最新北京课改版九年级数学上册20.5+二次函数的一些应用课堂导学

20.5 二次函数的一些应用
名师导学
典例分析
例1 在以x 为自变量的二次函数y=－x 2+(2m+2)x －(m 2+4m －3)中,m 为非负整数,它的图象与
x 轴交于A 和B 两点(A 在原点左边,B 在原点右边),求此二次函数的表达式.
思路分析:求此表达式关键是确定m 的值,若设图象与x 轴两交点的横坐标分别为x 1和x 2(不
妨设x 1<x 2),则x 1、x 2是方程－x 2+(2m+2)x －(m 2+4m －3)=0的两个
根,x 1<0,x 2>0⎩⎨⎧<>-⇒,
0,04212x x ac b 从而确定m 的值. 解：根据题意可知方程－x 2+(2m+2)x －(m 2
+4m －3)=0有两个异号实数根.
∴⎩⎨⎧<>-,0,04212x x ac b 即⎩⎨⎧<-+>-+-+.034,0)34(4)22(222m m m m m ②① 由①解得m<2.又∵m 是非负整数∴m=0或1,分别代入②验证.∵当m=0时,m 2+4m －3=－3<0,
适合；当m=1时,m 2+4m －3=2>0,不适合,应舍去.∴m=0,所求二次函数表达式为y=－x 2+2x+3.
例2 某公司生产的A 种产品,它的成本是2元,售价是3元,年销售量100万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是x(10万元)时,产品的年销售量将是原销售量的y 倍,且15
31012++-=x x y ,如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费,(1)试写出年利润S(10万元)与广告费x(10万元)的函数关系式.(2)如果投入广告费为10～30万元,问广告费在什么范围内,公司获得的年利润随广告费的增大而增大?(3)在(2)中,投入的广告费为多少万元时,公司获得的年利润最大?是多少?
思路分析：(1)由于原年销售量为100万件,即10个10万件,故当投入x(10万元)的广告费时,年销售量将为y×10=)15
3101(102++-x x 十万件,从而年利润S 应为)23()15
3101(102-⨯++-x x ,再减去广告费x,即为公司所获利润,从而能得到S 与x 的关系式；(2)由投入广告费为10～30万元,可知1<x<3,并借助S 与x 的图象即可得到结论；(3)可利用二次函数的最值问题得到结论.
解：(1)∵年销售量为100万件,即10个10万件,当投入x(10万元)广告费后,年销售应为y×l0,即)153101(102++-x x (10万件),从而有x x x S --⨯++-=)23()15
3101(102 1052++-=x x . (2)∵4
65)2
5(10522+--=++-=x x x S ,故可画出如图20－5－2所示的草图.由于年广告费在10万元到30万元之间,所以1≤x≤3,借助图象和表达式可知,当x=25时,S 能取得最大值,故当广告费在10万元至25万元之间时,公司获得的年利润随广告费的增大而增大.
(3)当x=25时,S 的最大值为4
65(10万元),即当投入的广告费为25万元时,该公司的年利润的最大值为162.5万元。

突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1 方法点拨：解决此类题的关键是熟知一元二次方程的相关知识,因此,在学习这部分知识的同时,应及时复习旧知识.另外,充分挖掘题目中的隐含条件也是解好本题目的关键,得出答案后勿忘验证答案.
2 方法点拨：此类题目中的单位转换很重要,很容易由于把握不准而致错,就本题而言,也可将10万元化为100 000元来进行计算,但会出现较大的计算量.另外在解决此类问题时应结合图象,由于自变量的限制,往往只涉及图象的一部分(因为是实际问题),这一点应引起注意.
22.4 圆周角
名师导学
典例分析
例1 如图22－4－4,BC 为⊙O 的直径,AD ⊥BC 于D,
,BF 与AD 交于点E.
求证：AE=BE.
思路分析：AE 和BE 为同一个三角形中的两条边,结论可转化为证明∠ABE=∠BAE,圆周角∠ABF 所对的弧为,由已知可联想到联结AC,找出,所对的圆周角.
本题也可找到∠BAD 所对的弧,故需要延长AD 并把田补充完整,然后利用垂径定理证明. 证法一：如图①,联结AC,
∵BC 为⊙O 的直径.
∴∠BAC=90°,∴∠ACB+∠ABC=90°.
又∵AD⊥BC,∴∠BAD+∠ABC=90°.
∴∠ACB=∠BAD.
又∵,∴ABF=∠ACB.
∴∠ABF=∠BAD,∴AE=BE.
证法二：如图②,补全⊙O,延长AD交⊙O于G.
∵直径BC⊥AD,∴.
又∵,∴.
∴∠ABF=∠BAG,∴AE=BE.
例2如图22－4－5,A、B、C在⊙O上,AD平分∠BAC交⊙O于D,DE//BA交⊙O于E,求证：AC=DE.
思路分析:要证AC=DE,只需证∠DAE=∠ADC,利用角平分线,平行线及同弧所对的圆周角相等,便可证出∠DAE=∠ADC.
证明：如图,联结AE、CD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC.
∵AB//ED,
∴∠BAD=∠ADE,
∴∠DAC=∠ADE.
又∵,
∴∠EAC=∠EDC.
∴∠DAC+∠EAC=∠ADE+∠EDC,
∴∠DAE=∠ADC.
∴AC=DE.
突破易错☆挑战零失误
规律总结
善于总结★触类旁通
1 方法点拨：本题重在考查圆中常见的辅助线的作法.通过本节课的学习,我们要知道,当题目中有直径时,常构造直径所对的圆周角——直角,然后利用直角三角形的性质解题.通过上一节课的学习,我们知道,垂径定理也是好多题目解题的关键,所以我们可以把圆补全,此时
由AG⊥BC构造垂径定理.另外,我们还可以由,利用垂径定理的推论来解题.请同学们
在图③中作辅助线。

并尝试证明.
2 方法点拨：在圆中要证弦相等,可以考虑证明弧相等,而证明弧相等,可以考虑证明圆周角相等.。