南通市苏科版九年级上册数学期末复习试卷

南通市苏科版九年级上册数学期末复习试卷
一、选择题
1．圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（ ） A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 2．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围
是（ ） A ．m ≥1 B ．m ≤1 C ．m ≥－1 D ．m ≤－1 4．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1
B ．k≥－1
C ．k ＜－1
D ．k≤－1
5．将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A ．23(2)3y x =++
B ．23(2)3y x =-+
C ．23(2)3y x =+-
D ．23(2)3y x =-- 6．将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A （1，4）的方法是
（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移3个单位
C ．向上平移3个单位
D ．向下平移1个单位
7．为了考察某种小麦的长势，从中抽取了5株麦苗，测得苗高(单位：cm)为：10、16、
8、17、19，则这组数据的极差是（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
8．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ） A ．
14
B ．
34
C ．
15
D ．
35
9．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知关于x 的一元二次方程 (x - a )(x - b ) -1
2
= 0 (a < b ) 的两个根为 x 1、x 2，(x 1< x 2)则实数 a 、b 、x 1、x 2的大小关系为（ ） A ．a < x 1< b <x 2
B ．a < x 1< x 2 < b
C ．x 1< a < x 2 < b
D ．x 1< a < b < x 2
11．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．如图，
O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，60PAC ∠=︒，交直
线PB于点C，则ABC的最大面积是()
A．1
2
B．1 C．2 D．2
13．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上．将△AOB 绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（）
A．（20
3
，10
3
）B．（16
3
，45
3
）C．（20
3
，45
3
）D．（16
3
，43）
14．如图，随意向水平放置的大⊙O内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O内部(阴影)区域的概率为（）
A．1
2
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
9
15．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
二、填空题
16．正方形ABCD的边长为4,圆C半径为1，E为圆C上一点，连接DE，将DE绕D顺时针旋转90°到DE’，F在CD上，且CF=3，连接FE’，当点E在圆C上运动，FE’长的最大值为____.
17．如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是
54
π
，则O 的半径是__________．
18．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，
∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．
19．从2，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是____． 20．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m ． 21．如图，
O 半径为2，正方形ABCD 内接于O ，点E 在ADC 上运动，连接
BE ，作AF ⊥BE ，垂足为F ，连接CF .则CF 长的最小值为________.
22．抛物线2
28y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为________． 23．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝12
13
，BC ＝12，则AD 的长_____．
24．如图，已知△ABC是面积为3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于_____（结果保留根号）．
25．数据1、2、3、2、4的众数是______．
26．如图，ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB的长为______．
27．已知 x1、x2是关于 x 的方程 x2+4x-5＝0的两个根，则x1+ x2＝_____．
28．如图，E是▱ABCD的BC边的中点，BD与AE相交于F，则△ABF与四边形ECDF的面积之比等于_____．
29．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．C是⊙O上一个动点．且不与A，B重合．若∠PAC＝α，∠ABC＝β，则α与β的关系是_______．
30．若函数y＝（m+1）x2﹣x+m（m+1）的图象经过原点，则m的值为_____．
三、解答题
31．已知二次函数2
18
y x bx c =++（b 、c 为常数）的图像经过点()0,1-和点()4,1A . （1）求b 、c 的值；
（2）如图1，点()10,C m 在抛物线上，点M 是y 轴上的一个动点，过点M 平行于x 轴的直线l 平分AMC ∠，求点M 的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P 是抛物线上的一动点，以P 为圆心、PM 为半径的圆与x 轴相交于E 、F 两点，若PEF ∆的面积为26，请直接写出点P 的坐标. 32．已知二次函数y ＝x 2－22mx ＋m 2＋m －1（m 为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；
（2）将该二次函数的图像向下平移k （k ＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k 的取值范围是 ．
33．如图，宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB ，某人从C 点测得吊灯顶端A 的仰角为
35︒，吊灯底端B 的仰角为30，从C 点沿水平方向前进6米到达点D ，测得吊灯底端B 的仰角为60︒．请根据以上数据求出吊灯AB 的长度．（结果精确到0.1米．参考数据：
sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，2≈1.41，3≈1.73）
34．定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．
（1）如图①，在对角互余四边形ABCD 中，∠B ＝60°，且AC ⊥BC ，AC ⊥AD ，若BC ＝1，则四边形ABCD 的面积为 ；
（2）如图②，在对角互余四边形ABCD 中，AB ＝BC ，BD ＝13，∠ABC+∠ADC ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，求四边形ABCD 的面积；
（3）如图③，在△ABC 中，BC ＝2AB ，∠ABC ＝60°，以AC 为边在△ABC 异侧作△ACD ，且∠ADC ＝30°，若BD ＝10，CD ＝6，求△ACD 的面积．
35．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ；
（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．
四、压轴题
36．如图①，
O 经过等边ABC 的顶点A ，C （圆心O 在ABC 内），分别与
AB ，CB 的延长线交于点D ，E ，连结DE ，BF EC ⊥交AE 于点F ． （1）求证：BD BE =．
（2）当:3:2AF EF =，6AC =，求AE 的长．
（3）当:3:2AF EF =，AC a =时，如图②，连结OF ，OB ，求OFB △的面积（用含a 的代数式表示）．
37．已知，如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 为AC 的中点，Q 从点A 运动到B ，点Q 运动到点B 停止，连接PQ ，取PQ 的中点O ，连接OC ，OB ． (1)若△ABC ∽△APQ ，求BQ 的长；
(2)在整个运动过程中，点O 的运动路径长_____；
(3)以O 为圆心，OQ 长为半径作⊙O ，当⊙O 与AB 相切时，求△COB 的面积．
38．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与直线y ＝x +3交于点A （m ，0）和点B （2，n ），与y 轴交于点C ．
（1）求m ，n 的值及抛物线的解析式；
（2）在图1中，把△AOC 平移，始终保持点A 的对应点P 在抛物线上，点C ，O 的对应点分别为M ，N ，连接OP ，若点M 恰好在直线y ＝x +3上，求线段OP 的长度； （3）如图2，在抛物线上是否存在点Q （不与点C 重合），使△QAB 和△ABC 的面积相等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
39．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；
（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求
tan ACB ∠；
（3）若5
tan 2
CDE ∠=
，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.
40．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．
（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．
①当t＝2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；
②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；
（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y＝4
x
（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，
D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．【详解】
根据圆锥的侧面积公式：πrl＝π×2×6＝12π，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．2．D
解析：D
【解析】
【分析】
满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.
【详解】
解：根据题意得，
a-1=1,2+m=2,
解得，a=2,m=0,
∴a-m=2.
故选：D.
【点睛】
本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
【详解】
解：∵函数的对称轴为x=
2
22
b m
m
a
-=-=-，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x＞1时，y随x的增大而增大，
∴-m≤1，即m≥-1
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图形与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．4．C
解析：C
【解析】
试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.
由题意得，解得
故选C.
考点：一元二次方程的根的判别式
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程
，当
时，方程有两个不相等实数根；当
时，方程的两个相
等的实数根；当
时，方程没有实数根．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】
将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为2
3(2)3y x =++，故答案选A ．
6．D
解析：D 【解析】
A.平移后，得y=(x+1)2，图象经过A 点，故A 不符合题意；
B.平移后，得y=(x−3)2，图象经过A 点，故B 不符合题意；
C.平移后，得y=x 2+3，图象经过A 点，故C 不符合题意；
D.平移后，得y=x 2−1图象不经过A 点，故D 符合题意； 故选D.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
计算最大数19与最小数8的差即可. 【详解】 19-8=11， 故选：D. 【点睛】
此题考查极差，即一组数据中最大值与最小值的差.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意即从5个球中摸出一个球，概率为35
. 【详解】 摸到红球的概率=
33235
=+，
故选：D.
【点睛】
此题考查事件的简单概率的求法，正确理解题意，明确可能发生的总次数及所求事件发生的次数是求概率的关键.
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
将x=2代入方程即可求得k的值，从而得到正确选项．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
如图，设函数y＝（x−a）（x−b），
当y＝0时，
x＝a或x＝b，
当y＝1
2
时，
由题意可知：（x−a）（x−b）−1
2
＝0（a＜b）的两个根为x1、x2，
由于抛物线开口向上，
由抛物线的图象可知：x1＜a＜b＜x2故选：D．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系，本题属于中等题型．
11．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误． 故选B ．
点睛：掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
12．B
解析：B
【解析】 【分析】
连接OA 、OB ，如图1，由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形，则
60AOB ∠=︒，根据圆周角定理得1302
APB AOB ∠=∠=︒，由于60PAC ∠=︒，所以90C ∠=︒，因为2AB =，则要使ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由90ACB ∠=︒，可根据圆周角定理判断点C 在D 上，如图2，于是当点C 在半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 为等腰直角三角形，从而得到ABC 的最大面积．
【详解】
解：连接OA 、OB ，如图1，
2OA OB ==，2AB =，
OAB ∴为等边三角形，
60AOB ∴∠=︒，
1302
APB AOB ∴∠=∠=︒， 60PAC ∠=︒
90ACP ∴∠=︒ 2AB =，要使ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，
作ABC 的外接圆D ，如图2，连接CD ，
90ACB ∠=︒，点C 在D 上，AB 是D 的直径，
当点C 半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 等腰直角三角形，
CD AB ∴⊥，1CD =，
12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112
=⨯⨯=， ABC ∴的最大面积为1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．
13．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标．
【详解】
解：过O′作O′F ⊥x 轴于点F ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，
∵A 的坐标为（25∴5OE=2． 由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，
在Rt △ABE 中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得
OB AE A'B O'F 22⋅⋅=453O'F 2⋅⋅=， ∴45． 在Rt △O′FB 中，由勾股定理可求22458433⎛⎫-= ⎪
⎪⎝⎭，∴OF=820433+=． ∴O′的坐标为（
20453）． 故选C ．
【点睛】
本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式．
14．B
解析：B
【解析】
【分析】
针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．
【详解】
解：∵如图所示的正三角形，
∴∠CAB ＝60°，
∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，
设OB ＝a ，则OA ＝2a ，
则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为
()2214
2a a ππ=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．
15．D
解析：D
【解析】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的图象． 故选D ．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
二、填空题
16．【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=
解析：171
+
【解析】
【分析】
先作出FE’最大时的图形,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
解：如下图,过点F作FP⊥AB于P,延长DP到点E’，使PE’=1,此时FE’长最大,
由题可知,PF=4,DF=1,
∴DP=22
+=17,
41
∴FE’=171+,
+
故答案是：171
【点睛】
本题考查了图形的旋转,圆的基本性质,勾股定理的应用,中等难度,准确找到点P的位置是解题关键.
17．【解析】
【分析】
连接OB、OC，如图，由圆周角定理可得∠BOC的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵，
∴∠BOC=90°，
∵的长是， ∴，
解得：
解析：52
【解析】
【分析】
连接OB 、OC ，如图，由圆周角定理可得∠BOC 的度数，然后根据弧长公式即可求出半径.
【详解】
解：连接OB 、OC ，如图，
∵45BAC ∠=︒，
∴∠BOC =90°，
∵BC 的长是
54π， ∴9051804
OB ππ⋅=， 解得：52OB =
. 故答案为：52
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理和弧长公式，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键. 18．40°
【解析】
：在△QOC 中，OC=OQ ，
∴∠OQC=∠OCQ ，
在△OPQ 中，QP=QO ，
∴∠QOP=∠QPO ，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠
解析：40°
【解析】
：在△QOC 中，OC=OQ ，
∴∠OQC=∠OCQ ，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
∴3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°
19．【解析】
分析：
由题意可知，从，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中是有理数的有3种，由此即可得到所求概率了.
详解：
∵从，0，π，3.14，6这五个数中随机
解析：3 5
【解析】
分析：
，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中是有理数的有3种，由此即可得到所求概率了.
详解：
∵
，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果，其中有理数有0，3.14，6共3个，
∴抽到有理数的概率是：3
5．
故答案为3
5
．
，0，π，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，共有5种等可能结果”
并能识别其中“0，3.14，6”是有理数是解答本题的关键.
20．5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题. 【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x：1.1,解得x=2.2,
解析：5
【解析】
【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题.
【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x
由题可得：1.7:0.85=x ：1.1,解得x=2.2,
则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m
【点睛】
本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.
21．【解析】 【分析】
先求得正方形的边长，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，当点C 、F 、G 在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF 有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】
如图，连接OA 、OD ，取
解析：51-
【解析】
【分析】 先求得正方形的边长，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，当点C 、F 、G 在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF 有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】
如图，连接OA 、OD ，取AB 的中点G ，连接GF ，CG ，
∵ABCD 是圆内接正方形，2OA OD ==
∴90AOD ∠=︒，
∴()222222AD OA OD =+=
=， ∵AF ⊥BE ，
∴90AFB ∠=︒，
∴112
GF AB ==， 2222125CG BG BC =+=+
当点C 、F 、G 在同一直线上时，CF 有最小值，如下图：
-，
最小值是：51
-．
故答案为：51
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．
22．8
【解析】
试题分析：由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可.
由题意得，解得
考点：本题考查的是二次根式的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x
解析：8
【解析】
试题分析：由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可.
由题意得，解得
考点：本题考查的是二次根式的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点.
23．8
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sinC＝＝，则可设AD＝12x，所以AC＝
13x，利用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝，接着在Rt△A
解析：8
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝AD
AC
＝
12
13
，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利
用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sin C得到tan B＝12
13
，接着在Rt△ABD中利用
正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝2
3
，然后利用AD＝12x进行计算．
【详解】
在Rt△ADC中，sin C＝AD
AC
＝
12
13
，
设AD＝12x，则AC＝13x，
∴DC＝5x，
∵cos∠DAC＝sin C＝12 13
，
∴tan B＝12 13
，
在Rt△ABD中，∵tan B＝AD
BD
＝
12
13
，
而AD＝12x，∴BD＝13x，
∴13x+5x＝12，解得x＝2
3
，
∴AD＝12x＝8．
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
24．【解析】
【分析】
如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，根据等边三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可得△ADE是等边三角形，可得出AE的长，根据角的和差
【解析】
【分析】
如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，根据等边三角形的性质可求出AB的长，根据相似三角形的性质可得△ADE是等边三角形，可得出AE的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH＝HF＝x，利用∠EFH的正确可用x表示出EH的长，根据AE=EH+AH列方程可求出x的值，根据三角形面积公式即可得答案．
【详解】
如图，过点F作FH⊥AE交AE于H，过点C作CM⊥AB交AB于M，∵△ABC是面积为3的等边三角形，CM⊥AB，
∴1
2
×AB×CM＝3，∠BCM＝30°，BM=
1
2
AB，BC=AB，
∴CM=22
AB BM
-=3 AB，
∴1
2
×AB×
3
AB＝3，
解得：AB＝2，（负值舍去）
∵△ABC∽△ADE，△ABC是等边三角形，
∴△ADE是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF＝∠BAD＝45°，
∵FH⊥AE，
∴∠AFH＝45°，∠EFH＝30°，
∴AH＝HF，
设AH＝HF＝x，则EH＝xtan30°＝3 x．
∵AB=2AD，AD=AE，
∴AE＝1
2
AB＝1，
∴x+3
x＝1，
解得x＝
33
2
33
-
=
+
．
∴S△AEF＝1
2
×1×
33
-
＝
33
-
．
故答案为：33
4
-
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据相似三角形的性
质得出△ADE是等边三角形、熟练掌握等边三角形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
25．2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的
解析：2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．26．【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．
【详解】
解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
【解析】
利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出AB AE AD AC =，由此即可解决问题． 【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高，
∴∠ADC=90°，
∴22223110AC AD CD =+=+=，
∵AE 是直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠ADC ，
∵∠E=∠C ，
∴△ABE ∽△ADC ，
∴
AB AE AD AC =， ∴310
AB =， ∴610AB =， 故答案为：
6105． 【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
27．-4
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求解．
【详解】
∵x1、x2 是关于 x 的方程 x2+4x
5＝0的两个根，
∴x1 x2＝-=-4，
故答案为：-4．
【点睛】
此题主要考
解析：-4
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系即可求解．
∵x 1、x 2 是关于 x 的方程 x 2+4x -5＝0的两个根，
∴x 1 + x 2＝-
41
=-4， 故答案为：-4．
【点睛】 此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知x 1 + x 2＝-b a
． 28．【解析】
【分析】
△ABF 和△ABE 等高，先判断出，进而算出，△ABF 和
△ AFD 等高，得，由，即可解出．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AD ＝BC ，
又∵E 是▱ 解析：25
【解析】
【分析】
△ABF 和△ABE 等高，先判断出
23ABF ABE S AF S AE ∆∆==，进而算出6ABCD ABF S S ∆=，△ABF 和 △ AFD 等高，得2ADF ABF S DF S BF
∆∆==，由5=2
ABE ADF ABF ECDF S S S S S ∆∆∆=--四边形平行四边形ABCD ，即可解出． 【详解】
解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
又∵E 是▱ABCD 的BC 边的中点， ∴
12
BE EF BF BE AD AF DF BC ====， ∵△ABE 和△ABF 同高， ∴23ABF ABE S AF S AE ∆==， ∴S △ABE ＝32
S △ABF ， 设▱ABCD 中，BC 边上的高为h ，
∵S △ABE ＝12
×BE ×h ，S ▱ABCD ＝BC ×h ＝2×BE ×h ， ∴S ▱ABCD ＝4S △ABE ＝4×
32
S △ABF ＝6S △ABF ， ∵△ABF 与△ADF 等高， ∴2ADF ABF S DF S BF ∆∆==， ∴S △ADF ＝2S △ABF ，
∴S 四边形ECDF ＝S ▱ABCD ﹣S △ABE ﹣S △ADF ＝
52S △ABF ， ∴25
ABF
ECDF S S ∆=四边形， 故答案为：
25
． 【点睛】 本题考查了相似三角的面积类题型，运用了线段成比例求面积之间的比值，灵活运用线段比是解决本题的关键．
29．或
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点
解析：αβ=或180αβ+︒＝
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点C 在优弧AB 上时，如图，
连接OA 、OB 、OC ，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC=α-90°=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（α-90°）+2β=180°，
∴180αβ+︒＝
；
当点C 在劣弧AB 上时，如图，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（90°-α）+2β=180°，
∴αβ=.
综上：α与β的关系是180αβ+︒＝
或αβ=. 故答案为：αβ=或180αβ+︒＝
. 【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.
30．0或﹣1
【解析】
【分析】
根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可．
【详解】
∵函数经过原点，
∴m （m+1）＝0，
∴m ＝0或m ＝﹣1，
故答案为0或﹣1．
【点
解析：0或﹣1
【解析】
【分析】
根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可．
【详解】
∵函数经过原点，
∴m （m +1）＝0，
∴m ＝0或m ＝﹣1，
故答案为0或﹣1．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是知道函数图象上的点满足函数解析式．
三、解答题
31．（1）0b =，1c =-；（2）()0,4M ；（3）()4,1P 或()4,1-或()0,1-
【解析】
【分析】
(1)直接把两点的坐标代入二次函数解析式，得出关于b ，c 的二元一次方程组求解即可
(2) 过点C 作CD l ⊥，过点A 作AE l ⊥.证明△CMD 相似于△AME ，再根据对应线段成比例求解即可
(3)根据题意设点P 的纵坐标为y ，首先根据三角形面积得出EF 与y 的关系，再利用勾股定理得出EF 与y 的关系，从而得出y 的值，再代入抛物线解析式求出x 的值，得出点坐标.
【详解】
解：(1)把()4,1A 和()0,1-代入218y x bx c =++得：1241b c c =++⎧⎨-=⎩
解方程组得出：01b c =⎧⎨=-⎩
所以，
0b =，1c =-
(2)由已知条件得出C 点坐标为2310,2C ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，设()0,M n .过点C 作CD l ⊥，过点A 作AE l ⊥.
两个直角三角形的三个角对应相等，
∴CMD AME ∆∆∽ ∴CD MD AE ME
= ∴2310214
n n -=- ∵解得：4n =
∴()0,4M
(3)设点P 的纵坐标为y,
由题意得出，
12EF y ⨯⨯=
EF = ∵MP 与PE 都为圆的半径，
∴MP=PE
∴()2228y 84()2
EF y y ++-=+ 整理得出，
∴EF =
∵EF = ∴y=±1, ∴当y=1时有，21118
x =-，解得，x 4=±； ∴当y=-1时有，21118x -=
-，此时，x=0 ∴综上所述得出P 的坐标为：()4,1P 或()4,1-或()0,1-
【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合题目，考查的知识点有二元一次方程组的求解、相似三角形的性质等，巧妙利用数形结合是解题的关键.
32．（1）证明见解析；（2）k ≥
34. 【解析】
【分析】
（1）根据判别式的值得到△=（2m －1）2 ＋3＞0，然后根据判别式的意义得到结论； （2）把（0，－2）带入平移后的解析式，利用配方法得到k= (m+
12)²+34
，即可得出结果. 【详解】
（1）证：当y =0时 x 2－
mx ＋m 2＋m －1＝0
∵b 2－4ac ＝（－
m ）2－4（m 2＋m －1）
＝8m2－4m2－4m＋4
＝4m2－4m＋4
＝（2m－1）2＋3＞0
∴方程x2－22mx＋m2＋m－1＝0有两个不相等的实数根
∴二次函数y＝x2－22mx＋m2＋m－1图像与x轴有两个公共点（2）解：平移后的解析式为: y＝x2－22mx＋m2＋m－1-k,过(0,-2),
∴-2=0-0+m²+m-1-k, ∴k= m²+m+1=(m+1
2
)²+
3
4
,∴k≥
3
4
.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换以及图象与x轴交点个数确定方法，能把一个二次三项式进行配方是解题的关键．
33．吊灯AB的长度约为1.1米．
【解析】
【分析】
延长CD交AB的延长线于点E，构建直角三角形，分别在两个直角三角形△BDE和△AEC 中利用正弦和正切函数求出AE长和BE长，即可求解.
【详解】
解：延长CD交AB的延长线于点E，则∠AEC＝90°，
∵∠BDE＝60°，∠DCB＝30°，
∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DCB＝∠CBD，
∴BD＝CD＝6（米）
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝BE BD
，
∴BE＝BD•sin∠BDE═6×sin60°＝3≈5.19（米），
DE＝1
2
BD＝3（米），
在Rt△AEC中，tan∠ACE＝AE CE
，
∴AE＝CE•tan∠ACE＝（6+3）×tan35°≈9×0.70＝6.30（米），∴AB＝AE﹣BE≈6.30﹣5.19≈1.1（米），
∴吊灯AB的长度约为1.1米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解答此题的关键是构建直角三角形，利用锐角三角函数进行解答.
34．（1）2）36；（3． 【解析】
【分析】
（1）由AC ⊥BC ，AC ⊥AD ，得出∠ACB=∠CAD=90°，利用含30°直角三角形三边的特殊关系以及勾股定理，就可以解决问题；
（2）将△BAD 绕点B 顺时针旋转到△BCE ，则△BCE ≌△BAD ，连接DE ，作BH ⊥DE 于H ，作CG ⊥DE 于G ，作CF ⊥BH 于F ．这样可以求∠DCE=90°，则可以得到DE 的长，进而把四边形ABCD 的面积转化为△BCD 和△BCE 的面积之和，△BDE 和△CDE 的面积容易算出来，则四边形ABCD 面积可求；
（3）取BC 的中点E ，连接AE ，作CF ⊥AD 于F ，DG ⊥BC 于G ，则BE=CE=12
BC ，证出△ABE 是等边三角形，得出∠BAE=∠AEB=60°，AE=BE=CE ，得出∠EAC=∠ECA= =30°，证出
∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，得出，设AB=x ，则，由直角三角形的性质
得出CF=3，从而CG=a ，AF=y ，证明△ACF ∽△CDG ，得出
=AF AC CG CD ，求出
y=6
，由勾股定理得出y 2x)2-32=3x 2-9，b 2=62-a 2=102-(2x+a)2，(2x+a)2+b 2=132，整
理得出a=216x x -，进而得)216=6x -，得出[)2
166
x -]2=3x 2-9，解得
x 2，得出y 22，解得，得出角形面积即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵AC ⊥BC ，AC ⊥AD ，
∴∠ACB ＝∠CAD ＝90°，
∵对角互余四边形ABCD 中，∠B ＝60°，
∴∠D ＝30°，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝1，
∴∠BAC ＝30°，
∴AB
＝2BC ＝2，AC
在Rt △ACD 中，∠CAD ＝90°，∠D ＝30°，
∴AD
＝3，CD ＝2AC ＝，
∵S
△ABC ＝12•AC•BC ＝12。