山东省烟台市第三中学2022年高一数学文下学期期末试卷含解析

山东省烟台市第三中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（）
A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）
参考答案：
C
【考点】函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题．
【分析】令f（x）=e x﹣x﹣2，方程e x﹣x﹣2=0的根即函数f（x）=e x﹣x﹣2的零点，由f（1）＜0，f（2）＞0知，
方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2）．
【解答】解：令f（x）=e x﹣x﹣2，由图表知，f（1）=2.72﹣3=﹣0.28＜0，f（2）=7.39﹣4=3.39＞0，
方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（1，2），
故选 C．
【点评】本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件．
2. 若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹
点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B 【考点】函数的值．
【分析】首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．
【解答】解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），
于是，化为2e x+x2+2x=0，
令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．
由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．
求导φ′（x）=2e x+2x+2，
令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，
∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，
而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，
∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．
而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，
∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．
也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．
故选B．
3. 曲线y=x3﹣6x2+9x﹣2在点（1，2）处的切线方程是（）
A ．x=1 B．y=2 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0
参考答案：
B
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】先求切线斜率，即f′（1）=3﹣2=1，然后由点斜式即可求出切线方程．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣12x+9，所以x=1，f′（1）=3﹣12+9=0，
即函数y=x3﹣6x2+9x﹣2在点（1，2）处的切线斜率是0，
所以切线方程为：y﹣2=0×（x﹣1），即y=2．
故选：B．
4. 平面向量与的夹角为,则（）
A. B. 12 C. 4 D.
参考答案：
D
【分析】
由题意可得，由数量积的定义，代入已知数据可得答案．
【详解】由题意可得
故选：D．
【点睛】本题考查向量的模的计算，涉及向量的夹角，以及向量的数量积运算，属于常考题型．
5. 某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( )
A．7，11，18 B．6，12，18 C．6，13，17 D．7，14，21
参考答案：
D
6. 已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则
A． B．
C． D．
参考答案：
A
7. 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）
A．x3+2x2 B．x3﹣2x2 C．﹣x3+2x2 D．﹣x3﹣2x2
参考答案：
A
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】设x＜0时，则﹣x＞0，我们知道当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，所以可求f（﹣x）=﹣x3﹣2x2，
再由奇函数知f（x）=﹣f（﹣x）即可求解．
【解答】解：设x＜0时，则﹣x＞0，
因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2
所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），
所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，
故选A．
8. 设m,n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则
；②若则；③若，则；④若,则，其中正确命题的序号是（）
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ①和④
参考答案：
B
【分析】
①利用线面平行的性质可得：若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线；②利用平面平行的传递性和平行平面的性质可得：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ；③利用线面垂直的性质可得：若，则；；④利用面面垂直的性质可得：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交．
【详解】①若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线，不正确；
②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ；正确；
③若，则；正确；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，不正确．
综上可知：②和③正确．
故选：B．
【点睛】本题综合考查了空间中线面的位置关系及其判定性质，属于基础题．
9. cos(－240°)的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
10. 如图是求样本x 1，x 2，…，x 10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为( )
A ．S ＝S ＋x n
B ．S ＝S ＋
C ．S ＝S ＋n
D ．S ＝S ＋
第6题
参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正方体外接球表面积是
，则此正方体边长
为
.
参考答案：
4
略
12.
已知，那么
的值为 。

参考答案：
13. 已知函数
，那么不等式
的解集为 ．
参考答案：
(－1,4)
已知函数
，可知函数是增函数，且是偶函数，不等式
等价于
14. 若tanα=2，tanβ=，则tan （α﹣β）等于 ．
参考答案：
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解． 【解答】解：∵tanα=2，tanβ=，
∴tan （α﹣β）=
=
=．
故答案为：．
15. 已知定义在R 上的奇函数满足,且在区间[0,2]上是增函数,那么
大小关系是_______________.
参考答案：
f （19）>f(16)>f （63）
16. 若=，=
，则在上的投影为________________。

参考答案：
略
17. 已知Rt△ABC 的周长为定值l ，则它的面积最大值为 ．
参考答案：
【考点】基本不等式．
【分析】设三边法不为a，b，c，c为斜边，则c2=a2+b2．由a+b+c=1，可得a2+b2=（1﹣a﹣b）2，化为：1﹣2a﹣2b+2ab=0，变形1+2ab=2（a+b），再利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．
【解答】解：设三边为a，b，c，c为斜边，则c2=a2+b2．
∵a+b+c=1，
∴a2+b2=（1﹣a﹣b）2，化为：
1﹣2a﹣2b+2ab=0，
∴1+2ab=2（a+b）≥4，化为：﹣4+1≥0，解得≥，（舍去），
或≤，即ab≤=．当且仅当a=b=时取等号．
∴它的面积最大值=ab=．
故答案为：．
【点评】本题考查了基本不等式的性质与三角形面积计算公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知集合A={x|1＜x＜8}，集合B={x|x2﹣5x﹣14≥0}
（Ⅰ）求集合B
（Ⅱ）求A∩B．
参考答案：
【考点】交集及其运算；集合的表示法．
【专题】计算题；集合思想；集合．
【分析】（Ⅰ）求出B中不等式的解集确定出B即可；（Ⅱ）由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：（Ⅰ）由B中不等式变形得：（x﹣7）（x+2）≥0，
解得：x≤﹣2或x≥7，
则集合B={x|x≤﹣2或x≥7}；
（Ⅱ）∵A={x|1＜x＜8}，B={x|x≤﹣2或x≥7}，
∴A∩B={x|7≤x＜8}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
19. 已知函数满足：对任意，都有成立，且
时，。

（1）求的值，并证明：当时，；
（2）猜测的单调性并加以证明。

（3）若函数在上递减，求实数的取值范围。

参考答案：
解：（1）
若
则与已知条件时，相矛盾，所以
设，则，那么.
又
从而．
（２）函数在上是增函数．设，则
由（１）可知对任意又
即
函数在上是增函数。

（３）由（２）知函数在上是增函数，
函数在上也是增函数，若函数在上递减，
则时，，即时，．
时，
20. 已知函数
(1)若函数在的单调递减区间（—∞,2],求函数在区间[3,5]上的
最大值.
(2)若函数在在单区间（—∞,2]上是单调递减,求函数的最大值.
参考答案：
(1)8 -----6分
(2)0 ----12分
21. （12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．
（1）求f（x）的解析式及x0的值；
（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．参考答案：
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；二倍角的余弦．
专题：计算题．
分析：（1）根据图象求出A，T，求出ω，图象经过（0，1），求出φ，然后求f（x）的解析式，根据（x0，2）求x0的值；
（2）锐角θ满足，求出sinθ，sin2θ，cos2θ，化简f（4θ），然后求f（4θ）的值．
解答：（1）由题意可得：，
即∴，，f（0）=2sinφ=1，
由，∴．（3分）
，
所以，，
又∵x0是最小的正数，∴；（7分）
（2），
∵，∴，
∴，
∴．（12分）
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，二倍角的余弦，考查计算能力，视图能力，是基础题．
22. 一个凸n边形的n个内角的度数成等差数列，公差是5°，最小内角为120°，求该多边形的边数n 及最大内角的度数.
参考答案：
，
【分析】
设这是个边形，因为最小的角等于，公差等于，则个外角的度数依次是60，55，50，，，由于任意多边形的外角和都等于，由此可以建立方程求出这是几边形．再求出最大内角的度数.
【详解】设这是个边形，因为最小的角等于，公差等于，
则个外角的度数依次是60，55，50，，，
由于任意多边形的外角和都等于，所以，
，
或，经检验不符合题意，舍去，
所以，这是个9边形．最大的内角为.
【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意任意多边形的外角和都等于360度的应用．。