成都树德实验中学东区选修一第二单元《直线和圆的方程》检测(有答案解析)

一、选择题
1．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ）
A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．30,,424πππ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
C ．30,
,44πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤
⎪ ⎢
⎥⎣⎭⎝⎦
2．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）
A
．B ．C ．D ．
3．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得
||2||PB PA =，则a 的值为（ ）
A ．6-
B ．2-或6
C ．2或6-
D ．2-
4．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()2
2
234x y +++=作一条切线切于点
T ，则MT 的最小值为（ ）
A B ．4
C ．
D ．5．若圆222(3)(5)x y r -+-=上有且只有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ） A ．(4,6)
B ．[4,6]
C ．(,4)-∞
D ．(6,)+∞
6．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4±
B ．－4
C ．4
D ．2±
7．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．D
8．在平面直角坐标系xOy 中，直线240x y +-=与两坐标轴分别交于点A 、B ，圆C 经过A 、B ，且圆心在y 轴上，则圆C 的方程为（ ） A ．226160x y y ++-= B ．226160x y y +--= C ．22890x y y ++-=
D ．22890x y y +--=
9．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02
c
x y -+=上， 则m c += . A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（ ） A ．250x y +-=
B ．20x y -=
C ．230x y -+=
D ．20x y +=
11．曲线214y x 与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点，则k 的取值范围是
（ ）
A ．50,
12⎛⎫
⎪
⎝⎭
B ．13,34
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．
53
,124
D ．5,12⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
12．已知11(,)P x y 是直线1:(,)0l f x y =上一点，22(,)Q x y 是l 外一点，则方程
(,)f x y =1122(,)(,)f x y f x y +表示的直线（ ）
A ．与l 重合
B ．与l 交于点P
C ．过Q 与l 平行
D ．过Q 与l 相交
二、填空题
13．三条直线10x y ++=，280x y -+=，350ax y +-=不能围成三角形，则a 的取值集合是__________．
14．过点()3,1的直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则AOB （O 为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
15．直线过点(1,2)A ，且不经过第四象限，那么直线的斜率的取值范围是______ 16．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab≠0，则
22
11
a b +的最小值为___________ 17．过点()4,1P 作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点.当
OA OB ＋取最小值时，直线l 的方程为___________.
18．点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________．
19．已知直线l 过点(4,1)A -20y -+=的夹角为30°，则直线l 的方程为____________.
20．已知定点A 到动直线l ：(
)2
21420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，
则定点A 的坐标为________．
三、解答题
21．已知圆22
1:2440C x y x y ++--=.
（1）在下列两个条件中任选一个作答.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
①已知不过原点的直线l 与圆1C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； ②从圆外一点(2,1)P 向圆引切线，求切线方程.
（2）若圆22
2:4C x y +=与圆1C 相交与D 、E 两点，求线段DE 的长.
22．在ABC 中，(2,5)A ，()1,3B （1）求AB 边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若BAC ∠的角平分线所在的直线方程为30x y -+=，求AC 所在直线的方程.
23．已知圆心为C 的圆经过点()1,1A 和()2,2B -，且圆心C 在直线l ：10x y -+=上． （1）求圆C 的方程；
（2）已知直线m ：y x n =+圆C 截得的弦与圆心构成CDE △，若CDE △的面积有最大值，求出直线m ：y x n =+的方程；若CDE △的面积没有最大值，请说明理由. 24．已知ABC 的顶点(5,1)A ，直线BC 的方程为6590x y AB --=，边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=． （1）求顶点C 的坐标；
（2）求AC 边上的高所在直线方程．
25．如图，已知圆()()2
2
1:112C x y -++=，圆()()2
2
2:215C x y +++=，过原点O 的直线l 与圆1C ，2C 的交点依次是,,P O Q .
（1）若2OQ OP =，求直线l 的方程；
（2）若线段PQ 的中点为M ，求点M 的轨迹方程.
26．已知圆C ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝16，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m －2)y －3m －4＝0(m ∈R ). （1）若圆C 截直线l 所得弦AB 的长为211m 的值；
（2）若圆C 与直线l 相离，设MN 为圆C 的动直径，作MP ⊥l ，NQ ⊥l ，垂足分别为P ，Q ，当m 变化时，求四边形MPQN 面积的最大值.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：
直线PA 的斜率为21110
PA k -+=
=--，直线PB 的斜率为11
120PB k +=
=-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
. 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.
2．C
解析：C 【分析】
做出圆22
(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r
+≥-即可求解. 【详解】
解：如图，圆2
2
(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，
其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.
故选：C.
【点睛】
解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.
3．B
解析：B 【分析】
设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2
214x a y -++=，则本题等价于直线1
x =与圆()2
214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】
设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2
2
22344x a y x a y --+=-+，
整理可得()2
214x a y -++=，
则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆
()
2
214x a y -++=相切，
2=，解得2a =-或6.
故选：B. 【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线1x +=与圆()2
214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
4．D
解析：D 【分析】
根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算
可得答案． 【详解】
根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，
过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，
而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4
min MC ==，
则||MT = 故选：D 【点睛】
方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.
5．D
解析：D 【分析】
首先求圆心到直线的距离d ，再根据条件，列式1d +和半径r 比较大小，求r 的取值范围. 【详解】
圆心()3,5到直线432x y +=的距离5d =
=，
若圆上有四个点到直线432x y +=的距离等于1，则51r >+，即6r >. 故选：D 【点睛】
思路点睛：本题考查直线与圆的位置关系，与直线432x y +=距离为1的两条直线与圆有4个交点，根据点到直线的距离，建立不等式求解.
6．B
解析：B 【分析】
由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】
因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】
易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题
7．A
解析：A 【分析】
先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】
因为2
2
6240x y x y +-++= 所以2
2
(3)(1)6x y -++=，
圆心到直线的距离为
d =
=
直线0x y +=被圆22
6240x y x y +-++=截得的弦长4l =；
故选：A ． 【点睛】
计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.
8．A
解析：A 【分析】
求出点A 、B 的坐标，设圆心坐标为()0,b ，由AC BC =可求出圆心C 的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆C 的方程. 【详解】
易知，直线240x y +-=交x 轴于点()4,0A ，交y 轴于点()0,2B ，
设圆心C 的坐标为()0,b ，由AC BC =2b =-，解得3b =-， 所以，圆C 的半径为325BC =--=，
因此，圆C 的方程为()2
2325x y ++=，即为2
2
6160x y y ++-=.
故选：A. 【点睛】
求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；
（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
9．C
解析：C 【分析】
由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02
c
x y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】
由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫
⎪⎝⎭
在直线02c x y -+=上
代入得：
12022
m c
+-+=
整理可得：3m c += 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.
10．A
解析：A 【分析】
分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，先求出过点(1,2)的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】
当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直， 圆2
2
9x y +=的圆心为(0,0)，所以过点(1,2)的直径的斜率为20
210
-=-， 故所求直线为1
2-，所求直线方程为1
2(1)2
y x ，即250x y +-=. 故选：A . 【点睛】
方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题.
11．C
解析：C 【分析】 曲线214y x 表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置关系，通
过图形可得结论．
【详解】 曲线21
4y x 是半圆，圆心是(0,1)C ，圆半径为2，直线(2)4y k x =-+过定点
(2,4)P ，作出半圆与过P 的点直线，如图，
PD
2=，解得5
12k =
，即512
PD k =， (2,1)A -，413
2(2)4
PA k -=
=--，
∴53,124k ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论．
12．C
解析：C 【分析】
由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论． 【详解】
解：由题意有可得1(f x ，1)0y =，2(f x ，2)0y ≠，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =
即(f x ，2)(y f x -，2)0y =，它与直线:(,)0l f x y =的一次项系数相等，但常数项不相等，
故(f x ，2)(y f x -，2)0y =表示过Q 点且与l 平行的直线， 故选：C ． 【点睛】
根据平行直线系方程，即两直线方程10Ax By C ++=与20Ax By C ++=互相平行.
二、填空题
13．【分析】由题意可知直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点由此可求得实数的取值【详解】由于三条直线不能围成三角形则直线与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点（1）直线与直线平行则解得；（2）直
解析：1,3,63⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
【分析】
由题意可知直线350ax y +-=与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点，由此可求得实数a 的取值.
【详解】
由于三条直线10x y ++=，280x y -+=，350ax y +-=不能围成三角形， 则直线350ax y +-=与另外两条直线分别平行或三条直线交于一点. （1）直线350ax y +-=与直线10x y ++=平行，则
35111
a -=≠，解得3a =； （2）直线350ax y +-=与直线280x y -+=平行，则
35218
a -=≠-，解得6a =-； （3）若三条直线交于一点，联立10280x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得3
2x y =-⎧⎨=⎩
，
所以直线10x y ++=，280x y -+=交于点()3,2-，
由题意可知，点()3,2-在直线350ax y +-=上，可得3650a -+-=，解得1
3
a =
. 因此，实数a 的取值集合为1,3,63⎧⎫
-⎨⎬⎩⎭
.
故答案为：1
,3,63⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
由三线不能确定三角形问题的求解，除了考虑直线平行外，同时也不能忽略三线交于一点这种情况的讨论.
14．【分析】设直线的方程为求出点的坐标结合已知条件求出的取值范围然后求出的面积关于的表达式利用基本不等式可求出面积的最小值利用等号成立求出的值即可得出所求直线的方程【详解】易知直线的斜率存在且不为零设直 解析：360x y +-=
【分析】
设直线AB 的方程为()13y k x -=-，求出点A 、B 的坐标，结合已知条件求出k 的取值范围，然后求出AOB 的面积关于k 的表达式，利用基本不等式可求出AOB 面积的最小值，利用等号成立求出k 的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】
易知直线AB 的斜率存在且不为零，
设直线AB 的方程为()13y k x -=-，即13y kx k =+-.
在直线AB 的方程中，令0x =，可得13=-y k ；令0y =，可得31
k x k
-=. 所以，点31,0k A k -⎛⎫
⎪⎝⎭
、()0,13B k -.
由已知条件可得31
0130
k k k -⎧>⎪
⎨⎪->⎩，解得0k <.
OAB 的面积为
()
131111136966222k S k k k k ⎡
-⎛⎫=⨯-⨯=--≥⨯+=⎢ ⎪⎝⎭⎢
⎣.
当且仅当()190k k k
-=-
<时，即当1
3k =-时，等号成立，
所以，直线AB 的方程为1
23
y x =-+，即360x y +-=. 故答案为：360x y +-=. 【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率k 有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽略了斜率k 的取值范围的求解.
15．【分析】根据直线过且不经过第四象限考虑直线过原点的倾斜程度及平行x 轴的情况即可写出斜率的范围【详解】当直线过点A 且平行于轴时直线斜率取得最小值；当直线过点与原点时直线斜率取得最大值所以直线的斜率的取 解析：[0,2]
【分析】
根据直线过(1,2)A 且不经过第四象限，考虑直线过原点的倾斜程度及平行x 轴的情况即可写出斜率的范围. 【详解】
当直线过点A 且平行于x 轴时，直线斜率取得最小值min
0k ；当直线过点(1,2)A 与原点
(0,0)O 时，直线斜率取得最大值max 2k =，所以直线的斜率的取值范围是[0]2，.
【点睛】
本题主要考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于中档题.
16．9【分析】圆C1C2只有一条公切线则两圆的位置关系为内切由此可以得到ab 的等量关系然后利用均值不等式求的最小值【详解】圆C1：x2＋y2＋4ax ＋4a2－4＝0标准方程：圆C2：x2＋y2－2by ＋
解析：9 【分析】
圆C 1、C 2只有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，由此可以得到a 、b 的等量关系，然后利用均值不等式求22
11
a b +的最小值 【详解】
圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0 标准方程：
2
2
x 2a y 4++=（）
圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0标准方程：22
x y b 1+-=（）
因为圆C 1 、C 2内切，
1=, 即224a b 1+=， （
2211a b +）=22
22114a b a b
++（）（） =2222b 4a 59a b
++≥（）
当且仅当224a b =时等号成立. 【点睛】
本题考查了两圆的位置关系和均值不等式求最值；两圆位置关系有：内含、内切、相交、外切、外离，圆与圆的位置关系也决定了切线的条数，两圆相内切只有一条切线，圆心距和两圆半径的关系是解题的关键，利用该关系可以构造出均值不等式所需要的等式；均值不等式求最值要注意：一正二定三相等.
17．【分析】设点写出直线的截距式方程代入点坐标利用基本不等式求出的最小值以及对应的从而求得直线的方程【详解】解：由题意设其中为正数则直线的截距式方程为代入点得；所以当且仅当即且时上式取等号；此时直线的方 解析：260x y ＋－＝
【分析】
设点(,0)A a ，(0,)B b ，写出直线的截距式方程，代入点P 坐标，利用基本不等式求出
||||OA OB +的最小值以及对应的a 、b ，从而求得直线l 的方程．
【详解】
解：由题意设(,0)A a ，(0,)B b ，其中a ，b 为正数， 则直线的截距式方程为
1x y a b +=，代入点(4,1)P 得41
1a b
+=； 所以4144||||()()4152549b a b OA OB a b a b a b a b a +=+=++=++
+++=， 当且仅当
4b a
a b
=，即6a =且3b =时，上式取等号； 此时直线l 的方程为
163
x y
+=，即260x y +-=． 故答案为：260x y +-=． 【点睛】
本题考查了直线的方程与应用问题，也看出来基本不等式求最值问题，属于中档题．
18．(－4－1)【分析】设对称点的坐标为根据点P 关于直线对称列出方程组即可求解【详解】设对称点的坐标为则解得所以所求对称点的坐标为【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题其中解答中根据点关于直
解析：(－4，－1) 【分析】
设对称点的坐标为00(,)x y ，根据点P 关于直线1x y +=对称，列出方程组，即可求解. 【详解】
设对称点的坐标为00(,)x y ，则00005
(1)12
251
2
2y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩，
所以所求对称点的坐标为(4,1)--．
【点睛】
本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题，其中解答中根据点关于直线对称，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
19．或【分析】分析可得已知直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或分类讨论并利用点斜式方程求解即可【详解】由题直线的倾斜角为则直线的倾斜角为或当倾斜角为时直线为即为；当倾斜角为时直线为故答案为：或【点睛】本题考
解析：4x =-
330y -+= 【分析】
分析可得已知直线的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,分类讨论,并利用点斜式方程求解即可 【详解】 由题,
直线2y =
+的倾斜角为60︒,则直线l 的倾斜角为30或90︒,
当倾斜角为30时,直线l
为)14y x -=
+,
330y -+=； 当倾斜角为90︒时,直线l 为4x =-, 故答案为：4x =-
330y -+= 【点睛】
本题考查直线倾斜角与斜率的关系,考查求直线方程,考查分类讨论思想
20．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1
【解析】 【分析】
设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令
0,1,1
m =-分析可
得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,
即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】
设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离
d =
无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1
时，22
111m d m +=
==+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3 时，
22
131m d m -=
=
+ ，显然d 的值随m 的变
化而变化，不符题意，舍去．
综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为
2
,1
．
故答案为：()2,1． 【点睛】
本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）①1y x =-+±②4350x y --=或2x =；（2）4. 【分析】
（1）①由已知得直线l 的斜率为1-，然后利用点到直线的距离等于半径可得直线截距可得答案；
②分别讨论当过P 的直线斜率不存在和存在两种情况，不存在时特殊情况可得答案；存在时利用圆心到直线的距离等于半径可得答案；
（2）两个圆的方程联立求得交点坐标，再利用两点间的距离公式可得答案. 【详解】
（1）①圆C 的方程变形为22
(1)(2)9x y ++-=，
∴圆心C 的坐标为(1,2)-，半径为3.
直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为零， 故直线l 的斜率为1-.
∴设直线l 的方程y x b =-+，
又直线l 与圆2
2
(1)(2)9x y ++-=相切，
3
=
，整理得1
b=±
∴所求直线l
的方程为1
y x
=-+±
②圆C的方程变形为22
(1)(2)9
x y
++-=，
∴圆心C的坐标为(1,2)
-，半径为3.
当过P的直线斜率不存在时，直线方程为2
x=，
此时圆C到直线的距离为3，
所以直线2
x=是圆C的切线.
当过P的直线斜率存在时，
设切线方程为1(2)
y k x
-=-，
即120
kx y k
-+-=
3
=，
4
3
k
∴=，∴切线方程
44
120
33
x y
-+-⨯=，
即4350
x y
--=，
综上所述，切线方程为4350
x y
--=或2
x=.
（2）联立方程
22
22
2440
4
x y x y
x y
⎧++--=
⎨
+=
⎩
，
得
1
1
5
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
2
2
5
5
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，
||4
DE
∴===.
【点睛】
直线和圆相切时，可以利用圆与直线联立的方程组有一组实数解，或者利用圆心到直线的距离等于圆的半径求得参数，有时利用后面方法计算运算量比较小些.
22．（1）
119
24
y x
=-+；（2）280
x y
-+=.
【分析】
（1）设AB边的垂直平分线为l，求出
1
2
l k=-，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）设B关于直线30
x y
-+=的对称点M的坐标为(,)
a b，求出(0,4)
M即得解.【详解】
（1）设AB边的垂直平分线为l，
有题可知53
221
AB k -=
=-，12
l
k ， 又可知AB 中点为3,42⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴l 的方程为13422y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即119
24
y x =-+，
（2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ；
则3
11
1330
2
2b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以(0,4)M ，
由题可知A ，M 两点都在直线AC 上，
所以直线AC 的斜率为541202-=-，所以直线AC 的方程为1
4(0)2
y x -=-， 所以AC 所在直线方程为280x y -+=.
【点睛】
方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.
23．（1）22(3)(2)25x y +++=；（2）存在4n =-或6n =，最大值为25
2
，直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【分析】
（1）设圆的一般式方程，代入A 、B 两点坐标，再圆心在直线上，列方程组得解. （2）设圆心到直线的距离为()0h h >，将三角形CDE △的面积表示为h 的函数，用基本不等式求最值及取最值时h 的取值，进一步可得对应的直线方程. 【详解】
（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=因为点()1,1A 和()2,2B -在圆上，圆心C 在直线l ：10x y -+=上，
所以110442201022D E F D E F D E ⎧
⎪++++=⎪⎪
++-+=⎨⎪⎛⎫⎪---+= ⎪⎪⎝⎭
⎩，解得6D =，4E =，12F =-，
所以圆的方程为2264120x y x y +++-=，即22
(3)(2)25x y +++=． （2）设圆心C 到直线m 的距离为()0h h >，H 为DE 的中点，连接CH . 在CDE △中，
∵DE ==
∴CDE △
的面积为11
22
CDE
S DE CH h h =
⋅=⋅=∴
222525
22
CDE
h h S
+-=≤=
， 当且仅当2225h h =-
，即h =
此时CDE △的面积取得最大值.
∵|1|CH n h =
=-==
， ∴|1|5n -=，∴4n =-或6n =，故存在4n =-或6n =，使得CDE △的面积最大，最
大值为
25
2
，此时直线m 的方程为4y x =-或6y x =+. 【点睛】
此题为直线与圆的综合题，属于能力题.
方法点睛：直线与圆相交的弦、弦心距、圆的半径三者构成的直角三角形是此类问题中的特征三角形，边长满足勾股定理是解决此类问题关键. 24．（1）(4,3)C ；（2）250x y --=． 【分析】
（1）联立直线方程可解得结果；
（2）设出()00,B x y ，利用AB 的中点M 在直线CM 上以及点()00,B x y 在直线BC 上，解方程组可得B 的坐标，利用垂直可得斜率，根据点斜式可得所求直线方程. 【详解】 （1）联立6590250x y x y --=⎧⎨
--=⎩，解得4
3
x y =⎧⎨=⎩，可得(4,3)C ；
（2）设()00,B x y ，则AB 的中点0051,22x y M ++⎛⎫
⎪⎝⎭
， 则000
06590
15502x y y x --=⎧⎪⎨++--=⎪⎩
，解得(1,3)B --， 又23145
AC k -=
=--，所以AC 边上的高所在直线的斜率1
2k =，
所以AC 边上的高所在直线方程为1
3(1)2
y x +=+，即250x y --=. 【点睛】
关键点点睛：求出点B 的坐标是求出AC 边上的高所在直线方程的关键，设()00,B x y ，利用直线BC 的方程和AB 的中点坐标满足CM 的方程可解得点B 的坐标.
25．（1）0y =或4y x =；（2）2220x y x y +++=（挖去点33,22⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭和36,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
）. 【分析】
（1）设直线l 的方程为：y kx =，结合圆的几何关系和勾股定理，分别求出11
,22
OQ OP ，再结合2OQ OP =代值求解即可； （2）联立直线与圆方程分别求出,P Q 坐标，结合中点坐标公式求出M 坐标，消参即可求解M 的轨迹方程 【详解】
解：（1）设直线l 的方程为：y kx =，12,C C 到直线l 的距离为12,d d .
由条件=221243d d -=，
所以22
43⨯-=，整理，得240k k -=，解得0k =或4k =， 所以直线l 的方程为：0y =或4y x =；
（2）设:l y kx =；则由()()22
215
y kx x y =⎧⎪⎨+++=⎪⎩消去y ，得()()22
1240k x k x +++=， 解得122
24
0,1k x x k
+==-
+.其中2k ≠-， 所以()22
2424,11k k k Q k k +⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭
， 由()()22
112
y kx x y =⎧⎪⎨-++=⎪⎩消去y ，得()()22
1220k x k x ++-=， 解得342220,1k
x x k -==+，其中1k ≠，所以()22
2222,11k k k P k k -⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 设(),M x y ，则()22211211k x k k k y k +⎧
=-⎪+⎪
⎨+⎪=-⎪+⎩
①②
，将y k x =代入①式
消去k ，得：2
2
20x y x y +++=，又1k ≠且2k ≠-， 代入①②求得33,22⎛⎫-
- ⎪⎝
⎭和36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故点M 的轨迹方程为：2
2
20x y x y +++=（挖去点33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭和36,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
）.
【点睛】
方法点睛：本题考查由直线与圆的位置关系求直线方程，求动点轨迹方程，常用以下方法：
（1
）直线与圆的位置关系求直线方程或弦长问题常结合几何关系求解，即
l =l 为弦长，r 为圆的半径，d 为弦心距；
（2）求动点轨迹方程大多数题采用直接法，设法表示出所求点坐标，再消参即可；也可采用代换法，将所求点坐标代入已知方程化简求解（适用于所求点与已知方程存在直接联系的情况）. 26．（1）4
3
m =-；（2
）. 【分析】
（1）先利用弦长和半径求出圆心到直线距离，再由点到直线距离公式建立关系即可求解； （2）求出直线定点D ，作CE l ⊥，垂足为E ，可得四边形MPQN 面积为CE PQ ⋅，当
//MN l 且CD l ⊥时面积可得最大. 【详解】
解：（1）圆C 的圆心()3,4C -，半径4r =， 由弦AB
的长为，得点C 到直线l 的距离为
d ===
又
d =
=
，
∴
= 解得：43
m =-
； （2）把直线l 方程()()212340m x m y m ++---= 化为()23240x y m x y +-+--= 由230240x y x y +-=⎧⎨
--=⎩，解得2
1x y =⎧⎨=-⎩
∴直线l 过定点()2,1D -，当m 变化时，l 绕点D 转动， 作CE l ⊥，垂足为E ，
由已知得，四边形MPQN 为梯形（或矩形），PQ 为高，CE 为中位线，
∴()1
884022
MPQN S MP NQ PQ CE PQ CE MN CE CD =
+⋅=⋅≤⋅=≤= 当且仅当//MN l 且CD l ⊥时等号全部成立，
由CD l ⊥得1l CD k k ⋅=-，即
2112
m m +=--，解得1
3m =，
∴当1
3
m =时，四边形MPQN 的面积取得最大值402.
【点睛】
关键点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及四边形面积问题，解题的关键是巧妙表示出四边形面积，转化为点到直线距离的最值问题.。