2016届上海市复兴高中高三下学期3月月考数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年上海市复兴高中高三（下）3月月考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=．
2．如果复数（1+i）（1+mi）是实数，则实数m=．
3．方程log2（x﹣1）=2﹣log2（x+1）的解集为．
4．已知圆锥的轴截面的母线与轴的夹角为，母线长为3，则过顶点的截面面积的最大值为．
5．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．
6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=．
7．圆C：（x﹣2）2+y2=4，直线l1：y=x，l2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，则k的值为．
8．设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为．
9．已知f（x）=ln（x+﹣a），若对任意的m∈R，均存在x0＞0使得f（x0）=m，则实数a的取值范围是．
10．若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．
11．在极坐标系中，直线ρsinθ=3被圆ρ=4sinθ截得的弦长为．
12．一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望Eξ=．
13．已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是：（请写出符合要求的条件的序号）
①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x 轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分
15．已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）
A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤2017
16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2C﹣cos2C=，则下列各式正确的是（）
A．a+b=2c B．a+b≤2c C．a+b＜2c D．a+b≥2c
17．已知集合M={（x，y）|x2+y2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（）
A．{（λ，μ）|λ+μ=4}B．{（λ，μ）|λ2+μ2=4} C．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4}D．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}
18．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，记过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的
是（）
A．m=1，n=1 B．m=4，n=1 C．m=3，n=4 D．m=4，n=4
三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．
（1）求四棱锥B﹣AEFC的体积；
（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．
20．如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA=θ，总造价为y万元．
（1）把y表示成θ的函数y=f（θ），并求出定义域；
（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？
21．已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A、B，坐标原点到直线AB的距离为，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M、N两点，且该椭圆上存在点P，使得四边形MONP（图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l的方程．
22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．23．已知等比数列{a n}的首项a1=2015，数列{a n}前n项和记为S n，前n项积记为T n．
（1）若，求等比数列{a n}的公比q；
|的大小；并求n为何值时，T n取得最大值；
（2）在（1）的条件下，判断|T n|与|T n
+1
（3）在（1）的条件下，证明：若数列{a n}中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其
成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d1，d2，…，d n，则数列{d n}为等比数列．
2015-2016学年上海市复兴高中高三（下）3月月考数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（0，3）．
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出集合A，B，从而求出其交集即可．
【解答】解：∵集合A={x|y=lgx}={x|x＞0|，
B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
则A∩B=（0，3），
故答案为：（0，3）
2．如果复数（1+i）（1+mi）是实数，则实数m=﹣1．
【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】先化简复数，然后令其虚部为0．
【解答】解：（1+i）（1+mi）=﹣m+1+（m+1）i
∵该复数为实数，
∴m+1=0，解得m=﹣1，
故答案为：﹣1．
3．方程log2（x﹣1）=2﹣log2（x+1）的解集为{} ．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数的性质及运算法则直接求解．
【解答】解：∵log2（x﹣1）=2﹣log2（x+1），
∴log2（x﹣1）=，
∴，
解得x=．
∴方程log2（x﹣1）=2﹣log2（x+1）的解集为{}．
故答案为：{}．
4．已知圆锥的轴截面的母线与轴的夹角为，母线长为3，则过顶点的截面面积的最大值为
．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】直接利用截面面积公式，通过母线夹角的范围，求出过顶点的截面面积的最大值即可．
【解答】解：由题意S=，θ为圆锥母线与母线的夹角，l为圆锥母线长，
由题意θ∈[0，]，
S=≤．当且仅当时，面积取得最大值．
故答案为：．
5．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．
【解答】解：由题意可得tanxtany==2，
解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=
故x﹣y=2kπ±，k∈Z，
又0＜y＜x＜π，所以0＜x﹣y＜π．
所以x﹣y=
故答案为：
6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=42，则a2+a3+a7=18．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列通项公式和前n英和公式求出a1+3d=6，由此能求出a2+a3+a7的值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=42，
∴=42，解得a1+a7=12，
∴2a1+6d=2（a1+3d）=12，即a1+3d=6，
∴a2+a3+a7=a1+d+a1+2d+a1+6d=3（a1+3d）=3×6=18．
故答案为：18．
7．圆C：（x﹣2）2+y2=4，直线l1：y=x，l2：y=kx﹣1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之
比为1：2，则k的值为．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由条件利用直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式，求得k的值．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=4的圆心为（2，0），半径为2，
圆心到直线l1：y=x的距离为，l1被圆C所截得的弦的长度为2，
圆心到l2的距离为，l2被圆C所截得的弦的长度为2，
结合l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，可得2=2×2，
求得k=，
故答案为．
8．设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为8π．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的
表面积．
【解答】解：设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，
根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O1，
∵OA=AB=1，OO1=AA′=1
∴O1A=
因此，正三棱柱的外接球半径R=，可得该球的表面积为S=4πR2=8π
故答案为：8π．
9．已知f（x）=ln（x+﹣a），若对任意的m∈R，均存在x0＞0使得f（x0）=m，则实数a的取值范围是[4，+∞）．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】令t=x+﹣a，求出t的范围，于是函数y=lnt，根据对数函数的性质，求出a的范围即可．
【解答】解：令t=x+﹣a，易知t∈[4﹣a，+∞）
于是函数y=lnt，t＞4﹣a，
显然当4﹣a＜0时便有t＞0恒成立，
即a≥4，
故答案为：[4，+∞）．
10．若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准
线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），由此推导出|OA|=|BF|，由此能求出点A的坐标，从而能求出k的值．
【解答】解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1
直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），
过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|BN|=2|AM|，则|BF|=2|AF|，
∴点A为BP的中点．
连接OA，则|OA|=|BF|，
∴|OA|=|AF|，
∴点A的横坐标为，
∴点A的坐标为（，），
把（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），
解得k=．
故答案为：．
11．在极坐标系中，直线ρsinθ=3被圆ρ=4sinθ截得的弦长为．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程、再利用点到直线的距离公式、弦长公式即可得出．【解答】解：直线ρsinθ=3即y=3．
ρ=4sinθ化为ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，化为x2+（y﹣2）2=4．
可得圆心C（0，2），半径r=2．
∴圆心到直线的距离d=1，
∴直线ρsinθ=3被圆ρ=4sinθ截得的弦长=2=2．
故答案为：2．
12．一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望Eξ= 1.89．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【分析】ξ的可能取值是0，1，2，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率．做出变量对应的概率，根据期望值公式做出期望．
【解答】解：由题意知ξ的可能取值是0，1，2，
P（ξ=0）=0.1×0.1=0.01
P（ξ=1）=0.1×0.9=0.09
P（ξ=2）=0.9，
∴Eξ=1×0.09+2×0.9=1.89
故答案为1.89
13．已知△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（请写出符合要求的条件的序号）
①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°．
【考点】正弦定理．
【分析】满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C逐一验证选项即可．
【解答】解：满足，则有A1=±A，B1=±B，C1=±C．
对于①，cosA=cos90°=0，显然不成立．
对于②，可取满足题意．
对于③，经验证不满足．
故答案为：②．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x
轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是1+．
【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】Rt△AOC的外接圆圆心是AC中点，设AC中点为D，根据三角形三边关系有OB≤OD+BD=1+，即O、D、B三点共线时OB取得最大值．
【解答】解：作AC的中点D，连接OD、BD，
∵OB≤OD+BD，
∴当O、D、B三点共线时OB取得最大值，
∵BD==，OD=AD=AC=1，
∴点B到原点O的最大距离为1+．
故答案是：1+．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分
15．已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）
A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤2017
【考点】程序框图．
【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．
【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，
判断框内为满足循环的条件，
第1次循环，A=，n=1+1=2，
第2次循环，A==，n=2+1=3，
…
当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2016．
故选：B．
16．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2C﹣cos2C=，则下列各式正确的是（）
A．a+b=2c B．a+b≤2c C．a+b＜2c D．a+b≥2c
【考点】二倍角的余弦．
【分析】由已知及二倍角公式化简可得cos2C=﹣，解得C=．由余弦定理可得c2=b2+a2﹣ab，可求c2≥ab，又c2+3ab=（b+a）2，推出（b+a）2≤4c2，即可解得2c≥b+a．
【解答】解：∵sin2C﹣cos2C=，
∴cos2C=﹣，解得：C=．
∵c2=b2+a2﹣2ab×cos∠C，即c2=b2+a2﹣ab，
∴c2﹣ab=b2+a2﹣2ab=（b﹣a）2≥0，即c2≥ab，
又∵c2=b2+a2+2ab﹣3ab=（b+a）2﹣3ab，
即c2+3ab=（b+a）2，
因为c2≥ab，推出（b+a）2≤4c2，
可得：2c≥b+a，
故选：B．
17．已知集合M={（x，y）|x2+y2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（）
A．{（λ，μ）|λ+μ=4}B．{（λ，μ）|λ2+μ2=4} C．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4}D．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}
【考点】曲线与方程．
【分析】由题意，λ2x2+μ2y2≤λ2+μ2≤1，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得结论．
【解答】解：由题意，λ2x2+μ2y2≤λ2+μ2≤1，
问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得C符合．
故选：C．
18．已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，记过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线条数为m，过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是（）
A．m=1，n=1 B．m=4，n=1 C．m=3，n=4 D．m=4，n=4
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】由已知条件结合正方体的结构特征求解．
【解答】解：正方体ABCD﹣A′B′C′D′，
过点A与三条直线AB，AD，AA′所成角都相等的直线有：AC′，
过A作BD′的平行线，过A作A′C的平行线、过A作B′D的平行线，共4条，故m=4；
过点A与三个平面AB′，AC，AD′所成角都相等的直线分两类：
第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，
第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等，有3条，合计4条，故n=4．
故选：D．
三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．
（1）求四棱锥B﹣AEFC的体积；
（2）求△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）由已知条件可判出AB⊥面AA1C1C，求出直角梯形AEFC的面积，则四棱锥B﹣AEFC的体积可求；
（2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC与平面BEF的法向量，利用平面法向量所成角的余弦值得△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值．
【解答】解：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以A1A⊥底面ABC，所以A1A⊥AB，又AB⊥AC，AC∩A1A=A，所以AB⊥面AA1C1C，则AB为四棱锥B﹣AEFC的高．
在直角梯形AEFC中，因为AE=2，AC=2，CF=4，所以．
=．
所以V B
﹣AEFC
（2）以A为坐标原点，分别以AC，AB，AA1所在直线为x，y，z建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），F（2，0，4），
，
设平面BEF的法向量为，则
，则，取z=1，得x=﹣1，y=1．
所以．
平面ABC的一个法向量为，
则．
所以△BEF所在半平面与△ABC所在半平面所成二面角θ的余弦值为．
20．如图，某城市设立以城中心O为圆心、r公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心O正东方向上有一条高速公路PB、西南方向上有一条一级公路QC，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆O相切的直道BC．已知通往一级公路的道路AC每公里造价为a万元，通往高速公路的道路AB每公里造价是m2a万元，其中a，r，m为常数，设∠POA=θ，总造价为y万元．
（1）把y表示成θ的函数y=f（θ），并求出定义域；
（2）当时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？
【考点】函数的定义域及其求法；基本不等式．
【分析】（1）由题意可得AB=rtanθ，，可得，
由正切函数的定义域可得可得函数的定义域为：；
（2）由（1）可得，可化为y=，
由基本不等式可得≥2m，由取等号的条件可得答案．
【解答】解：（1）∵BC 与圆O 相切于A ，∴OA ⊥BC ，在△OAB 中，AB=rtanθ，… 同理，可得…
∴，
∴
，…
可得函数的定义域为：…
（2）由（1）可得
=
=
∵，∴tanθ﹣1＞0，
∴≥2
m ，
当且仅当，即tanθ=时取等号，
又
，所以tanθ=
，∴θ=60°
故当θ取60°，即A 点在O 东偏南60°的方向上，总造价最低． …
21．已知椭圆的右顶点、上顶点分别为A 、B ，坐标原点到直线AB 的
距离为
，且
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 交椭圆于M 、N 两点，且该椭圆上存在点P ，使得四边形MONP （图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线l 的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）设出直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0，利用坐标原点到直线AB的距离，以及，可得椭圆的方程．
（2）求出椭圆的左焦点，设直线，点M（x1，y1）、N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用点P（x1+x2，y1+y2）在椭圆上，求出m，可得直线l的方程．
【解答】解：（1）设直线AB的方程为bx+ay﹣ab=0，坐标原点到直线AB的距离为
，又，解得，故椭圆的方程为
（2）由（1）可求得椭圆的左焦点为，
易知直线l的斜率不为0，故可设直线，点M（x1，y1）、N（x2，y2），
因为四边形MONP为平行四边形，所以，
联立⇒，因为点P（x1+x2，y1+y2）在椭圆上，
所以，
那么直线l的方程为．
22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（Ⅰ）已知二次函数f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；
（Ⅱ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后判断方程是否有解即可．
【解答】解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（﹣x）=﹣f（x）有解．
（Ⅰ）当f（x）=ax2+2x﹣4a（a∈R），时，
方程f（﹣x）=﹣f（x）即2a（x2﹣4）=0，有解x=±2，
所以f（x）为“局部奇函数”．…
（Ⅱ）当f（x）=2x+m时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为2x+2﹣x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[﹣1，1]，所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1，1]上有解．…
令，则．
设g（t）=t+，则g'（t）=1﹣，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．…
所以t∈[]时，g（t）．
所以，即．…
（Ⅲ）当f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3时，f（﹣x）=﹣f（x）可化为4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0．
t=2x+2﹣x≥2，则4x+4﹣x=t2﹣2，
从而t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”．…
令F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣8，
1°当F（2）≤0，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解，
由当F（2）≤0，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得1﹣；…
2°当F（2）＞0时，t2﹣2mt+2m2﹣8=0在[2，+∞）有解等价于
解得．…
（说明：也可转化为大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为．…
23．已知等比数列{a n}的首项a1=2015，数列{a n}前n项和记为S n，前n项积记为T n．
（1）若，求等比数列{a n}的公比q；
|的大小；并求n为何值时，T n取得最大值；
（2）在（1）的条件下，判断|T n|与|T n
+1
（3）在（1）的条件下，证明：若数列{a n}中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其
成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d1，d2，…，d n，则数列{d n}为等比数列．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q；
（2）求出|T n
+1
|与|T n|的商，讨论当n≤10时，当n≥11时，课比较大小；由T10＜0，T11＜0，T9＞0，T12＞0，即可得到n为何值时，T n取得最大值；
（3）由等比数列{a n}的通项公式，讨论①当k是奇数时，设{a n}中的任意相邻三项按从小到
大排列为a k
+1，a k
+2
，a k，②当k是偶数时，设{a n}中的任意相邻三项按从小到大排列为a k，a k
+2
，
a k
+1
，计算化简即可得到它们成等差数列，求得公差，再由等比数列的定义，即可得证．【解答】解：（1）等比数列{a n}的首项a1=2015，公比为q，
有，即，解得；
（2）∵．
又∵，∴当n≤10时，|T n
+1
|＞|T n|；
当n≥11时，|T n
+1
|＜|T n|．∴当n=11时，|T n|取得最大值，
又∵T10＜0，T11＜0，T9＞0，T12＞0，∴T n的最大值是T9和T12中的较大者，
又∵，∴T12＞T9．
因此当n=12时，T n最大．
（3）证明：∵，∴|a n|随n增大而减小，a n奇数项均正，偶数项均负，
①当k是奇数时，设{a n}中的任意相邻三项按从小到大排列为a k
+1，a k
+2
，a k，
则，，
∴a k
+1
+a k=2a k+2，因此a k+1，a k+2，a k成等差数列，
公差；
②当k是偶数时，设{a n}中的任意相邻三项按从小到大排列为a k，a k
+2，a k
+1
，
则，．
∴a k
+1
+a k=2a k+2，因此a k，a k+2，a k+1成等差数列，
公差，
综上可知，{a n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，
且，∵，∴数列{d n}为首项为a1，公比为的等比数列．
2017年4月26日
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