ，则此圆的半径为（ ） A ．8cm
B ．5cm 或3cm
C ．8cm 或2cm
D ．3cm 6．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（ ）
A ．37
B ．
3272+ C ．237+ D ．33722
+ 7．如图，A ，B ，C 三点在O 上，若120ACB ∠=︒，则AOB ∠的度数是（ ）
A ．60︒
B ．90︒
C ．100︒
D ．120︒ 8．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（ ）
A ．5
B ．10
C ．52
D ．102 9．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，35ADB ∠=︒．则AOC ∠的度数为（ ）
A ．40︒
B ．55︒
C ．70︒
D ．65︒
10．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，同勾中 容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？”该问题的答案是（ ）
A ．8.5
B ．17
C ．3
D ．6
11．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒ ，3AB = ，A ，B 的半径分别为2和1，P ，E ，F 分别是CD 边、A 和B 上的动点，则PE PF +的最小值是（ ）
A ．333-
B ．2
C ．3
D ．33
12．如图，C 、D 是以AB 为直径的O 上的两个动点（点C 、D 不与A 、B 重合），在运动过程中弦CD 始终保持长度不变，M 是弦CD 的中点，过点C 作CP AB ⊥于点P ．若3CD =，5AB =，PM x =，则x 的最大值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．2.5
D ．23
二、填空题
13．下列说法：①弦是圆上任意两点之间的部分；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧；④直径是最长的弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥直径是圆的对称轴．其中正确的是________．
14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M
是ABC ∆的外接圆，则圆心M 的坐标为__________________，M 的半径为
_______________________．
15．如图，在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()3,0B ，以A 为圆心，2为半径作A ，点P 为A 上一动点，M 为OP 的中点，连接BM ，设BM 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值为_________．
16．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点M 和N 分别从B 、C 同时出发，以相同的速度沿BC 、CD 方向向终点C 和D 运动．连接AM ，BN 交于点P ，则PC 长的最小值为____________．
17．如图，已知点,,A B C 在O 上，若50ACB ∠=，则
AOB ∠=_____________________度．
18．已知一个圆锥形纸帽的底面半径为5cm ，母线长为10cm ，则该圆锥的侧面积为_____cm 2（结果保留π）
19．已知⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为m ，若m 满足方程2
90x ，则
⊙O 与直线l 的位置关系是________
20．在半径为4cm 的圆中，长为4cm 的弦所对的圆周角的度数为________ 三、解答题
21．在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为()5,2A -，()1,2B -，()4,5C -．
（1）画出ABC 关于原点成中心对称的图形111A B C △，并写出点1B 的坐标； （2）将ABC 绕点B 顺时针旋转90°，求旋转过程中点A 走过的路径长．
22．如图，AB 为量角器（半圆O ）的直径，等腰直角△BCD 的斜边BD 交量角器边缘于点G ，直角边CD 切量角器于读数为60°的点E 处（即弧AE 的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F 处．
（1）求量角器在点G 处的读数α（0°＜α＜90°）；
（2）若AB ＝12cm ，求阴影部分面积．
23．如图，已知,90Rt ABC ACB ∆∠=︒．
（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使得圆心О在边AC 上，且与边,AB BC 所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹);
（2）在（1）的条件下，若9,12AC BC ==，求O 的半径．
24．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A 、B 、C ．
（1）画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置（不用写作法，保留作图痕迹，用水笔描清楚），并连接AD 、CD ．
（2）⊙D 的半径为 （结果保留根号）；
（3）若用扇形ADC 围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是 ；
25．如图，已知直线PT 与⊙O 相交于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A 、B 两点，已知PTA B ∠=∠．
（1）求证：PT 是⊙O 的切线；
（2）若3PT BT ==，求图中阴影部分的面积．
26．如图，半径为2的⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，求劣弧MN 的长度．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=， 所以圆锥的侧面积165152
ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，
所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．
2．D
解析：D
【分析】
连接OB ，根据平行四边形的性质可得∠OAB=∠C=45°，再根据等腰三角形的等边对等角得∠OBA=∠OAB=45°，则∠AOB=90°，由DA=DB 得∠AOD=∠BOD ，进而可求得∠AOD 的度数．
【详解】
解：连接OB ，∵四边形ABCO 是平行四边形，
∴∠OAB=∠C=45°，
∵OA=OB ，
∴∠OBA=∠OAB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵DA=DA ，
∴∠AOD=∠BOD=
12
（360°﹣90°）=135°， 故选：D ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，熟知等弦所对的圆心角相等是解答的关键．
3．A
解析：A
【分析】
连接AO 并延长交O 于点D ，连接BD ；根据同弦所对的圆周角相等可得
30D P ∠=∠=︒；再说明AD=6,然后根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半．
【详解】
解：如图：连接AO 并延长交O 于点D ，连接BD ，
30P ∠=︒，
30D P ∴∠=∠=︒，
∵AD 是O 的直径，6AD =，90ABD ∠=︒，
132
AB AD ∴==． 故答案为A ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解答本题的关键．
4．B
解析：B
【分析】
根据确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质一一判断即可．
【详解】
解：（1）任意三点确定一个圆；错误，应该是不在同一直线上的三点可以确定一个圆； （2）直径所对的圆周角是直角；正确；
（3）平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，直径与直径互相平分，但不一定互相垂直；
（4）相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
（5）圆内接四边形对角互补；正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查确定圆的条件、直径的性质、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．C
解析：C
【分析】
分析题意，本题应分两种情况讨论：（1）点P 在圆内；（2）点P 在圆外；根据“一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上”可知，点P 到圆的最大距离与最小距离的和或差即是圆的直径，进而即可得出半径的长．
【详解】
当点P 在圆内时，圆的直径是10+6=16cm ，所以半径是8cm ．
当点P 在圆外时，圆的直径是10-6=4cm ，所以半径是2cm ．
故选C ．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，熟知一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．首先证明点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题；
【详解】
如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．
∵AQ ＝QP ，
∴OQ ⊥PA ，
∴∠AQO ＝90°，
∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，
当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大,
∵120AOC ∠=︒∴∠COH ＝60°
在Rt △OCH 中，∵∠COH ＝60°，OC=
12AB=3， ∴OH ＝12OC ＝32，CH 2233OC OH +=， 在Rt △CKH 中，CK 223332⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
372
∴CQ 的最大值为33722
+， 故选：D ．
【点睛】 本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q 的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 7．D
解析：D
【分析】
在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，根据圆内接四边形的性质计算可得∠D ，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】
解：在优弧AB 上取一点D ，连接AD 、BD ，
∵四边形ADBC 是⊙O 的内接四边形，
∴∠D+∠ACB=180°，
∵120ACB ∠=︒
∴∠D=60°
∴∠AOB=120°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据圆周角定理得出∠D=∠B ，得出△ABC 是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】
∵AC=AC ，
∴∠D=∠B ，
∵∠BAC=∠D ，
∴∠B=∠BAC ，
∴△ABC 是等腰三角形，
∵AB 是直径，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=52，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B ．
9．C
解析：C
【分析】
根据圆周角定理可得270AOB ADB ∠=∠=︒，再利用垂径定理即可求解．
【详解】
解：连接OB ，
∵35ADB ∠=︒，
∴270AOB ADB ∠=∠=︒，
∵OA BC ⊥， ∴AB AC =，
∴70AOC AOB ∠=∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查圆周角定理、垂径定理、同弧所对的圆心角相等，掌握圆的基本性质定理是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
先根据勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形内切圆半径公式求出半径，从而得到直径．
【详解】
2281517+=，
直角三角形的内切圆半径
81517
3
2
+-
==，
∴直径是6．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形的内切圆，解题的关键是掌握直角三角形内切圆半径的求解方法．11．C
解析：C
【分析】
利用菱形的性质及相切两圆的性质得出P与D重合时PE PF
+的最小值，进而求解即可．【详解】
解：作点A关于直线CD的对称点A´，连接BD，DA´，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∵∠BDC=∠ADB=60°，
∴∠ADN =60°，
∴∠A´DN=60°，
∴∠ADB+∠ADA´=180°，
∴A´，D，B在一条直线上，
由此可得：当点P和点D重合，E点在AD上，F点在BD上，此时PE PF
+最小，
∵在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD，
则△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=3，
∵⊙A，⊙B的半径分别为2和1，
∴PE=1，DF=2，
∴PE PF
+的最小值为3．
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，点与圆的位置关系等知识．根据题意得出点P 位置是解题的关键．
12．C
解析：C
【分析】
如图：延长CP 交O 于N ，连接DN ，易证12PM DN =，所以当DN 为直径时，PM 的值最大．
【详解】
解：如图：延长CP 交
O 于N ，连接DN ．
AB CN ⊥，
CP PN ∴=，
CM DM =，
12PM DN ∴=， ∴当DN 为直径时，PM 的值最大，最大值为
52
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
二、填空题
13．④⑤【分析】根据弦的定义垂径定理圆的对称性即可求解【详解】解：①连接圆上两点间的线段才是弦故原说法错误；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦故原说法错误；③垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧故原说法错误
解析：④⑤．
【分析】
根据弦的定义、垂径定理、圆的对称性即可求解．
【详解】
解：①、连接圆上两点间的线段才是弦，故原说法错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误；
③垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，故原说法错误；
④直径是最长的弦，正确；
⑤弦的垂直平分线经过圆心，正确；
⑥直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法错误；
所以，正确的结论有④⑤．
故答案为：④⑤．
【点睛】
本题考查了圆的对称性，垂径定理的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．
14．【分析】M点为BC和AB的垂直平分线的交点利用点ABC坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3AB的垂直平分线为直线y=x从而得到M点的坐标然后计算MB得到⊙M的半径【详解】解：∵点ABC的坐标分别是（
3,3
解析：()
【分析】
M点为BC和AB的垂直平分线的交点，利用点A、B、C坐标易得BC的垂直平分线为直线x=3，AB的垂直平分线为直线y=x，从而得到M点的坐标，然后计算MB得到⊙M的半径．
【详解】
解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），
∴BC的垂直平分线为直线x=3，
∵OA=OB，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y=x，
∵直线x=3与直线y=x的交点为M点，
∴M点的坐标为（3，3），
∵
MB==
∴⊙M．
故答案为（3，3．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了坐标与图形的性质．
15．2【分析】方法一：在轴上取一点连接可求由可得由点在上运动可知共线时可以取得最大值或最小值最大值最小值由最大值与最小值求出即可；方法二：连接取中点连接利用三角形三边关系有可得作差计算即可【详解】解：方
解析：2
【分析】
方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，可求3OB BE ==，22345AE =+=，由OM PM =，OB BE =，可得12BM PE =，由点P 在A 上运动，可知P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，由最大值与最小值求出72m =，32
n =即可；方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，利用三角形三边关系有BN MN BM BN MN -≤≤+，可得m BN MN =+，n BN MN =-，作差计算22m n MN PA -===即可．
【详解】
解：方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，
∵()3,0B ，()3,4A ，
∴3OB BE ==，22345AE =+=，
∵OM PM =，OB BE =，
∴12
BM PE =
， ∵点P 在A 上运动， ∴P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，
最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，
∴72m =，32
n =， ∴2m n -=，
故答案为2．
方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，
BN MN BM BN MN -≤≤+，
m BN MN =+，n BN MN =-，
22m n MN PA -===．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，掌握三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，引辅助线构造准确图形是解题关键．16．【分析】根据题意和正方形的性质可利用SAS证明△ABM≌△BCN得出
∠BAM＝∠CBN进而可证出∠APB＝90°于是可得点P在以AB为直径的圆上运动运动路径是弧BG连接OC交圆O于P如图则此时PC最
解析：5-1
【分析】
根据题意和正方形的性质可利用SAS证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径是弧BG，连接OC交圆O于P，如图，则此时PC最小，进一步即可求解．
【详解】
解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝2，
在△ABM和△BCN中，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径是弧BG，是这个圆的1
，如
4
图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝2，
∴OP＝OB＝1，
由勾股定理得：OC=，
∴PC＝OC﹣OP1；
1．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和圆的有关性质等知识；熟练掌握上述知识，证出点P在以AB为直径的圆上运动是解题关键．
17．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【详解】解：∵∠ACB与
∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角∠ACB=50°∴∠AOB=100°故答案是：100°【点睛】本题考查的是圆周角定理熟知在同圆或等圆中
解析：100
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，
∴∠AOB=100°．
故答案是：100°．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
18．50π【分析】首先求得圆锥的底面周长然后利用扇形的面积公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π则圆锥的侧面积是：×10π×10＝50π（cm2）故答案是：50π【点睛】本题主要考查
解析：50π
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】
解：圆锥的底面周长是：2×5π＝10π，
则圆锥的侧面积是：1
2
×10π×10＝50π（cm2）．
故答案是：50π．
【点睛】
本题主要考查了圆锥侧面积的求法，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．19．相切【分析】先解一元二次方程求出m的值再根据圆与直线的位置关系即
可得【详解】由得：是圆心O 到直线的距离又满足方程的半径为3与直线的位置关系是相切故答案为：相切【点睛】本题考查了解一元二次方程圆与直线 解析：相切
【分析】
先解一元二次方程求出m 的值，再根据圆与直线的位置关系即可得．
【详解】
由290x 得：123,3x x ==-， m 是圆心O 到直线l 的距离，
0m ∴≥，
又m 满足方程290x ，
3m ∴=， O 的半径为3，
O ∴与直线l 的位置关系是相切，
故答案为：相切．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程、圆与直线的位置关系、点到直线的距离，熟练掌握圆与直线的位置关系是解题关键．
20．或【分析】首先根据题意画出图形然后在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD 易得是等边三角形再利用圆周角定理即可得出答案【详解】解：如图在优弧上取点C 连接ACBC 在劣弧上取点D 连接ADBD 解析：30或150︒
【分析】
首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，在劣弧上取点D ，连接AD 、BD ，易得OAB 是等边三角形，再利用圆周角定理，即可得出答案．
【详解】
解：如图，在优弧上取点C ，连接AC 、BC ，
在劣弧上取点D ，连接AD 、BD ，
4,4OA OB cm AB cm OA OB AB
===∴== OAB ∴是等边三角形，
601302
180150AOB C AOB D C ∴∠=︒
∴∠=∠=︒∴∠=︒-∠=︒
∴所对的圆周角度数为：30或150︒
故答案为：30或150︒．
【点睛】
本题考查圆周角定理及等边三角形的判定与性质，注意两种情况．
三、解答题
21．（1）见解析，点1B 的坐标为()1,2-；（2）2π
【分析】
（1）根据中心对称的定义即可求解；
（2）根据弧长公式即可求解．
【详解】
解：（1）111A B C △如图所示
点1B 的坐标为()1,2-
（2）∵()5,2A -，()1,2B -
∴4
AB=
∴ABC绕点B顺时针旋转90°过程中，
点A走过的路径长为：904
2 180
π
π
⨯⨯
=．
【点睛】
本题考查中心对称的定义、弧长公式，掌握以上基本概念是解题的关键．
22．（1）30°；（2）6π﹣93
【分析】
（1）如图，连接OE，OF，利用切线的性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的判定证得OE∥BC，则同位角∠ABC=∠AOE=60°，所以由图形中相关角与角间的和差关系即可得到∠ABG=15°；然后由圆周角定理可以求得量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；
（2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，连接OE，OF．
∵CD切半圆O于点E，
∴OE⊥CD，
∵BD为等腰直角△BCD的斜边，
∴BC⊥CD，∠D＝∠CBD＝45°，
∴OE∥BC，
∴∠ABC＝∠AOE＝60°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣45°＝15°
∴弧AG的度数＝2∠ABG＝30°，
∴量角器在点G处的读数α＝弧AG的度数＝30°；
（2）∵AB＝12cm，
∴OF＝OB＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△OBF为正三角形，∠BOF＝60°，
∴S扇形＝
2
606
360
π⋅⨯
＝6π（cm2），S△OBF＝3，
∴S阴影＝S扇形﹣S△OBF＝6π﹣3
【点睛】
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，圆周角定理．求（2）题时，利用了“分割法”求得图中阴影部分的面积．
23．（1）见解析；（2）O的半径为4
【分析】
（1）先作∠ABC 的角平分线，交AC 于点O ，然后过O 作AB 的垂线，交AB 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆即可；
（2）先利用勾股定理求出AB ，然后由OBC ABO ABC S S S ∆∆∆+=即可求出O 的半径．
【详解】
解:（1）如图所示：
（2）设直线AB 与O 切于点D ，连接OD ，
则,OD AB ⊥
90,ACB ∴∠=︒
22222291215AB AC BC ∴=+=+=．
15,AB ∴=
设O 的半径为,r
由得OBC ABO ABC S S S ∆∆∆+=
1215912,r r +=⨯
4,r ∴=
即O 的半径为4
【点睛】
本题考查了尺规作图，切线的性质，理解题意熟练掌握角平分线和垂线的作图是解题的关键．
24．（1）图见解析；（2）25；（3）
5 【分析】 （1）根据垂进定理，作出AB 、BC 的垂直平分线交点为圆心D ．
（2）根据正方形网格长度，运用勾股定理求出半径．
（3）根据圆锥特点，先求出ABC 的弧长，利用圆锥的底面圆周长等于弧长的长度，便可解答．
【详解】
解：（1）
（2）⊙D 的半径AD 222425=+= （3）根据图上信息，可知道AOD DFC ≅
ADO DCF ∴∠=∠
90ADC ∴∠=
ABC ∴ 的长度l=9025180
π⨯ =5π 扇形ADC 围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆周长等于弧长的长度．
∴ 圆锥的底面圆半径55π== 【点睛】
本题考查了垂径定理，弧长公式得计算，属于基础题．
25．（1）证明见解析；（2）
36π- 【分析】
（1）先根据圆周角定理得：∠ATB=90°，则∠B+∠OAT=90°，根据同圆的半径相等和等腰三角形的性质得：∠OAT=∠2，从而得∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，所以直线PT 与⊙O 相切；
（2）利用TP=TB 得到∠P=∠B ，而∠OAT=2∠P ，所以∠OAT=2∠B ，则利用∠ATB=90°可计算出∠B=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=12
AB ，△AOT 为等边三角形，然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S 扇形OAT -S △AOT 进行计算．
【详解】
（1）证明：连接OT ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠B+∠OAT=90°，
∵OA=OT ，
∴∠OAT=∠2，
∵∠PTA=∠B ，
∴∠PTA+∠2=90°，即∠OTP=90°，
∴直线PT 与⊙O 相切；
（2）∵3PT BT ==
∴∠P=∠B=∠PTA ，
∵∠TAB=∠P+∠PTA ，
∴∠TAB=2∠B ，
∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°，
在Rt △ABT 中，设AT=a ，则AB=2AT=2a ，
∴a 232＝(2a)2，
解得：a=1，
∴AT=1，
∵OA=OT ，∠TAO=60°，
∴△AOT 为等边三角形， 1331224
AOT S ∴=⨯⨯=． ∴阴影部分的面积2Δ 601333606AOT AOT
S S ππ⨯=-==-扇形． 【点睛】
本题考查了切线的判定、勾股定理，此类题常与方程结合，列方程求圆的半径和线段的长，也考查了扇形的面积公式．
26．45
π 【分析】
如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得,OM AB ON AE ⊥⊥，再根据正五边形的内角和可得108A ∠=︒，然后根据四边形的内角和可得72MON ∠=︒，最后弧长公式即
可得．
【详解】
如图：连接OM ，ON ，
∵O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，
∴,OM AB ON AE ⊥⊥，
90AMO ANO ∴∠=∠=︒，
∵正五边形的每个内角为(52)1801085
-⨯︒=︒， 108A ∴∠=︒，
∴在四边形AMON 中，36072AMO ANO A MON ∠-∠=-∠∠︒-=︒，
∵O 的半径为2，
∴劣弧MN 的长度为
72241805ππ⨯=．
【点睛】
本题考查了正五边形的内角和、圆的切线的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握正五边形的内角和是解题关键．。