北京东直门中学九年级数学下册第二十七章《相似》经典题(含答案)

一、选择题
1．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A ．2cm ，4cm ，6cm ，8cm
B ．10cm ，20cm ，30cm ，40cm
C ．2.2cm ，3.3cm ，5cm ，8cm
D ．20cm ，30cm ，60cm ，40cm 2．如图，在平行四边形ABCD 中，:2:1A
E BE =，
F 是AD 的中点，射线EF 与AC 交于点
G ，与CD 的延长线交于点P ，则AG GC 的值为（ ）．
A ．5:8
B ．3:8
C ．3:5
D ．2:5
3．下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，ABC 和CDE △都是等边三角形，点G 在CA 的延长线上，GB GE =，若10BE CG +=，32
AG BE =，则AF 的长为（ ）
A ．1
B ．43
C ．95
D ．2
5．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，7AC =，24BC =，将它绕着BC 中点D 顺时针旋转一定角度后到A B C '''，恰好使//B C AB ''，A C ''与边AB 交于点E ，则A E '的长为（ ）
A ．72
B ．4924
C ．8425
D ．9125
6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A ，4CF =，则点E 的坐标是（ ）
A ．()8,4-
B ．()10,3-
C ．()10,4-
D ．()8,3- 7．如图，在正方形ABCD 中，
E 为BC 中点，3D
F FC =． 联结AE AF EF 、、．那么
下列结果错误的是( )
A ．ABE △与ECF 相似
B ．ABE △与AEF 相似
C ．ABE △与ADF 相似
D ．AEF 与ECF 相似
8．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）
A ．25
B ．2
C ．4
D ．5 9．下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ）
A ．∠A =∠D ，∠
B =∠F
B ．B
C AC EF DF =且∠B =∠
D C ．AB BC AC D
E E
F DF
== D ．AB AC DE DF =且∠A =∠D 10．大自然巧夺天工，一片小心树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点（AP >PB ），如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是（ ）
A ．45-4
B ．12-45
C ．12+45
D ．45+4
11．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（ ） A ．5(5-1)
B ．5(5+1)
C ．10(5-2) -
D ．5(3-5) 12．已知线段a 、b 有
52a b a b +=-，则:a b 为（ ） A ．5:1 B ．7:2 C ．7:3 D ．3:7
13．如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 和AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，若2DOE S ∆=，则BOC S ∆=（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
14．下列判断中，不正确的有（ ）
A ．三边对应成比例的两个三角形相似
B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
15．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点，连接AE 与对角线BD 相交于点G ，连接CG 并延长，交AB 于点F ，连接DE 交CF 于点H ．以下结论：
①CDE BAE ∠=∠；②CF DE ⊥；③AF BF =；④22CE CH CF =⋅．其中正确结论的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
16．如图，点О是正方形ABCD 的中心，DE 与О相切于点E ，连接,BE 若10,DE =102BE =，则О的面积是________________．
17．如图，身高1.6m 的小华站在距路灯5m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为
2.5m ，则路灯的高度AE 为________．
18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AD=AC ，以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点E ，连接DE 、BE ，并延长BE 交CD 于点F ，下列结论：①△BAC ≌ △EAD ，②BC+CF=DE+EF ，③∠ABE+∠ADE=∠BCD ，其中正确的有____（填序号）
19．如图，在矩形ABCD 中，M N 、分别是边AD BC 、的中点，点
P Q 、在DC 边上，且14PQ DC =．若8,10AB BC ＝＝，则图中阴影部分的面积是_____________
20．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，直线l 经过点C ，且l ∥AB ，P 为直线l 上一个动点，若AC ＝4，BC ＝3，以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则PC ＝_____．
21．若()0a b a c b c k k c b a
+++===≠， 则k 的值为______． 22．如图4，我国现代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题如下：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？它的题意可以由如图所示获得，井深BC 为_________尺．
23．如图，Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，O 为BC 上一点，⊙O 分别与边AB 、AC 切于E 、C ，则⊙O 半径是________．
24．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点E ，若OB ＝4，S 菱形ABCD ＝24，则OE 的长为_____．
25．如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （1，2）、D （2，0），以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点B 坐标为（5，0），则点A 的坐标为__________．
26．若233
a b c ==，且233a b c ++=，则a b c -+=__________． 三、解答题
27．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，//DE BC ，若4AE =，2DB =，2AD CE =，求AD 的长．
28．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，点E 在AB 上，连结AD ，DE ，12∠=∠．
（1）求证：ACD DBE ∽△△；
（2）若6BD =，2CD =，5AC =，求AE 的长．
29．如图，在平面直角坐标系xOy 中，OAB 如图放置，点P 是AB 边上的一点，过点P 的反比例函数(0,0)k y k x x
=>>与OA 边交于点E ，连接OP ．
（1）如图1，若点A 的坐标为(3,4)，点B 的坐标为(5,0)，且OPB △的面积为5，求直线AB 和反比例函数的解析式；
（2）如图2，若60AOB ︒∠=，过P 作//PC OA ，与OB 交于点C ，若1
2
PC OE =，并且OPC 的面积为332
，求OE 的长． （3）在（2）的条件下，过点P 作//PQ OB ，交OA 于点Q ，点M 是直线PQ 上的一个动点，若OEM △是以OE 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为______． 30．如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．
（1）当x 为何值时，PQ //BC ；
（2）当13
BCQ
ABC S S ∆∆=时，求S △BPQ ：S △ABC 的值； （3）△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出时间x 的值；若不能，说明理由．。