圆锥曲线的综合问题：直线与圆锥曲线的位置关系

圆锥曲线的综合问题：直线与圆锥曲线的位置关系
ZHI SHI SHU LI 知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共 点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0， ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .
当Δ__＞___0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； 当Δ__＝___0时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当Δ__＜___0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k (k 不为0)的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2·|x 1－x 2|或|P 1P 2|＝__
1＋1
k
2·|y 1－y 2|___. (2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1中，以P (x 0，
y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所
在直线的斜率k ＝b 2x 0
a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率
k ＝p y 0
.
ZHONG YAO JIE LUN
重要结论
求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
(1)定型，就是指定类型．也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，就是利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外．当焦点位置无法确定时，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)．
SHUANG JI ZI CE
双基自测
1．(2019·天津模拟)若双曲线x 23－16y 2
p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝
( D ) A ．1
4
B ．1
2
C ．2
D ．4
[解析] 因为双曲线x 23－16y 2
p 2＝1(p >0)的左焦点为(－
3＋p 2
16
，0)，抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p
2
，所以－
3＋p 216＝－p
2
，得p ＝4，故选D ． 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为2
3，过F 2的直线l
交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( D ) A ．x 23＋y 2
＝1
B ．x 23＋y 2
2＝1
C ．x 29＋y 2
4
＝1
D ．x 29＋y 2
5
＝1
[解析] 由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝2
3，所以c ＝2，所以b 2＝
a 2－c 2＝5，所以椭圆
C 的方程为x 29＋y 2
5
＝1，故选D ．
3．(2019·宁夏模拟)直线l 过抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( B ) A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6x
D ．y 2＝－4x
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 2
2＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－
8x .故选B ．
4．已知抛物线x 2
＝8y 与双曲线y 2a
2－x 2
＝1(a >0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |
＝5，则该双曲线的渐近线方程为( B ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0
D ．5x ±4y ＝0
[解析] 设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点
M (x 0，y 0)在双曲线y 2
a
2－
x 2＝1
上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a
2－x 2
＝0，即3x ±5y ＝0，选B ．
5．(2019·桂林模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的半焦距为
c ，原点O 到经过(c,0)，(0，
b )两点的直线的距离为c
2，则椭圆的离心率为( A )
A ．
3
2
B ．2
2 C ．1
2
D ．
33
[解析] 经过(c,0)，(0，b )两点的直线方程为x c ＋y
b ＝1，即bx ＋cy －b
c ＝0，所以由题设得
bc
b 2＋
c 2
＝c
2
，化简得c 2＝3b 2，得c 2＝3(a 2－c 2)，所以4c 2＝3a 2，所以2c ＝3a ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝3
2
.故选A ．
6．(2019·温州模拟)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰
为双曲线的右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为__x 25－y 2
20＝1___.
[解析] 由题设知点M (－3,4)与右焦点F 2(c,0)关于直线y ＝b
a x 对称，
所以－4c ＋3·b a ＝－1，即4b ＝a (c ＋3)①，
且线段MF 2的中点(c －32，2)在直线y ＝b
a x 上，
即2＝b a ·c －3
2
，得b (c －3)＝4a ②.
由①÷②得4
c －3＝c ＋34，得c 2＝25，c ＝5，代入①可得b ＝2a .
又c 2＝a 2＋b 2，所以25＝a 2＋(2a )2，所以a 2＝5，从而b 2＝4a 2＝20. 故所求双曲线的标准方程为x 25－y 2
20
＝1.
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系——自主练透
例1 (1)(2019·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4＝1的交点个数为( B )
A ．至多一个
B ．2
C ．1
D ．0
(2)(2019·湖北武汉调研)已知不过原点O 的直线交抛物线y 2＝2px 于A ，B 两点，若OA ，AB 的斜率分别为k OA ＝2，k AB ＝6，则OB 的斜率为( D ) A ．3 B ．2 C ．－2
D ．－3
(3)已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则k 的取值范围为( D ) A ．(0，5
2
) B ．[1，52] C ．(－
52，5
2
) D ．(1，
52
) [解析] (1)∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4
没有交点，∴
4m 2＋n 2
＞2，∴m 2＋n 2＜4.∴
m 29
＋n 24＜m 29＋4－m 2
4＝1－5
36
m 2＜1， ∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4＝1的交点有2个，故
选B ．
(2)由题意可知，直线OA 的方程为y ＝2x ，与抛物线方程
y 2＝2px
联立得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，
y 2＝2px ，
得
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝p 2，y ＝p ，即A (p 2，p )，则直线AB 的方程为y －p ＝6(x －p
2
)，即y ＝6x －2p ，与抛物线方程y 2
＝2px 联立得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝6x －2p ，y 2＝2px ，得⎩⎨⎧ x ＝2p
9
，
y ＝－2p 3
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝p 2，y ＝p ，
所以B (2p 9，－2p
3)，所以直线OB 的斜率为k OB ＝－2p 32p
9
＝－3.故选D ．
(3)由题意知k >0，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，
x 2－y 2＝4，
整理得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0，因为直线y ＝kx －1与双
曲线x 2－y 2＝4的右支有两个交点，则联立所得方程有两个不同的正实数根x 1，x 2，所以
⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝4k 2＋20(1－k 2)>0，
x 1
＋x 2
＝－2k 1
－k
2
>0，
x 1x 2
＝－
5
1－k 2
>0，
解得1<k <
52，即k ∈(1，5
2
)，故选D ． 名师点拨 ☞
研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常利用几何条件，利用数形结合的方法求解．
考点2 直线与圆锥曲线的弦长问题——师生共研
例2 (2019·常州模拟)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上一点P 的纵坐标为4，且点P 到焦点F 的距离为5. (1)求抛物线E 的方程；
(2)如图，设斜率为k 的两条平行直线l 1，l 2分别经过点F 和H (0，－1)，l 1与抛物线E 交于A ，B 两点，l 2与抛物线E 交于C ，D 两点．问：是否存在实数k ，使得四边形ABDC 的面积为43＋4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由抛物线的定义知，点P 到抛物线E 的准线的距离为5. ∵抛物线E 的准线方程为y ＝－p 2，∴4＋p
2＝5，解得p ＝2，
∴抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)由已知得，直线l 1：y ＝kx ＋1.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，
x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0， Δ1＝16(k 2＋1)>0恒成立，|AB |＝
1＋k 2·
16(k 2＋1)＝4(k 2＋1)．
直线l 2：y ＝kx －1，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －1，
x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx ＋4＝0，
由Δ2＝16(k 2－1)>0得k 2>1， |CD |＝
1＋k 2·
16(k 2－1)＝4
(k 2＋1)(k 2－1)， 又直线l 1，l 2间的距离d ＝
2
k 2＋1
，
∴四边形ABDC 的面积S ＝1
2·d ·(|AB |＋|CD |)＝4(
k 2＋1＋k 2－1)．
解方程4(
k 2＋1＋
k 2－1)＝4(3＋1)，得k 2＝2(满足k 2>1)，
∴存在满足条件的k ，k 的值为± 2. 名师点拨 ☞
处理弦长问题的两个注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；
(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用． 〔变式训练1〕
(2019·贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 2
＝1，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)
是椭圆C 上两个动点，直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2，若m ＝(x 12，y 1)，n ＝(x 2
2，y 2)，
m ·n ＝0.
(1)求证：k 1·k 2＝－1
4
；
(2)试探求△OPQ 的面积S 是否为定值？并说明理由． [解析] (1)∵k 1，k 2存在，∴x 1x 2≠0，∵m ·n ＝0， ∴x 1x 24＋y 1y 2＝0，∴k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝－14
. (2)①当直线PQ 的斜率不存在，即x 1＝x 2，y 1＝－y 2时， 由y 1y 2x 1x 2＝－14，得x 214
－y 21＝0， 又由P (x 1，y 1)在椭圆上，得x 214＋y 21
＝1， ∴|x 1|＝2，|y 1|＝
22
，
∴S △POQ ＝1
2
|x 1||y 1－y 2|＝1.
②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b .
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b ，x 24
＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kbx ＋4b 2－4＝0，
Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋1)(4b 2－4)＝16(4k 2＋1－b 2)>0， ∴x 1＋x 2＝－8kb
4k 2＋1，x 1x 2＝4b 2－44k 2＋1.
∵x 1x 2
4
＋y 1y 2＝0， ∴x 1x 24＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0，得2b 2－4k 2＝1， ∵原点O 到直线PQ 的距离d ＝|b |1＋k 2
，
∴S △POQ ＝1
2·
|b |1＋k 2
·|PQ |
＝12
|b |(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2|b |
4k 2＋1－b 2
4k 2＋1
＝1.
综上可得，△POQ 的面积S 为定值．
考点3 中点弦问题——多维探究
角度1 利用中点弦确定直线方程
例3 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 2
2＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，
则此弦所在的直线方程为__x ＋2y －3＝0___.
[解析] 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k .
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1①，x 22
4＋y 2
22
＝1②，
①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
2＝0，
∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，
∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝－1
2.
∴此弦所在的直线方程为y －1＝－1
2
(x －1)，即x ＋2y －3＝0.
角度2 利用中点弦确定曲线方程
例4 过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为__x 2＝2y 或x 2＝4y ___.
[解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1
p
(x －x 1)，
即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 2
12p ，即x 21－4x 1－4p 2
＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，
因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段
AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 2
2
2p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p
＝12，
16＋8p 2
2p ＝12，解得p ＝1或p ＝2. 角度3 利用中点弦解决对称问题
例5 已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为
4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－1
2，则
m 的值为( A ) A ．3
2
B ．5
2
C ．2
D ．3
[解析] 由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2
)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以
y 1－y 2
x 1－x 2
＝－1，故x 1＋x 2＝－1
2，而x 1x 2
＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝1
2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22
＝－
14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 2
22＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m ＝32
，选A ． 名师点拨 ☞
处理中点弦问题常用的求解方法
提醒：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 〔变式训练2〕
(1)(角度1)(2019·江西五市联考)已知直线y ＝1－x 与双曲线ax 2＋by 2＝1(a >0，b <0)的渐近线交于A 、B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为－32，则a
b
的值为( A ) A ．－
3
2
B ．－23
3
C ．－932
D ．－2327
(2)(角度3)已知椭圆x 22＋y 2
＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点．设过点F 且不与坐标轴垂直的
直线交椭圆于A ，B 两点，点A 和点B 关于直线l 对称，l 与x 轴交于点G ，则点G 横坐标的取值范围是__(－1
2
，0)___.
[解析] (1)由双曲线ax 2＋by 2＝1知其渐近线方程为ax 2＋by 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有
ax 21＋by 21＝0①，ax 22＋by 22＝0②，
由①－②得a (x 21－x 22)＝－b (y 21－y 22
)，整理得y 1＋y 2x 1＋x 2·
y 1－y 2
x 1－x 2
＝－a b ，设AB 的中点为M (x 0，y 0)，则k OM ＝y 0x 0＝2y 02x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－32，又知k AB ＝－1，∴－
32×(－1)＝－a b ，∴a b ＝－3
2，故选A ．
(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，
代入x 22
＋y 2
＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.
因为直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， 所以方程有两个不等实根．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 2
2k 2＋1
，
x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k
2k 2＋1，
因为点A 和点B 关于直线l 对称， 所以直线l 为AB 的垂直平分线，其方程为 y －y 0＝－1
k
(x －x 0)．
令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋1
4k 2＋2，
因为k ≠0，所以－1
2
<x G <0，
即点G 横坐标的取值范围为(－12，0)．故填(－1
2，0)．。