人教新课标版数学高一B版必修2课时作业 第二章 平面解析几何初步 综合测试A

第二章综合测试(A)
时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．数轴上三点A 、B 、C ，已知AB ＝2.5，BC ＝－3，若A 点坐标为0，则C 点坐标为( ) A ．0.5 B ．－0.5 C ．5.5 D ．－5.5
B
由已知得，x B －x A ＝2.5，x C －x B ＝－3，且x A ＝0，∴两式相加得，x C －x A ＝－0.5，即x C ＝－0.5.
2．(2014·宁夏银川一中高一期末测试)在直角坐标系中，直线3x －y －3＝0倾斜角为( )
A ．30°
B ．120°
C ．60°
D ．150° C
直线3x －y －3＝0化为斜截式为y ＝3x －3，∴斜率k ＝tan θ＝3，∴θ＝60°. 3．已知点A (1,2,2)、B (1，－3,1)，点C 在yOz 平面上，且点C 到点A 、B 的距离相等，则点C 的坐示可以为( )
A ．(0,1，－1)
B ．(0，－1,6)
C ．(0,1，－6)
D ．(0,1,6) C
由题意设点C 的坐标为(0，y ，z )， ∴
1＋(y －2)2＋(z －2)2＝
1＋(y ＋3)2＋(z －1)2，
即(y －2)2＋(z －2)2＝(y ＋3)2＋(z －1)2. 经检验知，只有选项C 满足．
4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距是( ) A ．－32
B ．－23
C.25
D ．2
A
由题意，得过两点(－1,1)和(3,9)的直线方程为y ＝2x ＋3.令y ＝0，则x ＝－3
2，
∴直线在x 轴上的截距为－3
2
，故选A.
5．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5 D ．1或2
C
当k ＝3时，两直线显然平行；当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得－k －34－k ＝2(k －3)2.
解得k ＝5，故选C.
6．在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率为0，则AC 、AB 所在直线的斜率之和为( )
A ．－2 3
B ．0 C. 3 D ．2 3 B
如图所示．
由图可知，k AB ＝3，k AC ＝－3，∴k AB ＋k AC ＝0.
7．直线3x －2y ＋m ＝0与直线(m 2－1)x ＋3y ＋2－3m ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直
C ．相交
D ．与m 的取值有关
C
由3×3－(－2)×(m 2－1)＝0，即2m 2＋7＝0无解．故两直线相交． 8．若点(2,2)在圆(x ＋a )2＋(y －a )2＝16的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－2<a <2 B ．0<a <2 C ．a <－2或a >2 D ．a ＝±2 A
由题意，得(2＋a )2＋(2－a )2<16，
∴－2<a <2.
9．点M (x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C ＝0上的点，则直线方程可表示为( ) A ．A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0 B ．A (x －x 0)－B (y －y 0)＝0 C ．B (x －x 0)＋A (y －y 0)＝0 D ．B (x －x 0)－A (y －y 0)＝0 A
∵M (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上， ∴Ax 0＋By 0＋C ＝0，∴C ＝－Ax 0－By 0， ∴直线方程为Ax ＋By －Ax 0－By 0＝0，∴选A.
10．设m >0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离 D ．相交或相切
C
∵m >0，∴圆心(0,0)到直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0的距离d ＝
|1＋m |2＋2
＝1＋m 2
，圆x 2＋y 2＝
m 的半径r ＝m ，由1＋m 2－m ＝1－2m ＋m 2＝(1－m )2
2
≥0，得d ≥r ，故选C.
11．两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
C
x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心为(2，－1)，半径为2，圆x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的圆心为(－2,2)，半径为3，故两圆外切，即两圆有三条公切线．
12．一辆卡车宽1.6m ，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )
A ．1.4m
B ．3.5m
C ．3.6m
D ．2.0m B
圆半径OA ＝3.6m ，卡车宽1.6m ，∴AB ＝0.8m ，
∴弦心距OB ＝
3.62－0.82≈3.5m.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．若点(2，k )到直线3x －4y ＋6＝0的距离为4，则k 的值等于________． －2或8 由题意，得|6－4k ＋6|
32＋(－4)2
＝4，
∴k ＝－2或8.
14．(2014·山东东营广饶一中高一期末测试)以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的方程是________．
(x －2)2＋y 2＝10
由题意知，圆的半径r ＝|AB |＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10.
∴圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.
15．若直线x ＋3y －a ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为________． －1或3
圆心为(1,0)，半径r ＝1，由题意，得
|1－a |
1＋3
＝1，∴a ＝－1或3.
16．已知a ＋b ＝c (c 是非零常数)，则直线ax ＋by ＝1恒过定点__________． ⎝⎛⎭⎫1c ，1c
∵a ＋b ＝c (c ≠0)，∴a ⎝⎛⎭⎫1c ＋b ⎝⎛⎭⎫1c ＝1， ∴点⎝⎛⎭⎫1c ，1c 满足直线ax ＋by ＝1的方程， 即直线ax ＋by ＝1过点⎝⎛⎭⎫1c ，1c .
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)正方形ABCD 的对角线AC 在直线x ＋2y －1＝0上，点A ，B 的坐标分别为A (－5,3)，B (m,0)(m >－5)，求B 、C 、D 点的坐标．
如图，设正方形ABCD 两顶点C ，D 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．
∵直线BD ⊥AC ，k AC ＝－1
2，∴k BD ＝2，直线BD 方程为y ＝2(x －m )，与x ＋2y －1＝0联
立
解得⎩⎨⎧
x ＝15＋45
m y ＝25－2
5m
，
点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫15＋45m ，25－2
5m ， ∵|AE |＝|BE |， ∴⎝⎛⎭⎫15＋45m ＋52＋⎝⎛⎭⎫25－25m －32
＝
⎝⎛⎭⎫15＋45m －m 2＋⎝⎛⎭
⎫25－25m 2， 平方整理得m 2＋18m ＋56＝0，
∴m ＝－4或m ＝－14(舍∵m >－5)，∴B (－4,0)． E 点坐标为(－3,2)， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
－3＝－5＋x 1
22＝3＋y 1
2
，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝－1y 1＝1. 即点C (－1,1)， 又∵⎩⎪⎨
⎪⎧
－3＝－4＋x 2
22＝0＋y 2
2
，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＝－2y 2＝4， 即点D (－2,4)，
∴点B (－4,0)，点C (－1,1)，点D (－2,4)．
18．(本题满分12分)已知一直线通过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求这条直线的方程．
设直线方程为y －2＝k (x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2－2k ，
由题设条件1
2⎪
⎪⎪⎪－2－2k ·||
2k ＋2＝1， ∴2(k ＋1)2＝|k |，
∴⎩⎨⎧ k >02k 2＋3k ＋2＝0或⎩⎨⎧
k <0
2k 2＋5k ＋2＝0
， ∴k ＝－2或－12
，
∴所求直线方程为：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.
19．(本题满分12分)已知直线y ＝－2x ＋m ，圆x 2＋y 2＋2y ＝0. (1)m 为何值时，直线与圆相交？ (2)m 为何值时，直线与圆相切？ (3)m 为何值时，直线与圆相离？
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝－2x ＋m x 2＋y 2＋2y ＝0
，得
5x 2－4(m ＋1)x ＋m 2＋2m ＝0. Δ＝16(m ＋1)2－20(m 2＋2m )＝－4， 当Δ>0时，(m ＋1)2－5<0， ∴－1－5<m <－1＋ 5. 当Δ＝0时，m ＝－1±5，
当Δ<0时，m <－1－5或m >－1＋ 5.
故(1)当－1－5<m <－1＋5时，直线与圆相交； (2)当m ＝－1±5时，直线与圆相切；
(3)当m<－1－5或m>－1＋5时，直线与圆相离．
20．(本题满分12分)求与圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)，且半径为1的圆C2的方程．
解法一：由圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，知圆心为C1(2，－1)，
则过点A(4，－1)和圆心C1(2，－1)的直线的方程为y＝－1，
设所求圆的圆心坐标为C2(x0，－1)，
由|AC2|＝1，即|x0－4|＝1，
得x0＝3，或x0＝5，
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1，或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
解法二：设所求圆的圆心为C2(a，b)，
∴(a－4)2＋(b＋1)2＝1，①若两圆外切，则有
(a－2)2＋(b＋1)2＝1＋2＝3，②联立①、②解得a＝5，b＝－1，
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
若两圆内切，则有
(a－2)2＋(b＋1)2＝2－1＝1，③联立①、③解得a＝3，b＝－1，
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1，或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
21．(本题满分12分)(2014·甘肃庆阳市育才中学高一期末测试)已知两圆x2＋y2＋6x－4＝0，x2＋y2＋6y－28＝0.
求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；
(2)公共弦长．
(1)由两圆方程x2＋y2＋6x－4＝0，x2＋y2＋6y－28＝0相减，得x－y＋4＝0.
故它们的公共弦所在直线的方程为x－y＋4＝0.
(2)圆x2＋y2＋6x－4＝0的圆心坐标为(－3,0)，半径r＝13，
∴圆心(－3,0)到直线x －y ＋4＝0的距离d ＝
|－3－0＋4|12＋(－1)2
＝
22
， ∴公共弦长l ＝2(13)2－(
22
)2
＝5 2. 22．(本题满分14分)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100m ，BC ＝80m ，AE ＝30m ，AF ＝20m ，应如何设计才能使草坪面积最大？
如图所示建立坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，
∴线段EF 的方程为x 30＋y
20
＝1(0≤x ≤30)，
在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于Q ，PR ⊥CD 于点R ， 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ ||PR |＝(100－m )(80－n )
又m 30＋n 20＝1(0≤m ≤30)，∴n ＝20(1－m 30
)， ∴S ＝(100－m )(80－20＋23m )＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)，
于是当m ＝5时，S 有最大值， 这时|EP ||PF |＝30－5
5
＝5 1.
答：当草坪矩形的两边在BC 、CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成51
时，草坪面积最大．。