课标通用安徽省中考数学总复习第一篇第六单元圆考点强化练23与圆有关的位置关系试题

考点强化练23 与圆有关的位置关系
夯实基础
1.
(2018·山东泰安)如图,☉M 的半径为2,圆心M 的坐标为(3,4),点P 是☉M 上的任意一点,PA ⊥PB ,且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点,若点A 、点B 关于原点O 对称,则AB 的最小值为( )
A.3
B.4
C.6
D.8
PA ⊥PB ,∴∠APB=90°. ∵AO=BO ,∴AB=2PO.
若要使AB 取得最小值,则PO 需取得最小值,连接OM ,交☉M 于点P',当点P 位于P'位置时,OP'取得最小值.过点M 作MQ ⊥x 轴于点Q ,
则OQ=3,MQ=4,
∴OM=5.∵MP'=2,
∴OP'=3,∴AB=2OP'=6,故选C .
2.
(2018·蒙城模拟)如图,已知平面直角坐标系内三点A (3,0)、B (5,0)、C (0,4),☉P 经过点A 、B 、C ,则点P 的坐标为( )
A.(6,8)
B.(4,5)
C.4,318
D.4,33
8
∵☉P 经过点A 、B 、C ,∴点P 在线段AB 的垂直平分线上,∴点P 的横坐标为4,设点P 的坐标为
(4,y ),作PE ⊥OB 于E ,PF ⊥OC 于F ,由题意得,√42+(y -4)2=√12+y 2,解得y=318
,故选C . 3.(2018·四川自贡)如图,若△ABC 内接于半径为R 的☉O ,且∠A=60°,连接OB 、OC ,则边BC 的长为
( )
A.√2R
B.√32R
C.√22R
D.√3R
延长BO交☉O于D,连接CD,
则∠BCD=90°,∠D=∠A=60°,
∴∠CBD=30°.
∵BD=2R,∴DC=R,
∴BC=√3R,故选D.
4.
(2018·江苏无锡)如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的☉O与边AB、CD分别交于点E、F.给出下列说法:(1)AC与BD的交点是☉O的圆心;(2)AF与DE的交点是☉O的圆心;(3)BC 与☉O相切.其中正确说法的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
矩形ABCD中,∴∠A=∠D=90°,
∴AF与DE都是☉O的直径,AC与BD不是☉O的直径,
∴AF与DE的交点是☉O的圆心,AC与BD的交点不是☉O的圆心,
∴(1)错误,(2)正确.连接AF、OG,则点O为AF的中点,
∵G是BC的中点,∴OG是梯形FABC的中位线,
∴OG∥AB.∵AB⊥BC,
∴OG⊥BC,∴BC与☉O相切.
∴(3)正确.综上所述,正确结论有两个.
5.
(2018·浙江湖州)如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是.
☉O内切于△ABC,∴OB平分∠ABC.
∵∠ABC=40°,∴∠OBD=20°.
∴∠BOD=70°.
6.(2017·浙江衢州)如图,在直角坐标系中,☉A的圆心A的坐标为(-1,0),半径为1,点P为直线y=-3
x+3上动点,过点P作☉A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是.
4
√2
PQ,连接PA,AQ.
有PQ=√yy2-yy2,
又AQ=1,故当AP有最小值时PQ最小.
过A作AP'⊥MN,则有AP'最小=3,
此时PQ最小=√32-12=2√2.
7.(2017·湖南常德)如图,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于C,BE∥CO.
(1)求证:BC是∠ABE的平分线;
(2)若DC=8,☉O的半径OA=6,求CE的长.
OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.
∵BE∥CO,∴∠OCB=∠EBC.
∴∠OBC=∠EBC.
∴BC是∠ABE的平分线.
CD与☉O相切于C,
∴△DCO为直角三角形.
∵DC=8,☉O的半径OC=OA=6,
∴DO=10.
∵BE∥CO,BD和DE相交于点D,
∴yy
yy =yy
yy
,∴CE=4.8.
8.
(2018·甘肃白银)如图,在△ABC中,∠ABC=90°.
(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作☉O(要求:不写作法,保留作图痕迹).
(2)判断(1)中AC与☉O的位置关系,直接写出结果.
如图,☉O为所求作的圆,OC为所求作的∠ACB的平分线.
(2)AC为☉O的切线.
9.
(2018·山东滨州)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB.求证:
(1)直线DC是☉O的切线;
(2)AC2=2AD·AO.
连接OC,∵AC平分∠DAB,
所以∠DAC=∠OAC.
由题意可知OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD.
∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°.
∴∠ADC=∠OCD=90°,
∴直线DC是☉O的切线.
(2)连接BC,因为AB是☉O的直径,
所以∠ACB=90°,
所以∠ACB=∠ADC=90°,∠DAC=∠BAC,
所以△ADC∽△ACB,
所以yy
yy =yy
yy
,
所以AC2=AD·AB,所以AC2=2AD·AO.
提升能力
10.
(2018·江苏泰州)如图,△ABC中,∠ACB=90°,sin A=5
13
,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A'B'上的动点,以点P为圆心、PA'长为半径作☉P,当☉P与△ABC的边相切时,☉P的半径为.〚导学号16734133〛
102
13
P的半径为r,∵∠ACB=90°,
∴yy
yy
=sin A=5
13
,BC2+AC2=AB2.
∵AC=12,∴BC=5,AB=13.
由旋转得∠A'CB'=∠ACB=90°,∠A'=∠A,A'C=AC=12,B'C=BC=5,A'B'=AB=13,
∴∠A'CB=180°,∴A'、C、B三点共线,
∵点P到直线BC的距离小于半径PA',
∴☉P与直线BC始终相交,如图1,过点P作PD⊥AC于点D,则∠B'DP=∠B'CA'=90°.
图1
∵∠DB'P=∠CB'A',
∴△B'DP∽△B'CA',
∴yy
y'y
=yy'
y'y'
.∴yy
12
=13−y
13
.
∴PD=12(13−y)
13
=12-12
13
r.
当☉P与AC边相切时,PD=PA',
∴12-12
13
r=r,∴r=156
25
.
如图2,延长A'B'交AB于点E,
图2
∵∠A+∠B=90°,∠A'=∠A,
∴∠A'+∠B=90°,∴∠A'EB=90°,
同上得A'E=1213A'B=20413.
当☉P 与AB 边相切时,A'E=2PA', ∴r=10213.
综上所述,☉P 的半径为15625或
10213. 11.
(2016·江苏无锡)如图,△AOB 中,∠O=90°,AO=8 cm,BO=6 cm,点C 从A 点出发,在边AO 上以2 cm/s 的速度向O 点运动,与此同时,点D 从点B 出发,在边BO 上以1.5 cm/s 的速度向O 点运动,过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ,则当点C 运动了 s 时,以C 点为圆心,1.5 cm 为半径的圆与直线EF 相切.
C 为圆心,1.5cm 为半径的圆与直线EF 相切时,此时,CF=1.5, ∵AC=2t ,BD=32t ,
∴OC=8-2t ,OD=6-32t ,
∵点E 是OC 的中点,∴CE=12OC=4-t ,
∵∠EFC=∠O=90°,∠FCE=∠DCO ,
∴△EFC ∽△DOC ,∴yy yy =yy yy .
∴EF=3yy 2yy =3(6−32y )2(8−2y )=98.
由勾股定理可知CE 2=CF 2+EF 2, ∴(4-t )2=(32)2+(98)2
,
解得t=178或t=478, ∵0≤t ≤4,∴t=17
8.
12.
(2018·四川绵阳)如图,AB 是☉O 的直径,点D 在☉O 上(点D 不与A ,B 重合).直线AD 交过点B 的切线于点C ,过点D 作☉O 的切线DE 交BC 于点E.
(1)求证:BE=CE;
(2)若DE∥AB,求sin∠ACO的值.
OD,如图,
∵EB,ED为☉O的切线,
∴EB=ED,OD⊥DE,AB⊥CB,
∴∠ADO+∠CDE=90°,∠A+∠ACB=90°.
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO.
∴∠CDE=∠ACB.
∴EC=ED.∴BE=CE.
OH⊥AD于H,如图,设☉O的半径为r, ∵DE∥AB,∴∠DOB=∠DEB=90°.
∴四边形OBED为矩形,而OB=OD,
∴四边形OBED为正方形,
∴DE=CE=r.
易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形,
∴OH=DH=√2
2
r,CD=√2r.
在Rt△OCB中,OC=√(2y)2+y2=√5r,
在Rt△OCH中,sin∠OCH=yy
yy =
√2
2
y
√5y
=√10
10
,
即sin∠ACO的值为√10
10
.
创新拓展
13.
如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC为☉O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.
(1)求∠CDE的度数;
(2)求证:DF是☉O的切线;
(3)若AC=2√5DE,求tan∠ABD的值.
对角线AC为☉O的直径,
∴∠ADC=90°,∴∠CDE=90°.
,连接DO,
∵∠EDC=90°,F是EC的中点,∴DF=FC,
∴∠FDC=∠FCD,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC,
∵∠OCF=90°,
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°,又∵点D在☉O上,∴DF是☉O的切线.
ABD=∠ACD,
∵∠E+∠DCE=90°,∠DCA+∠DCE=90°,
∴∠DCA=∠E,
又∵∠ADC=∠CDE=90°,
∴△CDE∽△ADC,
∴yy
yy =yy
yy
,∴DC2=AD·DE,
∵AC=2√5DE,
∴设DE=x,则AC=2√5x,
则AC2-AD2=AD·DE,
即(2√5x)2-AD2=AD·x,
整理得AD2+AD·x-20x2=0,
解得AD=4x或-5x(负数舍去), 则DC=√(2√5y)2-(4y)2=2x,
故tan∠ABD=tan∠ACD=yy
yy =4y
2y
=2.。