西藏自治区日喀则市南木林高级中学2021届高三第二次月考数学试卷 Word版含答案

数学
注意事项：
1、本试题全部为笔答题，共 4 页，满分 150 分，考试时间 90 分钟。

2、答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内禁止答题。

3、用钢笔或签字笔直接答在试卷(或答题纸上)。

4、本试题为闭卷考试，请考生勿将课本进入考场。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2
30A x x
x =-<，(){}ln 2B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．()2,+∞
B ．()2,3
C ．()3,+∞
D ．(),2-∞
2．定义运算
a b ad bc c d =-，则满足i
01i 2i
z -=--（i 为虚数单位）的复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，4816a a =，则
6
3
S S =（ ） A ．98
B ．9
C ．
98或78
D ．9或7-
4．若双曲线2
2
1y x m
-=的一个焦点为()3,0-，则m =（ ）
A ．22
B ．8
C ．9
D ．错误!未找到引用源。

5．在ABC △中，sin 32B A =，2BC =π
4
C =
，则AB =（ ） A 26B ．5
C ．33
D ．266. (理) 在 5))((y x y x -+
的展开式中，33y x 的系数是（ ）
A. 1
B. 10
C. -10
D.0
（文） 若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移1
4个周期后，所得图像对应的函数为（ ）
A ，y =2sin(2x +π4)
B 。

y =2sin(2x +π3)
C 。

y =2sin(2x –π4) D.y =2sin(2x –π
3
)
7．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两）．问玉、石重各几何？”如右图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）
A ．90，86
B ．94，82
C ．98，78
D ．102，74
8．已知点()44P ，
是抛物线2
:2C y px =上的一点，F 是其焦点，定点()14M -，，则MPF △的外接圆的面积为（ ）
A ．
125π
32
B ．
125π
16
C ．
125π
8
D ．
125π
4
9．设tan ,tan αβ是方程2
320x
x -+=的两个根,则tan()αβ+的值为 （
）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．
12
10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2
2x
f x x =+，则不等式()213f x -<的解集为
（ ）
A ．()1-∞，
B ．()2-∞，
C ．()22-，
D ．()12-，
11．若tan θ+
1
tan θ
=4,则sin2θ= （ ）
A ．1
5
B ．14
C ．
13
D ．
12
12.已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，，点()00P x y ，是直线20bx ay a -+=上任意一点，若圆
()()
22
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A ．(]12，
B
．(
C ．()2+∞，
D
．)
+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

、
13．已知向量a 与b 的夹角为60︒，2=a ，3=b ，则32-=a b __________． 14．若tan 3α=，π02α⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
，，则πcos 4α⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
__________． 15．已知实数x ，y 满足不等式组002839
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则3z x y =+的最大值是__________． 16．曲线y=2x －x 3
在点（1，1）处的切线方程为
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17（10分）设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13. (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n
b n 的前n 项和S n .
18（12分）.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间。

按年龄分组：
第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，由统计的数据得到的频率分布直方图如下图所示，在其上面的表是年龄的频率分布表。

（1）求正整数a ，b ，N 的值；
（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组中抽取的人分别
是多少？
（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1 人在第3组的概率。

19（12分）．如右图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形， 四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝90°，AB ∥CD ，
AD ＝AF ＝CD ＝2，AB ＝4．
(1)求证：AC ⊥平面BCE ； (2)求三棱锥E －BCF 的体积．
20（12分）．已知圆C ：4)4()
3(22
=-+-y x ，直线l
1
过定点A (1，0)．
（1）若l 1与圆C 相切，求l 1的方程；
（2）若l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 1的方程．
21（12分）．已知函数R x a x e x f x ∈+-=,)(2的图像在点0=x 处的切线为bx y =．
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）当R x ∈时，求证：x x x f +-≥2)(；
（3）若kx x f >)(对任意的),0(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围； 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22（12分）．选修4－4：坐标系与参数方程(10分)
在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t
y t x 225223（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系
xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρsin 52
=．
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为3(，)5，求PB
PA 1
1+． 23（12分）.选修4-5：不等式选讲 设函数
()||,0f x x a a =-<. (1)证明：
1()2f x f x ⎛⎫
+-≥ ⎪⎝⎭
；
(2)若不等式1
()(2)2
f x f x +<
的解集非空，求a 的取值范围
答案
一、选择题
二、填空题
13 、 6 14、
15 、 12 16 、x+y=2 三、解答题
17（10）、
解(Ⅰ) ∵cosA=23
=cosC+23sinC.
整理得(Ⅱ)由图辅助三角形知. 又由正弦定理知:sin sin a c
A C
=
,
故c =对角A 运用余弦定理:cosA=2222
23b c a bc +-=. (2)
解(1) (2)得:b =(舍去). ∴∆ABC 的面积为.
18、 （12） （1）25a =人,=100b 人,250N =人；
（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人； （3）
8
15
． 试题分析：（1）由频率分布表和频率分布直方图知：第1组[25,30)的频率为0．1，第2组[30,35)的频率为0．1，第3组[35,40)的频率为0．4，所以
0.10.10.4
25a b
==；（2）第1，2，3组的人数比为25:25:1001:1:4=，抽取6人，故分别抽取1人，1人，4人；（3）从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动有15种，先从第3组任抽1人有4种方法，剩下的1人从第1组或第2组抽取共2种，所以恰有1 人在第3组共8种，概率为
8
15
． （1）25a =人,=100b 人,250N =人；
（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人； （3）
8
15
19、（12）解：(1)证明：过点C 作CM ⊥AB ，垂足为M ，因为AD ⊥DC ，
所以四边形ADCM 为矩形，所以AM ＝MB ＝2，
又AD ＝2，AB ＝4，所以AC ＝22，CM ＝2，BC ＝22，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC ⊥BC ，因为AF ⊥平面ABCD ，AF ∥BE ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥AC.
又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，且BE ∩BC ＝B ，所以AC ⊥平面BCE. (2)因为AF ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥CM ， 又CM ⊥AB ，AF ⊂平面ABEF ，
AB ⊂平面ABEF ，AF ∩AB ＝A ，所以CM ⊥平面ABEF. VE －BCF ＝VC －BEF ＝13×12×BE ×EF ×CM ＝16×2×4×2＝8
3.
在直三棱柱ABC －A1B1C1中，AC ＝4，CB ＝2，AA1＝2，∠ACB ＝60°，E 、F 分别是A1C1、BC 的中点．
20、（12分）解：（Ⅰ） ①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意. ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2，即：
2=，解之得 3
4
k =
. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=.
(Ⅱ) 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为0kx y k --=， 则圆心到直线l 1的距离 2
142k
k d +-=
又∵△CPQ 的面积 2
24422
1d d d d S -=-⨯=
＝4)2(42242+--=
-d d d
∴当d
S 取得最大值2. ∴2
142k k d +-=
＝2 ∴ k＝1 或k ＝7
所求直线l 1方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .
21、（12分）解：（1）x e x f a x e x f x x 2)(,)(2-='+-=
由已知⎩⎨⎧=='=+=b f a f 1)0(01)0(解得⎩
⎨⎧=-=11
b a ，故1)(2--=x e x f x
（2）令1)()(2--=-+=x e x x x f x g x ， 由01)(=-='x e x g 得0=x
当)0,(-∞∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减；当),0(+∞∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增
∴0)0()(min ==g x g ，从而x x x f +-≥2)(
（3）kx x f >)(对任意的),0(+∞∈x 恒成立⇔
k x
x f >)
(对任意的),0(+∞∈x 恒成立 令
0,)()(>=x x x f x g ,∴2
222)
1)(1()1()2()()()('x x e x x x e x e x x x f x f x x g x x x ---=
----=-'=
由（2）可知当),0(+∞∈x 时，012>--x e 恒成立 令0)(>'x g ，得1>x ；0)(<'x g 得10<<x
∴)(x g 的增区间为),1(+∞，减区间为)1,0(，0)1()(min ==g x g
∴0)1()(min ==<g x g k ，∴实数k 的取值范围为(,0)-∞
22、（12分） 解：（1） θρsin 52:=C ∴θρρsin 52:2=C
∴052:22=-+y y x C ，即圆C 的标准方程为5)5(22=-+y x ．
（2）设直线l 圆C 的两个交点A 、B 分别对应参数1t ，2t ，则
将方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 22522
3代入052:22=-+y y x C 得：04232
=+-t t
∴2321=+t t ，421=⋅t t ∴01>t ，02>t
由参数t 的几何意义知：11t t PA ==，22t t PB ==
∴
4
2
31111212121=⋅+=+=+t t t t t t PB PA . 23、（12分）解：（1）证明：函数()||,0f x x a a =-<，
则1111()||||()f x f x a a x a a x a a x x x x ⎛⎫⎛⎫
+-
=-+--=-++≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
11=|||2||||
x x x x x +
=+≥= （当且仅当||1x =时取等号）. (2)()(2)|||2|,0f x f x x a x a a +=-+-<.
当x a ≤时，()(2)223f x f x a x a x a x +=-+-=-， 则()(2)f x f x a +≥-； 当2
a
a x <<时，()(2)2f x f x x a a x x +=-+-=-， 则()(2)2a
f x f x a -
<+<-； 当2
a
x ≥时，()(2)232f x f x x a x a x a +=-+-=-，
则()(2)2a f x f x +≥-
，则()f x 的值域为,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
. 不等式1()(2)2f x f x +<
的解集非空，即为122
a
>-，解得，1a >-，由于0a <， 则a 的取值范围是(1,0)-.。