§8.4 直线、平面垂直的判定和性质
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∵ E 为 PD 的中点,
∴ AE⊥PD,
又由(1) 知 CD⊥AE,且 PD∩CD = D,
∴ AE⊥平面 PCD.
∵ AE∥MN,∴ MN⊥平面 PCD.
1-1 如图,在三棱锥 P - ABC 中,PA⊥AC,PC⊥ BC,M 为
PB 的中点,D 为 AB 的中点,且△AMB 为正三角形.
又 PA⊥平面 ABCD,∴ PA⊥CD,
∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AD⊥CD,
∵ AD∩PA = A,
∴ CD⊥平面 PAD,∵ AE⊂平面 PAD,
∴ CD⊥AE,∵ MN∥AE,
∴ MN⊥CD.
(2) ∵ PA⊥平面 ABCD,∴ PA⊥AD,
又∠PDA = 45°,
∴ △PAD 为等腰直角三角形,
1× 2
3 ×1=
3 2.
因为 VM-BCD = VB-MCD ,所以
1 3
S△BCD ·MD =
1 3
S△MCD ·h,
即
1 3
×
3 4
×
3=
1 3
×
3 2
×h,
所以 h =
3 2
.故点
B
到平面
DCM 的距离为
3 2
.
1-2 如图,在三棱锥 D-ABC 中,底面 ABC 是边长为 2 的
(2) 设 AB = x,则 MD =
3 2
x,PA
=
3 x,
由
PA = 2BC,得
BC =
3 2 x,
由(1) 可知 BC⊥平面 PAC,
又 AC⊂平面 PAC,所以 BC⊥AC,
所以 AC =
AB2 -BC2
=
1 2
x,
由三棱锥 P-ABC 的体积 V =
1 3
·S△ABC ·PA =
1 8
x3 = 1,得 x
考点一 直线与平面垂直的判定和性质 高频考点
1.直线与平面垂直的判定定理
( 1) 定义:如果一条直线和一个平面 内 的 所 有 直 线 都 垂 直,
那么这条直线和这个平面垂直. 该直线叫做这个平面的垂线,该
平面叫做这条直线的垂面.即对于直线 l 和平面 α,l⊥α⇔l 垂直 于 α 内的任意一条直线.
证明面面垂直时,根据判定定理( a⊥β、a⊂α⇒α⊥β),只要 在其中的一个平面内找到另外一个平面的垂线即可,一般先从 现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可 以通过作辅助线来解决.
如图,在四棱 锥 P - ABCD 中, AB ∥ CD, AB ⊥ AD, CD = 2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证:
的角.
( 2) 当一条直线垂直于平面时,规定它 们所成 的角 是直角;
当一条直线和平面平行或在平面内时,规定它们所成的角为 0°.
(3)
直线 l 和平面 α 的位置关系
l⊂α l⊥α
或 l∥α
l和α 斜交
θ 的取值范围
θ = 0° θ = 90°
0° <θ<90°
考点二 平面与平面垂直的判定和性质
1.平面与平面垂直的判定定理 ( 1) 定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那
7 6 5 年高考 3 年模拟 B 版( 教师用书)
证明 (1) 如图所示,取 PD 的中点 E,连接 AE、NE,
∵ N 为 PC 的中点,E 为 PD 的中点,
∴
NE∥CD
且
NE =
1 2
CD,
又
AM∥CD
且
AM =
1 2
AB =
1 2
CD,∴
NE������AM,
∴ 四边形 AMNE 为平行四边形,∴ MN∥AE.
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对应学生用书起始页码 P150
一、证明直线与平面垂直的方法
(1)线面垂直的定义. (2)线面垂直的判定定理( a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,b∩c = M
⇒a⊥α) . (3) 平行线垂直平面的传递性( a∥b,b⊥α⇒a⊥α) . (4)面面垂直的性质(α⊥β,α∩β = l,a⊂β,a⊥l⇒a⊥α). ( 5) 面面平行的性质( a⊥α,α∥β⇒a⊥β) . (6) 面面垂直的性质( α∩β = l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ) . 如图,已知 PA⊥平面 ABCD,且四边形 ABCD 为矩形,
么这两个平面互相垂直.
(2)判定定理 文字语言
对应学生用书起始页码 P149
图形语言
符号语言
如果 一个 平面 经 过 另 一 个平面的垂线,那么这两 个平面互相垂直( 简记为 “ 线面垂直⇒面面垂直” )
l⊥α 且 l ⊂β⇒α ⊥β
2.平面与平面垂直的性质定理
序号
文字语言
图形语言
符号语言
如果两个平面互相 垂直,那么在一个平 性质 面内垂直于它们交 定理 1 线的直线必垂直于 另一个平面
第八章 立体几何 7 5
§ 8.4 直线、平面垂直的判定和性质
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(2) 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线
都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 用数学符号表示:如果 m⊂α,n⊂α,m∩n = B,l⊥m,l⊥n,那
么 l⊥α.
2.直线与平面垂直的性质定理 ( 1) 垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号表示:若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b. ( 2) 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条
第八章 立体几何 7 7
所以 S△ADC =
1 2
AD·AC·sin∠DAC =
7 ,
4
设点 B 到平面 ADC 的距离为 d,
因为 V三棱锥D-ABC = V三棱锥B-ADC4 ·d,
解得 d = 2
21 7
,所以点
B
到平面
ADC
的距离为2
21 7
.
二、证明平面与平面垂直的方法
中, 由 余 弦 定 理 得
cos ∠DAC
=
AD2 +AC2 -CD2 2AD·AC
=
1+22 -( 2 )2 = 2×1×2
3 4
,
所以
sin∠DAC =
7 ,
4
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(1) 求证:BC⊥平面 PAC;
(2) 若 PA = 2BC,三棱锥 P-ABC 的体积为 1,求点 B 到平面
DCM 的距离.
= 2. 设点 B 到平面 DCM 的距离为 h. 因为△AMB 为正三角形,所以 AB = MB = 2.
因为 BC = 3 ,BC⊥AC,AC = 1.
所以 S△BCD =
α⊥β, P∈β, PQ⊥α ⇒PQ⊂β
α∩β = l, α⊥γ, β⊥γ ⇒l⊥γ
3.二面角 ( 1) 二面角的定义:由两个半平面和一条公共交线所组成的
空间图形叫做二面角. 公共交线叫做该二面角的棱. 两个半平面 叫做二面角的面.
( 2) 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角. 若记此角为 θ,当 θ = 90°时,二面角叫做直二面角.
(2) 如图,过 D 作 DH⊥AM 于点 H,则 DH⊥平面 ABC.
易知 DM = 1,AM = 3 , 又 AD = 1,所以 H 为 AM 的中点,
所以 AH =
3 2
,
由勾股定理可得 DH =
AD2 -AH2
=
1 2
,
所以 V三棱锥D-ABC =
1 3
S△ABC ·DH =
3 ,
6
在△ADC
1-1 解析 (1) 证明:在正三角形 AMB 中,D 是 AB 的中点, 所以 MD⊥AB. 因为 M 是 PB 的中点,D 是 AB 的中点, 所以 MD∥PA,故 PA⊥AB. 又 PA⊥AC,AB∩AC = A,AB,AC⊂平面 ABC, 所以 PA⊥平面 ABC. 因为 BC⊂平面 ABC,所以 PA⊥BC. 又 PC⊥BC,PA∩PC = P,PA,PC⊂平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC.
也垂直于这个平面. 用数学符号表示:如果 a∥b,a⊥α,那么 b⊥α.
( 3) 点到平面的距离:从平面外一点引 平面的 一条 垂线,这
个点和垂足间的距离,叫做这个点到这个平面的距离.
3.直线与平面所成的角(设为 θ) (1) 斜线与平面所成的角的定义:平面的一条斜线和它在这
个平面内的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成
证明 (1) 因为平面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩底面 ABCD = AD,且 PA⊥AD,
所以 PA⊥底面 ABCD. (2) 因为 AB∥CD,CD = 2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB = DE, 所以四边形 ABED 为平行四边形,所以 BE∥AD, 又因为 BE⊄平面 PAD,AD⊂平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3) 因为 AB⊥AD,四边形 ABED 为平行四边形, 所以四边形 ABED 是矩形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD,由(1) 知 PA⊥底面 ABCD, 所以 PA⊥CD, 因为 PA∩AD = A,所以 CD⊥平面 PAD,所以 CD⊥PD, 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF,所以 CD⊥EF, 因为 BE∩EF = E,所以 CD⊥平面 BEF,又 CD⊂平面 PCD, 所以平面 BEF⊥平面 PCD. 2-1 ( 2016 北京,18,14 分) 如图,在四棱锥 P -ABCD 中, PC⊥平面 ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1) 求证:DC⊥平面 PAC; (2) 求证:平面 PAB⊥平面 PAC; ( 3) 设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA ∥平面 CEF? 说明理由.
(1) PA⊥底面 ABCD; (2) BE∥平面 PAD; (3) 平面 BEF⊥平面 PCD.
2-1 解析 (1) 证明:因为 PC⊥平面 ABCD, 所以 PC⊥DC. 又因为 DC⊥AC,AC∩PC = C, 所以 DC⊥平面 PAC. (2) 证明:因为 AB∥DC,DC⊥AC, 所以 AB⊥AC. 因为 PC⊥平面 ABCD,所以 PC⊥AB. 又 AC∩PC = C,所以 AB⊥平面 PAC. 又 AB⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAC. (3) 在棱 PB 上存在点 F,使得 PA∥平面 CEF. 证明如下:取 PB 中点 F,连接 EF,CE,CF.
1 2
S△ABC
=
1 2
×
1 2
· BC · AC
=
1×1× 22
3 ×1
=
3 4.
因为 MD = 3 ,由(1) 知 MD∥PA,PA⊥平面 ABC,
所以 MD⊥平面 ABC,
因为 DC⊂平面 ABC,所以 MD⊥DC.
在△ABC
中,CD =
1 2
AB = 1,
所以 S△MCD =
1 2
·MD·CD =
M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1) 求证:MN⊥CD; (2) 若∠PDA = 45°,求证:MN⊥平面 PCD.
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α⊥β, α∩β = l, a⊂β, a⊥l⇒a ⊥α
续表
序号
文字语言
如果两个平面互相
垂直,那么过第一个
性质 平面内的一点 且垂
定理 2 直 于 第 二 个 平 面 的
直 线, 在 第 一 个 平
面内
如果两个相交平面
同时垂直于第三个 性质
平面,那么它们的交 定理 3
线必垂直于第三个
平面
图形语言
符号语言
正三角形,侧棱 DB = DC = 2 . (1) 求证:AD⊥BC; (2) 若 AD = 1,求点 B 到平面 ADC 的距离.
1-2 解析 (1) 证明:如图,取 BC 的中点 M,连接 AM,DM, 因为 AB = AC,DB = DC,所以 BC⊥AM,BC⊥DM, 因为 DM∩AM = M,所以 BC⊥平面 ADM, 又因为 AD⊂平面 ADM,所以 AD⊥BC.