平面汇交力系与平面力偶系PPT教案

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FR Fi 0
力多边形自行封闭
Fxi 0 Fyi 0
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5. 平面力对点之矩
MO (F ) F d 2OAB
6. 合力矩定理：
MO (FR ) MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
7. 力偶和力偶矩
力偶——两个大小相等、方向相反且 不共线 的平行 力组成 的力系 。
A
F
D
d
B
C
F'
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平面力偶 性质：
1.力偶不能合成为一个力，也不能用 一个力 来平衡,只能用 力偶来 平衡 。 2.力偶对平面内任意一点的矩都等于 力偶矩 ，与矩 心无关
2.4.2 同平面内力偶的等效定理定理
定理：在 同平面 内的两 个力偶 ，如果 力偶矩 相等， 则两力 偶彼此 等效。
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[例2-8]图示杆系，已知m，l。 求A、B处约束 力。
练习：
解：
FAD
1、研究对象二力杆：AD
FC
FAD
FB
2、研究对象： 整体 M 0
m
思考：CFBA杆D 受 F力B情 况l 如何？
F
' C
m
FB
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AD杆 m
F
' C
解：
FAD
1、研究对象二力杆：BC
FC
FB
FB
FAD
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例2-4：图示压榨机，在A点作用水平力F、C块与光滑墙
接触，在F力作用使C块压紧物体D，求：物体D所受压力。
h
y
y
B
FAB
[C]
L
F
x
FCA x
L
A
F
FAC [A]
FC
FD
C 解:[点A] Fx=0; – FABcos – FACcos – F=0 （1）
D
Fy=0; FABsin–FACsin =0 （2）
y
Fy
O
Fx
F x
力在坐标 轴上的 投影是 代数量 还是矢 量？
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2.2.2 力的正交分解与力的解析表达式
F x Fx i
F y Fy j
y
Fy j
O
i
F Fx
x
力的投影与力的分量有何不同？
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2.2.2 合力的正交分解与力的解析表达式
y
FRy
j
O
i
F2 F4
R
F a
3
4
结论：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小 与方向等于各分力的矢量和(几何和)，合力的作用线 通过汇交点。 用矢量式表示为：
FR F1 F2 Fn F
特
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2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
在同平面内的任意个力偶可以合成为一 个合力 偶，合 力偶矩 等于各 个力偶 矩的代 数和。
n
M Mi 第i261页/共41页
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2.4.4 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
n
Mi 0
i 1
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Fy Fy1 Fy2 Fy3 Fy4 F1 sin a1 F2 sin a2 F3 sin a3 F4 sin a4 360sin 600 550sin 00 380sin 300 300sin 700 160
FR Fx2 Fy2 (1162)2 (160)2 1173N
第10页共41页1212222222合力的正交分解与力的解析表达式合力的正交分解与力的解析表达式frfrxfryrxry第11页共41页1313223223合力投影定理合力投影定理平面汇交力系的合力在某轴上的投影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和
平面汇交力系与平面力偶系
平面汇交力系： F2
➢ 力的作用线
Fi 0
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系 的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。
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已知：P，a
例题1
求：A、B处约束反力。
解： （1）取刚架为研究对象
（2）画受力图
（3）按比例作图求解
PC
2a
D
a
A
B
FA
FB
由图中的几何关系得
FA
FB P tan 0.5P
FB
P
FA
P2 FB2
从（2）可得：FAB=FAC，代（1）得：FAC=F/（2 cos）
Fy=0; [点C]
FD+FCAsin =0；
（3）（有：FCA=FAC）
F FD 2
tanα FL 2h
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已知：F=60N 求：A，C点的作用力
B
a
F
a A
C
600
D
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20
[例2-4]
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③作力多 边形或 力三角 形
F Ptg
NB
P
cos
又由几何关系：
r2 (rh)2
tg
0.577
rh
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力 和反作 用力的 关系， 碾子对 障碍物 的压力 等于23. 1kN。
此题也可 用力多 边形方 法用比 例尺去 量。
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2.2.4 平面汇交力系合成的解析法
FR Fx2 Fy2 ( Fxi )2 ( Fyi )2
cos(FR , i )
Fx FR
Fxi FR
cos(FR ,
j)
Fy FR
Fyi FR
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➢ 例2-3如图2-11所示，作用 于吊环螺钉上的四个力F1， F2，F3，F4构成平面汇交 力系。已知各力的大小方
8
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
力在轴上的投影：
B F A
n a
b
Fx ab
A F
B
n
b
a
Fx ab
正负号的规定：
若 a到b的指向与n轴正向一致，取正 号； 若 a到b的指向与n轴正向相反，取负 号。
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2.2.1 力在坐标轴上的投影
Fx F cos Fy F cos
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FR Fi
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（2）解析法 根据合力投影定理：
4. 平面汇交力系的平衡条件 （1）平衡的必要和充分条件： （2）平衡的几何条件： （3）平衡的解析条件：
FR
FR2x FR2y
(
Fxi
)2
(
Fyi
)2
cos(FR , i)
FRx FR
, cos(FR ,
j)
FRy FR
tga Fy 160 0.133 Fx 1162
可得a 7054'
因为Fx为正，Fy为负，故合力R在第四象限，指向如图所示
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2.2.5 平面汇交力系的平衡方程
FR ( Fxi )2 ( Fyi )2 0
Fxi 0 Fyi 0
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。
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2.3 平面力对点之矩的概念及计算
2.3.1 力对点之矩（力矩）
力对点之 矩是一 个代数 量
正负规定：力使物体绕矩心逆时针转 动时为 正，反 之为负 。 力矩的单位常用N·m或kN·m。
矩心
F
力臂
MO(F) Fh 2AOAB
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2.3.2 合力矩定理与力矩的解析表达式
M Mi Mi 0
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已知：
P 20 kN ，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆AB与BC所受的力。
A C
30
B
30 30
P
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铰链四杆机构CABD的CD边固定， 在铰链 A、B处有力F 1、F2 作用，如图所示。该机构在图示位置 平衡， 杆重略 去不计 。 求力F1与F2的关系
，因此A端的约束力必沿AD杆。根据力
偶只能与力偶平衡的性质，可以判断A
与B 端的约束力FA 和FB 构成一力偶，因 此有：FA = FB 。梁AB受力如图。
列平衡方程：
F
AA
M B
M 0, M FA l cos 45 0
解
M
2M
FB
得 FA FB l cos 45 l
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FR Fx
Rx
FR FRx FRy Fxi Fy j
FR Fx2 Fy2
cos(F, i ) Fx FR
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cos(F, j) Fy FR
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2.2.3 合力投影定理
n
Fx Fxi i1
n
Fy Fyi i 1
平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等于力系
中各个分力在同一轴上投影的代数和。
(1) 合力 矩定理
平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于 所有各分力对于该点之矩的代数和。
n
MO (F R ) MO (F i ) i 1 y
(2) 力矩 的解析 表达式
MO(F) MO(F y ) MO(F x)
xF sinq yF cosq
xFy yFx
y
Fy
A x O
F
q
推论：（性质） (1)
(2) 力偶可改装性
力偶的可传性。
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2.4.3 平面力偶系的合成
F1 d1
F2
d2 F2 F1
F3
F4
Ad
B
F4
F3
F
A
dB
F
F3d F1d1 M1 F4d F2d2 M2 F F4 F3, F F4 F3
M Fd (F4 F3)d M2 M1
2、研究对象： 整体
FAD
FB
m l sin 450
2m l
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1. 力在坐标轴上的投影为： 2. 平面内力的解析表达式为：
3. 求平面汇交力系的合力 （1）几何法 根据力多边形规则，求得合力的大小 和方向 为： 合力的作用线通过各力的汇交点。
结论与讨论
Fx F cos
F Fxi Fy j
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[例2-7] 一钻床上水平放置工件,在工件上同时 钻四个 等直径 的孔,每个钻 头的力 偶矩为
,求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
m1m2 m3 m4 15Nm
解: 各力偶的合力偶矩为
M m1 m2 m3 m4 4(15)60Nm
由力偶只能与力偶平衡的性质， 力NA与力NB组成一力偶。
力偶在任一轴上的投影等于零，且对 平面内 任一点 的矩恒 等于力 偶矩， 力偶矩 与矩心 的位置 无关。
M Fd 力偶矩
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力偶的等效定理：在同平面内的两个 力偶， 如果力 偶矩相 等，则 彼此等 效。力 偶矩是 力偶作 用的唯 一量度 。
8. 平面力偶系的合成与平衡 合成结果： 平衡条件：
F1
F3
位于同一平
F4
面内且汇交
于一点的力
A
系。
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2
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.1.1 平 面汇交 力系合 成的几 何法
F4
力的多边形:
F2 F1
A 用力多边 形求合 力的作 图规则 称为力 的多边 形法则 。
F3
FR1 F2 F3
F4 F1
FR2
R
F F3
a
F1
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???
15
16
Fx Fx1 Fx2 Fx3 Fx4 F1 cos a1 F2 cos a2 F3 cos a3 F4 cos a4 360 cos 600 550 cos 00 380 cos 300 300 cos 700 360 0.5 550 380 0.866 300 0.342 1162N
2.4.1力偶与力偶矩
F1 F2
由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的 力系，称为力偶，记为(F, F')。
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力偶对物体的转动效应用力偶矩来 度量。 平面力偶 矩是一 个代数 量， 以M或M(F, F')表 示，
M Fd 2AABC
符号：逆时针为正，反之为负。
平面力偶 对物体 的作用 效应由 以下两 个因素 决定： (1) 力偶矩 的大小 ； (2) 力偶在 作用面 内的转 向
向F1 =360N，1=60°； F2 =550N，2 =0°； F3 =380N，3 =30°；F4 =300N， 4=70°。试用 解析法求合力的大小和方
向。
各力的汇交点
解：
F1
F2
F3
F4
Fx F1cosα1 F2cosα2 F3cosα3 F4cosα4
Fy F1sinα1 F2sinα2 -F3sinα3 -F4sinα4
5P 2
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[例2] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求： 在中心 作用的 水平力 F的大 小和碾 子对障 碍物的 压力。
解：
①选碾子 为研究 对象
②取分离 体画受 力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大,这时拉 力F和 自重及 支反力 NB构成 一平衡 力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭，故
M 0
NB 0.2 m1 m2 m3 m4 0
N
B
60 0.2
300N
N A NB 300N
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例题 2-8 横梁AB长l，A端用铰链杆支撑，B端为铰支座。梁上受到一力 偶的作用，其力偶矩为M，如图所示。不计梁和支杆的自重，求A和 B端的约束力。
M A
l
D
45
解
B
选梁AB为研究对象。AD是二力杆
Fx
x
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22
２-6已知F＝1400 N, r＝60 mm, a＝20°，求力F对O点的矩。
Ft
Fn
Fn
Fr
MO(F) F h Fr 78.93 N m
MO(F) MO(Fr ) MO(F t ) MO(F t ) F cos r
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23
2.4 平面力偶