三角函数和与差及图像

两角和与差、二倍角公式
一、知识回顾 （一）主要公式：
1.两角和与差的三角函数
()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+
()βαβαβαs in c o s c o s s in s in -=-
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()βαβαβαs in s in c o s c o s c o s
+=- 2.二倍角公式： αααcos sin 22sin =
2
22
2
2cos sin
12sin 2cos 11tan cos22tan tan2ααααα
αα
α-=-=--==
3. 半角公式
2
cos 12sin αα
-±=
2
c o s 12
c o s αα
+±
=
1c o s t a n
21c o s ααα-=±+ααααs in c o s 1c o s 1s in -=+= 4. 万能公式：
22t a n
2s i n 1t a n 2
ααα=+
221t a n 2c o s 1t a n 2
ααα-=+
22t a n
2t a n 1t a n 2
ααα=-
5. 积化和差：
()()[]βαβαβα-++=
s in s in 2
1
c o s s in ()()[]βαβαβα--+=
s in s in 2
1
s in c o s ()()[]βαβαβα-++=
cos cos 2
1
cos cos
()()[]βαβαβα--+-
=c o s c o s 2
1
s in s in 6. 和差化积：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2c o s 2s in 2s in s in y x y x y x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+
=-2
s in 2c o s 2s in s in y x y x y x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2cos 2cos 2cos cos y x y x y x
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-2s in 2s in 2c o s c o s y x y x y x （二）重要结论： 1．sin α±cos α＝
2sin()4
π
α±．
sin()2.tan tan tan()(1tan tan )cos cos αβαβαβαβαβ
±±=±=
3．a sin α＋b cos α＝
22a b +sin （α
＋φ）＝
22a b +cos （α
－φ1），．
4．tan α＋cot α＝sec α·csc α＝
2sin 2α
． 5．tan α－cot α＝－2ctg2α．
6．cot α±cot β＝sin()sin sin βααβ
±． 7．(sin α±cos α)2＝1±sin2α. 8．21cos sin 2
2
αα-=. 9．21cos cos 2
2
α
α
+=
.
10.αααααcos
3cos 43cos ,sin 4sin 33sin 33-=-= 11.
1tan tan().1tan 4
απ
αα±=±
二、基本训练：
1、下列各式中，值为
1
2
的是 （ ） A 、1515sin cos B 、2
2
1212
cos sin π
π
- C 、
22251225tan .tan .-
D 、162cos
π
+ 2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件
3、若02πβα<<<且45
513
cos(),sin()αβαβ+=-=，那么2cos α的值是（ ）
A 、6365
B 、6365-
C 、3365
D 、5665或1365
-
4、已知,αβ为锐角且11
105
cos ,cos αβ==
，则αβ+的值等于＿＿＿＿。

5、若3
2
(,)αππ∈，则化简
111122222cos α++为＿＿＿＿＿＿。

三、例题分析
例1、已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2
23
sin()αβ-=，求c o s ()αβ+的值.
例2、计算：204032040tan tan tan tan .++
例3、若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值.
例4、已知222
F()cos cos ()cos ()θθθαθβ=++++，问是否存在满足0αβπ≤<≤的αβ、，使得F()θ的值不随θ的变化而变化？如果存在，求出αβ、的值；若不存在，说明理由.
例5、（05全国卷Ⅱ）已知α为第二象限的角，3sin 5α=，β为第一象限的角，5
cos 13
β=．
求t a n (2)αβ-的值．
例6、（05福建卷）已知5
1
cos sin ,02=
+<<-
x x x π
. （I ）求sin x －cos x 的值；
（Ⅱ）求
x
x x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 32
2++-的值.
四、作业 同步练习g3.0145两角和与差、二倍角公式
1、已知3
5sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为 （ ）
A 、725
B 、18
25
C 、725-
D 、1825-
2、131080
sin sin -
的值是 （ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、1
4
3、已知3
5
sin ,αα=是第二象限角，且1tan()αβ+=，则tan β的值为 （ ）
A 、－7
B 、7
C 、34-
D 、3
4
4、（05江西卷）已知==αα
cos ,32
tan 则 （ ）
A ．54
B ．－54
C ．154
D ．－5
3
5、（05江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭
⎫
⎝⎛+απ232cos =（ ）
A ．97-
B ．31-
C ．31
D ．9
7
6、（05湖北卷）若∈<<=+απ
αααα则),2
0(tan cos sin （ ）
A ．)6,0(π
B ．)4,6(ππ
C ．)3,4(π
π
D ．)2,3(ππ
7、（05重庆卷）=+-)12
sin 12)(cos 12sin 12(cos π
πππ
（ ）
A ．2
3-
B ．2
1
-
C ．21
D ．23
8、已知14462
sin(
x )sin(
x ),x (,)π
π
π
π+-=∈，则4sin x =＿＿＿＿。

9、设ABC ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3
4
sin Acos A =，则此三角形是＿＿
＿＿＿＿三角形。

10、已知321775124cos sin ,ππααα-=
<<，求24
sin tan()π
αα+和的值。

11、已知
13
372
sin sin,cos cos,,
π
αβαβαβ
-=+=<<，求
2
sin
αβ
+
的值。

12、已知
11
27
,(,),tan(),tan
αβπαββ
∈-==-，求2αβ
-的值。

13、是否存在锐角,αβ，使得①
2
2
3
π
αβ
+=；②23
2
tan tan
α
β=-同时成立？若存在，
求出,
αβ；若不存在，说明理由。

三角函数的图象一、知识回顾
（一）熟悉.三角函数图象的特征：
y＝tanx y＝
cotx
y=cosx y=sinx
-1
1
-1
1
o o
y
x
y
x
（二）三角函数图象的作法： 1.几何法（利用三角函数线）
2. 描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.
3.利用图象变换作三角函数图象．
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B 的作法．
函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的物理意义：
振幅|A|，周期2||
T πω=
，频率1||2f T ωπ==，相位;x ωϕ+初相ϕ（即当
x ＝0时的相位）．（当
A ＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
（1）振幅变换或叫沿y 轴的伸缩变换．（用y/A 替换y ）由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.
（2）周期变换或叫做沿x 轴的伸缩变换．(用ωx 替换x )由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω
倍，得到
y ＝sin ω x 的图象.
（3）相位变换或叫做左右平移．(用x ＋φ替换x )由y ＝sinx 的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.
（4）上下平移（用y+(-b)替换y ）由y ＝sinx 的图象上所有的点向上（当b ＞0）或向下（当b ＜0）平行移动｜b ｜个单位，得到y ＝sinx ＋b 的图象.
注意：由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）+B （A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x 轴量伸缩量的区别。

二、基本训练
1、为了得到函数)6
3sin(π
+=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象 （ ）
A 、向左平移6π
B 、向左平移18π
C 、向右平移6π
D 、向右平移18π
2、函数|2
|sin 2)(π
-
=x x f 的部分图象是 （ ）
3、函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象一个对称中心的坐标是 （ ）
A 、)0,83(π
B 、)1,83(π
C 、)1,8
(π D 、)1,8(--π
O
O
O
O
x
x
x
x
y y y y 2
2 2
2
A
D
C
B
4、（00）函数y=-xcosx 的部分图象是
5、已知函数a x x x f -++-=1cos 4sin 4)(2，当]3
2,4[π
π-∈x 时)(x f ＝0恒有解，则
a 的范围是＿＿＿＿＿＿。

6、方程)3sin(||lg π
+=x x 有＿＿＿个实数根。

三、例题分析
例1、已知函数)3
2sin(2π
+=x y 。

（1）求它的振幅、周期和初相； （2）用五点法作出它的图象；
（3）说明)3
2sin(2π
+=x y 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到？
例2、把函数x x y sin cos 3-=的图象向左平移)0(>m m 个单位，所得的图象关于y 轴对称，求m 的最小值。

例3、如图为)sin(ϕω+=x A y
(0,0,||)2
A π
ωϕ<><
的图象的一段，求其解析式。

3-
3
3
π
6
5π O
x
y
例4、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；缺货后落潮时返回海洋。

某港口水的深度y （米）是时间t （240≤≤t ，单位：时）的函数，记作)(t f y =，下面是该港口在某季节每天水深的数据：
t （时） 0
3 6 9 12 15 18 21 2
4 y （米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察，)(t f y =曲线可以近似地看做函数k t A y +=ωsin 的图象。

(1) 根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式；
(2) 一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米。

如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)？
例5.（00） 已知函数
（I ）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（II ）该函数的图象可由y=sinx （x ∈R ）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
四、作业 同步练习g3.1046三角函数的图象
1、若函数)sin(3)(ϕω+=x x f 对任意实数x ，都有)4()4(x f x f -=+ππ，则)4
(π
f 等
于
A 、0
B 、3
C 、－3
D 、3或－3
2、把函数)3
2cos(3π
+-=x y 的图象向右平移)0(>m m 个单位，设所得图象的解析
式为)(x f y =，则当)(x f y =是偶函数时，m 的值可以是
A 、3π
B 、6π
C 、4π
D 、12π
3、（05福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 A ．4
,2
π
ϕπ
ω=
=
B ．6
,3
π
ϕπ
ω=
=
C ．4,4πϕπω==
D ．4
5,4π
ϕπω==
4、（05天津卷）函数),2
,0)(sin(R x x A y ∈π
<
ϕ>ωϕ+ω=的
部分图象如图所示，则函数表达式为）
（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π
-π=x y
（C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)4
8sin(4π
+π=x y
5、函数)6
2sin(3π
+=x y 与y 轴距离最近的对称轴是＿＿＿＿＿＿.
6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈⋅=的图象向右平移4
π
个单位后，再作关于x 轴的对称变换，
得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 可以是＿＿＿＿＿＿＿。

7、给出下列命题：①存在实数α，使1c o s s i n =αα；
②存在实数α，使2
3
c o s s i n =+αα；③)225sin(x y -=π是偶函数；④8π=x 是函数)4
52sin(π
+=x y 的一条对称轴方程；⑤若
α、β是第一象限角，且αβ>，则βαtan tan >。

其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿＿。

（注：把你认为正确命题的序号都填上） 8、（05上海卷）函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。

9、（05湖南卷）设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函
数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，
n
π
]上的面积为n 2（n ∈N * ），（i ）y
＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 34 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3
π
，34π]上的面积
为 .
10、已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=。

（1）求它的振幅、周期和初相； （2）用五点法作出它的图象；
（3）说明)cos (sin sin 2)(x x x x f +=的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到？
11、若函数)(x f y =的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，
然后将所得图象先向左平移2
π 个单位，再向下平移1个单位，得到的曲线与x
y cos 21
=的图象相同，求)(x f y =的表达式。

12、函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 在)3
2,0(π
∈x 内只取到一个最大值和一个
最小值，且当12π=x 时，函数的最大值为3，当12
7π
=x 时，函数的最小值为－3，试求
此函数的解析式。