奇偶性

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析 函数的奇偶性定义：
1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．
2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．
二、函数的奇偶性的几个性质
1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；
4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；
)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；
5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；
6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：
奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）
偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）
奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单
调递增。

）
偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a ，b]上是增函数，且有最大值M ，则f(x)在[－b ，－a]上是增函数，且有最小值－M.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数． 五、关于函数奇偶性的简单应用 1、函数的对称性
如果函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )，则函数f (x )的图象关于直线⑮______对称．
一般的，若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的对称轴方程是⑯______. 两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2
b
a x +=对称. 2、函数的周期性
函数的周期性的定义：设函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在非零常数T ，使得对任意的x ∈D 都有⑰________，则函数
f (x )为周期函数，T 为y ＝f (x )的一个周期．
(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
(3)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f (x )的周期，则kT (k ∈N ＋)也一定是f (x )的周期． 若函数f (x )对定义域中任意x 满足f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝－
1
f x
(a ≠0)，则函数f (x )是
周期函数，它的一个周期是⑱________.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点
)0,2
(a
对称; 六、函数的奇偶性的判断
函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。

判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。

判断函数奇偶性的方法：
（1）、利用奇、偶函数的定义，主要考查()f x -是否与()f x -、)(x f 相等，判断步骤如下： 1、若定义域不对称，则为非奇非偶函数；
若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能，到底怎样，取决于数量关系)()(x f x f ±=-怎样成立？
若)()(x f x f =-成立，则为偶函数；若)()(x f x f -=-成立，则为奇函数；
若)()(x f x f ±=-成立，则为既是奇函数也是偶函数；若)()(x f x f ±=-都不成立，则为非奇非偶函数。

2．讨论函数奇偶性时，注意定义域优先原则．
3．由奇偶函数的图象的对称性，只要知道函数在原点的一侧区间上的有关性质，就可得出函数在其
对称区间上的性质．
4．若T 是f (x )的一个周期，则kT (k ≠0，k ∈Z )也是f (x )的周期．
5．(1)若函数f (x )存在两条平行于y 轴的对称轴，则函数f (x )是周期函数；若函数f (x )具有奇偶性，又
有一条平行于y 轴的对称轴，则函数f (x )是周期函数． 6．注意函数性质的逆向应用．
（2）、图像法：
f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）
（3）、特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断 函数奇偶性。

（4）、性质法
（5）、函数奇、偶性的运算：利用已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：
1)若f (x )与g (x )都是奇函数，则在f (x )与g (x )的定义域的公共区间上， f (x )＋g (x )，f (x )－g (x )都是奇函数，f (x )·g (x )与
f x
g x
为偶函数． 2)若f (x )与g (x )都是偶函数，则在f (x )与g (x )的定义域的公共区间上，
f (x )＋
g (x )，f (x )－g (x )，f (x )·g (x )，
f x
g x
都是偶函数．
3）奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；
4)若f (x )与g (x )中一个为奇函数，另一个为偶函数，则在f (x )与g (x )的定义域的公共区间上， f (x )·g (x )，
f x
g x
都为奇函数．
3．若y ＝f (x )为奇函数，且y ＝f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝0. 性质
1、偶函数没有反函数（偶函数在定义域内非单调函数），奇函数的反函数仍是奇函数。

2、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、对于F （x ）=f[g(x)]：若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数，则F[x]是偶函数 若g(x)奇函数且f(x)是奇函数，则F （x ）是奇函数 若g(x)奇函数且f(x)是偶函数，则F （x ）是偶函数 5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称
案例分析：
考点一、判断函数的奇偶性 例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）2
()[1,2]f x x x =∈- （2）32
()1
x x f x x -=
-
（3）f (x) = x + x 3
+x 5
； （4）f (x) = x 2
+1；
（5）f (x) = x + 1； （6）f (x) = x 2
，x ∈[–1，3]；
（7）f (x) = 0.
变式训练
1、判断下列函数的是否具有奇偶性：
(1) f (x) = x + x 3
； (2) f (x) = – x 2
；
(3) h (x) = x 3
+1； (4) k (x) =21
1
x +，x[–1，2]； (5) f (x) = (x + 1) (x – 1)； (6) g (x) = x (x + 1)；
3x ； (8) k (x) =21
1
x -.
2、下面四个结论中，正确命题的个数是( )
①偶函数的图像一定与y 轴相交；②函数f (x )为奇函数的充要条件是f (0)＝0；
③偶函数的图像关于y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R)． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
考点二、分段函数的奇偶性
解析：分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义． 例1、判断下列函数的奇偶性：
①()(4)(4)f x lg x lg x =++-
②2
211(0)2
()11(0)2
x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．
解：（1）{
()f x x
x 的定义域是|4+＞0且4x -＞}0={|4x -＜x ＜}4，它具有对称性．因为()(4)(4)()f x lg x lg x f x -=-++=，所以()f x 是偶函数，不是奇函数．
（2）当x ＞0时，－x ＜0，于是
2211
()()1(1)()22
g x x x g x -=---=-+=-
当x ＜0时，－x ＞0，于是
222111
()()11(1)()222
g x x x x g x -=
-+=+=---=- 综上可知，在R －
∪R +
上，()g x 是奇函数．
例2、判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 3
－3x 2
＋x ＞x 3＋3x 2
－
x ＜
的奇偶性．
思路点拨：分x ＞0或x ＜0两种情况计算f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系． 解：函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
①当x ＞0时，－x ＜0，
则f(－x)＝(－x)3
＋3(－x)2
－1＝－x 3
＋3x 2
－1＝－(x 3
－3x 2
＋1)＝－f(x)． ②当x ＜0时，－x ＞0，
则f(－x)＝(－x)3
－3(－x)2
＋1＝－x 3
－3x 2
＋1 ＝－(x 3
＋3x 2
－1)＝－f(x)．
由①②知，当x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时， 都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定．
1、如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 3
－3x 2
＋1
x ＞－x 3－3x 2
＋1
x ＜
，其奇偶性怎样？
解：当x ＞0时，f (x )＝x 3
－3x 2
＋1，－x ＜0，f (－x )＝－(－x )3
－3(－x )2
＋1＝x 3
－3x 2
＋1＝f (x )． 当x ＜0时，f (x )＝－x 3
－3x 2
＋1.－x ＞0，f (－x )＝(－x )3
－3(－x )2
＋1＝－x 3
－3x 2
＋1＝f (x )． 综上可得f (－x )＝f (x ) ∴f (x )为偶函数．
考点二、利用奇偶函数图像的对称性质 由偶函数的定义可得：
偶函数的图像关于y 轴对称，反过来， 若一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 由奇函数的定义可得：
奇函数的图像关于原点对称，反过来， 若一个函数的图像关于原点对称，则这个 函数是奇函数
例1、设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是
例2．如图，给出了奇函数y = f (x )的局总图象，求f (– 4).
例3．如图，给出了偶函数y = f (x )的局部图象，试比较f (1)与 f
1．奇函数y ＝f (x )(x
∈R)的图象必过点( )
A ．(a ，f (－a ))
B ．(－a ，f (a ))
C ．(－a ，－f (a ))
D ．(a ，f (1
a
))
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，即自变量取－a 时，函数值为－f(a)，故图象必过点(－a ，－f(a))．
答案：C
2．若函数y ＝f(x)是偶函数，其图象与x 轴有两个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
x
y O
4
2
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－1
解析：∵偶函数图象关于y 轴对称，∴f(x)与x 轴的两个交点关于y 轴对称，若一根为x 1，则另一根必为－x 1，故f(x)＝0的所有实根之和为0. 答案：C
3．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x 2
，则f(7)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 解析：∵f(x ＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．
又∵f(－x)＝－f(x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，∴f(7)＝－2，故选A. 答案：A
考点三、根据奇偶性求函数解析式
例3、已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x 2
＋3x －1，求f(x)的解析式． 分析：由奇函数的定义知f(0)＝0，再由f(－x)＝－f(x)计算当x<0时f(x)的表达式，构成定义在R 上的奇函数．
解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．
∵当x <0时，－x >0，∴f (x )＝－f (－x )＝－2x 2
＋3x ＋1. 又∵奇函数f (x )在原点的定义，f (0)＝0.
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x 2
＋3x －1 x ，
x ＝，－2x 2＋3x ＋x
1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2
－x ，则f (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
[解析] 本题主要考查函数的奇偶性以及函数值的求法．f (1)＝－f (－1)＝－[2(－1)2
－(－1)]＝－3， 故选A.
2、已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3
x )，求当x ∈(－∞，0)时f (x )的解析式．
解：设x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)．由已知得f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3
x )． ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－f (－x )＝x (1－3
x )． 即f (x )＝x (1－3x )，∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式为f (x )＝x (1－3
x )． 考点三、利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围 例1、已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：
（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2(1)(1)0,f a f a -+-< 求a 的取值范围.
22
(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则22111
11111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩
,∴01a <<
1、设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m 的取值范围．
分析：利用奇函数性质知f(x)在[－2,2]上是减函数，再结合单调性，脱去符号“f ”，转化为关于m 的不等式(组)．
解∵f (x )在[－2,2]上为奇函数，且在[0,2]上单调递减，故f (x )在[－2,2]上为减函数，又f (1－
m )<f (m )．
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
－2≤1－m
≤2，
－2≤m
≤2，1－m >m .
即⎩⎪⎨
⎪⎧
－1≤m
≤3，
－2≤m
≤2，m <12.
解得－1≤m <1
2
.
变式体验1 如果奇函数f(x)在区间[－5，－3]上是增函数，且最大值是－4，那么f(x)在x ∈[3,5]上是( )
A ．增函数且最大值是4
B ．增函数且最小值是4
C ．减函数且最大值是4
D ．减函数且最小值是4
图2
解析：作一个符合条件的函数的简图．观察图形，可知f(x)在[3,5]上是增函数，且最小值为4. 答案：B
变式训练：
1、已知奇函数()f x 在R 上单调递增，且1(21)()0.2
f x f -+< 则x 的取值范围为
A.1(,)4-∞
B.1(,)4+∞
C.3(,)4-∞
D.3(,)4
+∞
2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A ．y ＝－x 3
，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R
C ．y ＝x ，x ∈R
D ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
，x ∈R
4．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数
B ．f (x )－|g (x )|是奇函数
C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数
D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 5．若f (x )＝1
2x －1＋a 是奇函数，则a ＝______.
考点五、函数奇偶性的证明、奇偶函数的单调性
例1、已知函数f(x)=x 2
+|x-a|+1,a ∈R .
（1）试判断f(x)的奇偶性； （2）若-21≤a ≤2
1，求f(x)的最小值.
解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2
+|-x|+1=f(x),
此时,f(x)为偶函数.当a ≠0时，f(a)=a 2
+1,f(-a)=a 2
+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.
（2）当x ≤a 时,f(x)=x 2
-x+a+1=(x-2
1)2
+a+
4
3
, ∵a ≤2
1,故函数f(x)在（-∞，a ］上单调递减， 从而函数f(x)在（-∞，a ］上的最小值为f(a)=a 2
+1. 当x ≥a 时，函数f(x)=x 2
+x-a+1=(x+2
1)2
-a+4
3,
∵a ≥-2
1，故函数f(x)在［a ，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a ，+∞)上的
最小值为f(a)=a 2
+1.
综上得，当-2
1≤a ≤2
1时，函数f(x)的最小值为a 2
+1.
例2、已知f (x )＝
x －a
x 2
＋bx ＋1
是奇函数．
(1)求a 、b 的值；
解：(1)∵f (x )＋f (－x )＝0恒成立，即
x －a x 2＋bx ＋1－x ＋a
x 2－bx ＋1
＝0恒成立，
则2(a ＋b )x 2
＋2a ＝0对任意的实数x 恒成立．∴a ＝b ＝0.
考点五、函数奇偶性的简单应用
例1、若f (x )＝x 5
＋ax 3
＋bx ＋3在(0，＋∞)上的最大值是8，求f (x )在(－∞，0)上的最小值． 分析：注意到g (x )＝x 5
＋ax 3
＋bx 是奇函数，则g (－x )＋g (x )＝0.
解：当x >0时，f (x )≤8，则当x <0时，－x >0，f (－x )≤8，设x ∈(－∞，0)，则
f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋3
＝－[(－x )5
＋a (－x )3
＋b (－x )＋3]＋6 ＝－f (－x )＋6≥－8＋6＝－2.
所以f (x )在(－∞，0)上的最小值是－2.
1、已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋3，且F(－2)＝5，则F(2)＝1；
解：(1)因为f(x)与g(x)都是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，
所以F(x)＋F(－x)＝af(x)＋bg(x)＋3＋a[－f(x)]＋b[－g(x)]＋3＝6，
所以F(x)＝6－F(－x)，
所以F(2)＝6－F(－2)＝6－5＝1.
2、已知函数f(x)＝x3＋sin x的定义域为(－1,1)，则满足不等式f(a2－1)＋f(1－2a)<0的a的取值范围是(0,1) .
解：因为f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)是奇函数，且单调递增，所以f(a2－1)＋f(1－2a)<0，即f(a2－1)<f(2a－1)．
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
2、定义在{x|x∈R，x≠1}上的函数f（x）满足f（1-x）=-f（1+x），当x＞1时，f(x)
点的横坐标之和等于
3、设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=-f（3-x），且方程f（x）=0恰有6个不同的实数根，
4、设函数f（x）对x∈R都满足f（3+x）=f（3-x），且函数y=f（x）恰有6个不同的零点，则这6个零点
5、函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f （2+x）=f（2-x），
f（1+x）=-f（x），则f（x）是（）
A．奇函数但非偶函数B．偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数
考点六、抽象函数奇偶性的判断
例1、已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．证明设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
变式迁移3 证明令x1＝0，x2＝x，
则得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)①
又令x1＝x，x2＝0，得
f(x)＋f(x)＝2f(x)f(0)②
由①、②得f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
例2、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)，
(1)求f(0)、f(1)的值．
(2)证明f(x)为奇函数．
解：(1)令a＝b＝0，∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.
令a＝b＝1，∴f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)证明：∵a，b∈R，∴可赋a、b为某些特殊值．
令a＝b＝－1，则f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0，
∴f(x)为奇函数．
1、已知函数f(x)对一切x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．
分析：判定函数的奇偶性应凑f(－x)的形式，令y＝－x即可．
解：(1)证明：由题意知，f(x)的定义域是R，它关于原点对称．在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)；令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
把f(0)＝0代入f(0)＝f(x)＋f(－x)，得
f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)解：由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x)是奇函数，得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－
3)＝－4a.
例3、已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).
（1）求证：f(x)
1,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.
2
（1）证明：∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（2）解：方法一设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.x∈R+，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0,f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x,f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
1,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.
∵f(1)=-
2
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
方法二设x1＜x2,且x1,x2∈R.
则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.
1
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-
2
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
考点七、函数的周期性及应用
例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x＝1对称，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)．
解：(1)因为y＝f(x)的图象关于x＝1对称，且f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)．因为f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)因为x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
设x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，又f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－[2(－x )－(－x )2
]＝2x ＋x 2
. 当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，
所以f (x )＝f (x －4)＝2(x －4)＋(x －4)2
＝2x －8＋x 2
－8x ＋16＝x 2
－6x ＋8. 即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2
－6x ＋8.
(3)由x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2
，可得f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0， 又x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2
－6x ＋8，可得f (3)＝－1， 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，而f (x ＋4)＝f (x )，
所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2011)＝[f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)]×503＝0.
1、设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足：①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2
.
(1)判断函数f (x )是否是周期函数； (2)求f (5.5)的值．
例2、已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数；
(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－1
2在[0,2 014]上的所有x 的个
数．
(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．
(2)解 当0≤x ≤1时，f (x )＝1
2x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，
∴f (－x )＝12(－x )＝－1
2x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，
∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝1
2
x (－1≤x ≤1)．
又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝1
2(x －2)．
又∵f (x )是以4为周期的周期函数
∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－1
2(x －2)(1<x <3)．
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1
2x ，－1≤x ≤1，
－1
2x －，1<x <3.
由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (x )＝－1
2的所有x ＝4n －1(n
∈Z )．
令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 015
4.又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，
∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－1
2.
考点八、函数性质的综合应用
例1、定义在实数集R 上的函数f (x )，对任意x 、y ∈R ，有f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·f (y )且f (0)≠0.
(1)求证：f (0)＝1； (2)判断y ＝f (x )的奇偶性； (3)若存在正常数C ，使f (C
2
)＝0.
①求证：对任意x ∈R ，有f (x ＋C )＝－f (x )成立；
②试问函数f (x )是不是周期函数？如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由． 分析：(1)用赋值法；(2)依题设构造f (－x )与f (x )的关系；(3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论．
解 ：(1)证明：令x ＝y ＝0，则2f (0)＝2f 2
(0)．
又f (0)≠0，所以f (0)＝1.
(2)令x ＝0，则f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )＝2f (y )， 所以f (y )＝f (－y )，即f (x )＝f (－x )， 又x ∈R ，所以f (x )为偶函数．
(3)①证明：用x ＋C 2，C 2(C >0)替换x ，y ，则f (x ＋C 2＋C 2)＋f (x ＋C 2－C 2)＝2f (x ＋C 2)·f (C
2
)．
又f (C
2)＝0，所以f (x ＋C )＋f (x )＝0，即f (x ＋C )＝－f (x )；
②由①的结论知f (x ＋2C )＝－f (x ＋C )＝f (x )(C >0)， 所以f (x )是周期函数，2C 就是它的一个周期．
点评：特殊值法是解决抽象函数问题常用的有效方法，通过所给关系式，对其中的变量进行有效赋值，注意借助具体模
型思考，联系解题目标赋值．
1、设f (x )是定义在[－1,1]上的偶函数，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝g (2－x )，且当x ∈[2,3]时，g (x )＝2a (x －2)－4(x －2)3
.
(1)求f (x )的表达式；
(2)是否存在正实数a (a >6)，使函数f (x )的图象最高点在直线y ＝12上，若存在，求出正实数
a 的值；若不存在，
请说明理由．
【解析】(1)当x ∈[－1,0]时，2－x ∈[2,3]，
f (x )＝
g (2－x )＝2a (－x )－4(－x )3＝4x 3－2ax ，
因为y ＝f (x )在[－1,1]是偶函数，
所以当x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝－4x 3
＋2ax .
(2)命题等价于f (x )max ＝12，由于f (x )为偶函数，故只需考虑0≤x ≤1的情况．f ′(x )＝－12x 2
＋2a (0≤x ≤1，a >6)．
由f ′(x )＝0，得x ＝a
6
或x ＝－
a
6
(舍去)．
因为
a
6
>1，所以当0≤x ≤1时，f ′(x )>0，
即f (x )在[0,1]上单调递增． 所以f (x )max ＝f (1)＝12，所以a ＝8.
综上，存在a ＝8使得f (x )的图象的最高点在直线y ＝12上．
巩固练习：
1、f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x
－1，则f (log
126)等于
( )．
A ．－5
B ．－6
C ．－56
D ．－12
解析 f (log 126)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)．∵log 26－2＝log 232∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝12， ∴f (log 126)＝－1
2.
答案 D
2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是
( )．
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos
πf >⎪⎭⎫ ⎝⎛
32sin πf B ．f (sin 1)<f (cos 1) C ．
⎪⎭⎫
⎝⎛6sin πf <
⎪⎭⎫
⎝
⎛6cos πf D ．f (cos 2)>f (sin 2)
解析 当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |， 显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π
3＝
32>12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3.
答案 A
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
1－2－x
，x ≥0，
2x
－1，x <0，
则该函数是 ( )．
A ．偶函数，且单调递增
B ．偶函数，且单调递减
C ．奇函数，且单调递增
D ． 奇函数，且单调递减 解析 当x >0时，f (－x )＝2－x
－1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2
－(－x )
＝1－2x
＝－f (x )．当
x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1
在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x
≥0，x <0时2x
－1<0，故f (x )为R 上的增函数． 答案 C
1．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则 ( )．
A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是奇函数
C ．f (x )＝f (x ＋2)
D ．f (x ＋3)是奇函数
解析 由已知条件，得f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)．由f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，得f (－x ＋2)＝－f (x )；由f (－x －1)＝－f (x －1)，得f (－x －2)＝－f (x )．则f (－x ＋
2)＝f (－x －2)，即f (x ＋2)＝f (x －2)，由此可得f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (x ＋3)＝f (x －1)，即函数f (x ＋3)也是奇函数． 答案 D
2．设函数D (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
1，x 为有理数，0，x 为无理数，
则下列结论错误的是 ( )．
A ．D (x )的值域为{0,1}
B ．D (x )是偶函数
C ．
D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函
数
解析 显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则
D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．
答案 C
3．f (x )＝2x ＋sin x 为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f (1－a )＋f (1－2a )<0的解集是 ________. 解析 f (x )在(－1,1)上是增函数，且f (x )为奇函数．于是原不等式为f (1－a )<f (2a －1)等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a <2a －1.
解得2
3
<a <1.
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，1 4．若定义域为R 的奇函数f (x )满足f (1＋x )＝－f (x )，则下列结论：①f (x )的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,21对称；②f (x )的图象关于直线x ＝1
2对称；③f (x )是周期函数，且2是它的一个周期；④f (x )在区
间(－1,1)上是单调函数．其中所有正确的序号是________．
解析 由函数为奇函数且满足f (1＋x )＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －12，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
－x ，所以②③正确．
答案 ②③
5．若函数f (x )＝x 2
－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.
解析 由题意知，函数f (x )＝x 2
－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 0
6．已知y ＝f (x )＋x 2
是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.
解析 因为y ＝f (x )＋x 2
是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2
＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案 －1 三、解答题(共25分)
7．(12分)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )．
(1)求f (1)，f (－1)的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性．
解 (1)因为对定义域内任意x ，y ，f (x )满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )，所以令x ＝y ＝1，得f (1)＝0，令x ＝y ＝－1，得f (－1)＝0.
(2)令y ＝－1，有f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)，代入f (－1)＝0得f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数．
8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数
m 的取值范围．
解 由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)， 因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪
⎧
－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，
|1－m |<|m |.
解得：1
2
<m ≤2.
因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤12，2. 5．(12分)已知函数f (x )＝x 2
＋a x
(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数．求实数a 的取值范围． 解 (1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 当a ＝0时，f (x )＝x 2
，(x ≠0)
显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ， 因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，
所以函数f (x )＝x 2
＋a x
既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a
x 2
，
当a ≤0时，f ′(x )>0，则f (x )在[2，＋∞)上是增函数，
当a >0时，由f ′(x )＝2x 3
－a
x
2>0，
解得x > 3a
2，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，
可知 3a 2
≤2.解得0<a ≤16.
综上可知实数a 的取值范围是(－∞，16]．
4．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=
在R 上一定是（ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数 4. A ()()()()F x f x f x F x -=--=-
5．已知函数()()0f x x a x a a =+--≠，()()()
2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩， 则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ）
A ．偶函数，奇函数
B ．奇函数，偶函数
C ．偶函数，偶函数
D ．奇函数，奇函数 5. D ()()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-，画出()h x 的图象可观察到它关于原点对称
或当0x >时，0x -<，则22()()();h x x x x x h x -=-=--+=-
当0x ≤时，0x -≥，则22()()();h x x x x x h x -=--=-+=-()()h x h x ∴-=-
7. 已知幂函数()y f x =的图像过点(4,2)，则函数(1cos )y f x =+的最小正周期是（ ）
A 、4π
B 、2π
C 、π D
、
2π
6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2
－x
－
x
f x －x
，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则
实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，0]
B ．[0,1)
C ．(－∞，1)
D ．[0，＋∞)
解析：当x >0时，因为f (x )＝f (x －1)，所以当x >0时，f (x )是以1为周期的函数，又当0<x ≤1时，x －1≤0，所以f (x )＝f (x －1)＝2
1－x
－1＝2·(12
)x
－1.方程f (x )＝x ＋a 的根的个数可看成是两
个函数y ＝f (x )与y ＝x ＋a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图，由图象可知，实数a 的取值范围是(－∞，1)．
答案：C
24．已知函数f （x ）是R 上的单调增函数且为奇函数，则f （1）的值（ ） A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负
6．已知函数f (x )在(－1,1)上有定义，121-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛f ，当且仅当0<x <1时，f (x )<0，且对任意x 、y
∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++xy y x f 1，试证明：
(1)f (x )为奇函数；
(2)f (x )在(－1,1)上单调递减．
证明 (1)函数f (x )的定义域为(－1,1)， 再由f (x )＋f (y )＝⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++xy y x f 1，
令x ＝y ＝0，得f (0)＝0， 令y ＝－x ，得f (x )＋f (－x )＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －x 1－x 2＝f (0)＝0，
∴f (x )＝－f (－x )，即f (x )为奇函数．
(2)先证f (x )在(0,1)上单调递减．令0<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x 2－x 11－x 1x 2.
∵0<x 1<x 2<1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0， 即
x 2－x 1
1－x 2x 1
>0.
又∵(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)＝(x 2－1)(x 1＋1)<0，
∴x 2－x 1<1－x 2x 1，∴0<x 2－x 1
1－x 2x 1
<1.
由题意，知f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2－x 11－x 1x 2<0，即f (x 2)<f (x 1
)，
∴f (x )在(0,1)上单调递减，又f (x )为奇函数且f (0)＝0， ∴f (x )在(－1,1)上单调递减.。