江西省都昌县三叉港中学2020届高考考前45天大冲刺卷理科数学二(含解析)

第1页（共10页）第2页（共10页） 2020年高考考前45天大冲刺卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，2{|2}M x x x =-≥，则U M =ð（ ）A ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|2x x <-或0}x >D ．{|2x x ≤-或0}x ≥2．已知i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，若1i (1i)1i z -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．12- C ．1i 2 D ．1i 2-3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边落在射线()200x y x +=>上， 则sin α=（ ）A ．55B ．55- C ．255 D ．255-4．空气质量指数AQI 是一种反映和评价空气质量的方法，AQI 指数与空气质量对应如下表所示：如图是某城市2018年12月全月的指AQI 数变化统计图：根据统计图判断，下列结论正确的是（ ） A ．整体上看，这个月的空气质量越来越差 B ．整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量 C ．从AQI 数据看，前半月的方差大于后半月的方差 D ．从AQI 数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值 5．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3519a a a =，313S =，则5a =（ ） A ．8116 B ．27 C ．81 D ．243 6．已知函数()lg(1)f x x =+，记0.2(5)a f =，0.2(log 3)b f =，(1)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．a b c << C ．c a b << D ．c b a << 7．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||πϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ） A ．ππ()23sin()84x f x =+ B ．π3π()23sin()84x f x =+ C ．ππ()23sin()84x f x =- D ．π3π()23sin()84x f x =- 8．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）第3页（共10页）第4页（共10页） A ．32 B ．16 C ．323 D ．8039．设函数()f x '为函数()sin f x x x =的导函数，则函数()f x '的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，设函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意0x >都有2()()0f x xf x '+>成立，则（ ）A ．4(2)9(3)f f -<B ．4(2)9(3)f f ->C ．2(3)3(2)f f >-D ．3(3)2(2)f f -<-11．已知O 为坐标原点，F 是椭圆22221(0):x y a b a C b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23 D ．3412．已知偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且当(0,4]x ∈时，ln(2)()x f x x =，关于x 的不等式2()()0f x af x +>在区间[200,200]-上有且只有300个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(ln 2,ln 6)3-- B ．1(ln 2,ln 6]3--C ．13(ln 6,ln 2)34-- D ．13(ln 6,ln 2]34--第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量(1,2)=a ，(4,2)=b ，()m m =+∈R c a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， 则m = ．14．已知实数x ，y 满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最小值为 ． 15．已知抛物线方程为x y 42=，直线l 的方程为05=+-y x ，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为 ． 16．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A BCD -的外接球，3BC =，3AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在数列{}n a 中，11a =，2a b =，前n 项之和为n S ． （1）若{}n a 是等差数列，且822a =，求b 的值； （2）对任意的*n ∈N 有：24n n a a +=，且101021S a =-，试证明：数列{}n a 是等比数列．第5页（共10页）第6页（共10页）18．（12分）某单位为促进职工业务技能提升，对该单位120名职工进行一次业务技能测试，测试项目共5项，现从中随机抽取了10名职工的测试结果，将它们编号后得到它们的统计结果如下表（表1）所示（“√”表示测试合格，“×”表示测试不合格）．表1：规定：每项测试合格得5分，不合格得0分．（1）以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率．①设抽取的这10名职工中，每名职工测试合格的项数为X ，根据上面的测试结果统计表，列出X 的分布列，并估计这120名职工的平均得分；②假设各名职工的各项测试结果相互独立，某科室有5名职工，求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率；（2）已知在测试中，测试难度的计算公式为i i RN z =，其中i N 为第i 项测试难度，i R 为第i 项合格的人数，Z 为参加测试的总人数，已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表（表2）：表2：定义统计量22211221[()()()]n n S N N N N N N n '''=-+-++-L ，其中i N 为第i 项的实测难度，i N '为第i 项的预测难度（1,2,,i n =L ），规定：若0.05S ≤，则称该次测试的难度预测合理，否则为不合理，测试前，预估了每个预测项目的难度，如下表（表3）所示：表3： 判断本次测试的难度预估是否合理． 19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，90APD ∠=︒，且AD PB =． （1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若AD PB ⊥，求二面角D PB C --的余弦值．第7页（共10页）第8页（共10页）20．（12分）已知椭圆C 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线32y x =与椭圆C 在第一象限内的交点是M ，点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2F ，椭圆C 的另一个焦点是1F ，且1294MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点()1,0-，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求2F PQ △的面积的最大值及此时2F PQ △内切圆半径．21．（12分）已知函数2()x e f x x a =-，且曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线(2)0x e y +-=垂直． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求证：0x >时，()1ln 1x e ex x x --≥-．第9页（共10页）第10页（共10页）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线12:n x y C αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线224cos 3:C ρρθ=-．（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点()0,1P -，求PM AB ⋅的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()2f x x a x =++-． （1）若4a =-，求不等式()6f x ≥的解集； （2）若()3f x x ≤-的解集包含[0,1]，求实数a 的取值范围．答案与解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】2{|2}{|20}M x x x x x =-≥=-≤≤，全集U =R ，则{|2U M x x =<-ð或0}x >．2．【答案】A【解析】由题意可得21i 1i 1111i (1i)2i 2i 222z --===-=--+，则11i 22z =-+，据此可得，z 的虚部为12．3．【答案】D【解析】在α的终边上取点(1,2)P -，则221(2)5r =+-=， 根据三角形函数的定义得25sin 5y r α===-，故选D ．4．【答案】C【解析】从整体上看，这个月AQI 数据越来越低，故空气质量越来越好，故A ，B 不正确； 从AQI 数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C 正确；从AQI 数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D 不正确．5．【答案】C【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，依题意可得241112111913a q a q aa a q a q ⎧=⎪⎨⎪++=⎩，解得3q =，11a =，所以4451381a a q ===，故选C ．6．【答案】A【解析】)(x f 是偶函数，在),0[+∞上单调递增，∴)31(log )3log ()3(log 2.02.02.0f f f b =-==， ∵15502.0=>，0.20.210log log 0.213<<=，∴0.20.210log 153<<<， ∴0.20.21(log )(1)(5)3f f f <<，∴a c b <<，故选A ． 7．【答案】D 【解析】由题意23A =， 又2[6(2)]16T =⨯--=，∴2π2π1π68T ω===，∴62π8πk ϕ⨯+=，k ∈Z ， ∵πϕ<，∴3π4ϕ=-，∴3()23sin(π4π)8f x x =-，故选D ． 8．【答案】D 【解析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱111ABC A B C -切掉一个三棱锥111C A B D -，如下图所示： 则D 为1AA 中点， 1111444322ABC A B C V -∴=⨯⨯⨯=，1111116424323C A B D V -=⨯⨯⨯⨯=， ∴所求几何体体积11111116803233ABC A B C C A B D V V V --=-=-=，故选D ． 9．【答案】B 【解析】()sin cos f x x x x '=+，可得()f x '是奇函数，排除C ， 当πx =时，()0f x '<，排除A ，D ． 10．【答案】A 【解析】设22()()'()2()'()[2()()]0()g x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x =⇒=+=+>⇒' 在[0,)+∞上是增函数， 易得()g x 是偶函数4(2)(2)(2)(3)9(3)f g g g f ⇒-=-=<=，故选A ． 11．【答案】A【解析】由题意可设(,0)F c -，(,0)A a -，(,0)B a ，令x c =-，代入椭圆方程可得2b y a =±，可得2(,)b P c a -±， 设直线AE 的方程为()y k x a =+，令x c =-，可得()y k a c =-，所以(,())M c k a c --，令0x =，得y ka =，所以(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，则可得(0,)2kaH ，由B ，H ，M 三点共线，可得BH BM k k =，所以0()020kak a c a c a ---=---，即12a ca c -=+，即3a c =，所以离心率13ce a ==，故选A ．12．【答案】D【解析】∵偶函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，∴(4)(4)(4)f x f x f x +=-=-， ∴()f x 的周期为8且()f x 的图象关于直线4x =对称，∵[200,200]-上含有50个周期，且()f x 在每个周期内都是轴对称图形，∴当关于x 的不等式2()()0f x af x +>在(0,4]上有3个整数解，当(0,4]x ∈时，21ln 2()xf x x -'=，由()0f x '>，得02ex <<；由()0f x '<，得42ex <<，∴当函数()f x 在(0,)2e 上单调递增，在(,4)2e上单调递减，∵(1)ln 2f =，ln83(2)(3)(4)ln 2044f f f >>==>，∴当(1,2,3,4)x k k ==时，()0f x >，∴当0a ≥时，2()()0f x af x +>在(0,4]上有4个整数解，不符合题意；∴0a <，由2()()0f x af x +>，可得()0f x <或()f x a >-，显然()0f x <在(0,4]上无整数解， 故而()f x a >-在(0,4]上有3个整数解，分别为1，2，3， 所以3(4)ln 24a f -≥=，ln 6(3)3a f -<=，(1)ln 2a f -<=， 所以ln 63ln 234a -<≤-，故选D ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】2 【解析】(1,2)(4,2)(4,22)m m m m =+=+=++c a b ， c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴||||||||⋅⋅=a c b c a c b c ， ∴520=，∴2m =． 14．【答案】13- 【解析】作出不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，得到如图的阴影部分，由2350y x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(11,2)B =--， 设(,)z F x y x y ==+，将直线:l z x y =+进行平移，当l 经过点B 时， 目标函数z 达到最小值，∴min z (11,2)13F =--=-． 15．【答案】321【解析】设焦点为(1,0)F ，则11d PF =-， 那么12d d +的最小值为1513212+-=-，故答案为321-．16．【答案】[2π,4π]【解析】如图，设BDC △的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则123sin 6033O D =︒⨯=，22113AO AD DO =-=，在1OO D Rt △中，223(3)R R =+-，解得2R =，∵3BD BE =，∴2DE =，在1DEO △中，134232cos301O E =+-⨯⨯⨯︒=，∴22112OE O E OO =+=，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为222(2)2-=，最小面积为2π；当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π，故答案为[2π,4π]．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）4b =；（2）证明见解析．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知可得111722a a d =⎧⎨+=⎩，解得3d =，4b =．（2）由24n na a +=，得数列{}n a 的奇数项和偶数项依次均构成等比数列，由已知101021S a =-，得55441(41)24133b b --+=⋅-，解得2b =， ∴1(21)12142n n n a ----==，1212242n n n a --=⋅=， ∴12n n a -=，即{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 18．【答案】（1）①分布列见解析，平均得分为16；②316；（2）是合理的． 【解析】（1）①根据上面的测试结果统计表，得X 的分布列为： 所以X 的数学期望()10.120.230.240.450.1 3.2E X =⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以估计这12名职工的平均得分为5() 3.2516E X =⨯=． ②“得分不小于20分”即“4X ≥”， 由①知(4)(4)(5)0.40.10.5P X P P X ≥==+==+=， 设该科室5名职工中得分不小于20分的人数为ξ，则(5,0.5)B ξ:， 所以4455551113(4)(4)(5)()()22216P P P C C ξξξ≥==+==⨯+=， 即这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率为316． （2）由题意知 222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]0.0120.055S =-+-+-+-+-=<，所以该次测试的难度预估是合理的． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）77． 【解析】（1）证明：取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ， 因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，所以AD =AB BD =， 因为O 为AD 的中点，所以OB AD ⊥． 在APD △中，90APD ∠=︒，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 设2AD PB a ==，则3OB a =，PO OA a ==，因为22222234PO OB a a a PB +=+==，所以OP OB ⊥．在APD △中，90APD ∠=︒，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在BOP △和BOA △中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以BOP BOA ≅△△，所以90BOP BOA ∠=∠=︒，所以OP OB ⊥．因为OP AD O =I ，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以OB ⊥平面PAD ．因为OB ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，OB PB B =I ，PB ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ，所以AD ⊥平面POB ．所以PO AD ⊥．由（1）得PO OB ⊥，AD OB ⊥，所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设2AD =，则()1,0,0A ，()1,0,0D -，()0,3,0B ，()0,0,1P ，所以()1,0,1PD =--u u u r ，()0,3,1PB =-u u u r ，()2,0,0BC AD ==-u u u r u u u r ，设平面PBD 的法向量为()111,,x y z =n ，则1111030PD P x B z y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u ru u u r n n ，令11y =，则13x=-，13z =，所以()3,1,3=-n ； 设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =m ，则2222030BC x PB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u ru u u r m m ，令21y =，则20x =，23z=，所以()0,1,3=m ，设二面角D PB C --为θ，由于θ为锐角，所以27cos cos ,27θ===⨯m n ，所以二面角D PB C --的余弦值为277． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）当2F PQ △的面积最大时，23F PQ S =△，得内切圆半径34r =． 【解析】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，点M 在直线32y x =上，且点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆C 的右焦点2(,0)F c ，则点3(,)2c M c ， ∵1233(2,)(0,)2294c c MF MF c ⋅=--⋅-=u u u u r u u u u r ，即29944c =， ∴1c =，所以3(1,)2M ， 又222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆方程为22143x y +=． （2）由（1）知()11,0F -，设直线l 方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2243690k y ky +--=， ∴122122634934k y y k y y k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， ∴221211212121211||(||||)22F PQ F PF F QF S S S F F y y F F y y =+=+=⋅⋅-△△△ 222121222216491212()4()2343434k k y y y y k k k ⨯+=⨯+-=+=+++，t =，则1t ≥，∴21213F PQ S t t=+△，令()13f t t t=+，()213f t t '=-，当[1,)t ∈+∞时，()0f t '>，()13f t t t=+在[1,)+∞上单调递增，∴212313F PQ S t t=≤+△，当1t =时取等号，即当0k =时，2F PQ △的面积最大值为3．过点()11,0F -的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，则2F PQ △的周长为48a =．又2142F PQ S a r =⋅⋅△（r 为三角形内切圆半径）， ∴当2F PQ △的面积最大时，21432F PQ S a r =⋅⋅=△，得内切圆半径34r =．21．【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无减区间；（2）证明见解析． 【解析】（1）由2()xf x e ax =-，得()2xf x e ax '=-，因为曲线()y f x =在点1x =处的切线与直线(2)0x e y +-=垂直，所以(1)22f e a e '=-=-，所以1a =，即2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-． 令()2xg x e x =-，则()2xg x e '=-．所以(,ln 2)x ∈-∞时，0()g x '<，()g x 单调递减；(ln 2,)x ∈+∞时，0()g x '>，()g x 单调递增，所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->，所以()0f x '>，()f x 单调递增， 即()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞，无减区间．（2）由（1）知2()x f x e x =-，(1)1f e =-，所以()y f x =在1x =处的切线为(1)(2)(1)y e e x --=--，即(2)1y e x =-+， 令2()(2)1xh x e x e x =----，则()2(2)2(1)x xh x e x e e e x '=---=---， 且(1)0h '=，(1)2xh e ''=-，(,ln 2)x ∈-∞时，()0h x ''<，()h x '单调递减；(ln 2,)x ∈+∞时，()0h x ''>，()h x '单调递增，因为(1)0h '=，所以min ()(ln 2)42ln 20h x h e ''==--<，因为(0)30h e '=->，所以存在0(0,1)x ∈，使0(0,)x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；0(,1)x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．又(0)(1)0h h ==，所以0x >时，()0h x ≥，即2(2)10xe x e x ----≥，所以2(2)1x e e x x ---≥．令()ln x x x ϕ=-，则11()1x x x xϕ-'=-=， 所以(0,1)x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， 所以()(1)1x ϕϕ≤=-，即ln 1x x +≤，因为0x >，所以2(ln 1)x x x +≤，所以0x >时，(2)1(ln 1)xe e x x x ---≥+， 即0x >时，1(ln 1)xe ex x x --≥-．22．【答案】（1）()221:25C x y +-=，222:430C x y x +-+=；（2）3．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=．（2）将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=．点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入22430x y x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=，124t t =，因为点M对应的参数为1222t t +=，所以12123222t t PM AB t t +⋅=⋅-===． 23．【答案】（1）(,0][6,)-∞+∞U ；（2）[1,0]-． 【解析】（1）当4a =-时，()6f x ≥，即2426x x x ≤⎧⎨-+-≥⎩或24426x x x <<-+-≥⎧⎨⎩或4426x x x ≥-+-≥⎧⎨⎩，解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(,0][6,)-∞+∞U ． （2）原命题等价于()3f x x ≤-在[0,1]上恒成立， 即23x a x x ++-≤-在[0,1]上恒成立， 即11x a x --≤≤-在[0,1]上恒成立， 即10a -≤≤，实数a 的取值范围为[1,0]-．。