蒲县实验中学九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第2课时列一元二次方程解决利润问题教案

第2课时列一元二次方程解决利润问题
1．通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决利润问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程．
2．经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型．
3．能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．
重点
列一元二次方程解决利润问题．
难点
寻找实际问题中的等量关系．
一、复习导入
1．列方程解决实际问题的一般步骤是什么？
审：审清题意，已知什么，求什么，已知与未知之间有什么关系；
设：设未知数，语句要完整，有单位(统一)的要注明单位；
列：找出等量关系，列方程；
解：解所列的方程；
验：是否是所列方程的根；是否符合题意；
答：答案也必需是完整的语句，注明单位且要贴近生活．
2．列方程解决实际问题的关键是什么？
3．请同学们回忆并回答与利润相关的知识？
进价：有时也称成本价，是商家进货时的价格；
标价：商家在出售时，标注的价格；
售价：消费者购买时真正花的钱数；
利润：商品出售后，商家所赚的部分；
打折：商家为了促销所采用的一种销售手段，打折就是以标价为基础，按一定比例降价出售．
二、探究新知
课件出示：
(1)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元，销售价为2 900元，那么卖一台冰箱商场能赚多少钱？
(2)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元．调查发现：当销售价为 2 900元时，平均每天能售出8台；那么商场平均每天能赚多少钱？
(3)新华商场销售某种冰箱，每台进价为2 500元．调查发现：当销售价为 2 900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5 000元，每台冰箱的定价应为多少元？(本题在教材的基础上做了改动，降低难度)
分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度．所以，教学时采用列表的形式分析其中的数量关系．
本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量＝5 000元．
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为(29－x)元．
每天的销售量/台每台的销售利润/元总销售利润/元降价前
降价后
填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了．
当然，解题思路不应拘泥于这一种，在利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法．如求定价为多少，直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？
三、举例分析
例某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？请你利用方程解决这一问题．
解：设这种台灯的售价应定为x元．根据题意得
[600－10(x－40)](x－30)＝10 000.
解这个方程得
x1＝50，x2＝80(舍去)．
600－10(x－40)＝600－10×(50－40)＝500(个)．
答：台灯的售价应定为50元，这时应购进台灯500个．
四、练习巩固
1．教材第55页“随堂练习”．
2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？
五、小结
通过这两节课的学习，你能简要说明利用方程解决实际问题的关键和步骤吗？有哪些收获？
解决实际问题的关键：寻找等量关系．
步骤：①整体地、系统地审清问题；
②寻找问题中的“等量关系”；
③正确求解方程并检验根的合理性．
六、课外作业
教材第55页习题2.10第1～4题．
设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译”题目中的有关信息，然后将这些含有的量表示成等量关系，就是实际问题的解题策略．
无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学．课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度．
检测内容：第1章
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共24分)
1．下列函数中，不是反比例函数的是(C)
A ．y ＝5x
B ．y ＝－m 5x (m≠0)
C ．y ＝
x －17 D ．y ＝－5
2x
2．若反比例函数y ＝k
x
(k≠0)的图象过点(2，1)，则这个函数的图象一定过点(D)
A ．(2，－1)
B ．(1，－2)
C ．(－2，1)
D ．(－2，－1)
3．已知反比例函数y ＝k
x
的图象经过点P(－1，2)，则这个函数的图象位于(D)
A ．第二、三象限
B ．第一、三象限
C ．第三、四象限
D ．第二、四象限
4．已知反比例函数y ＝1
x
，下列结论错误的是(B)
A ．图象经过点(1，1)
B ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大
C ．当x ＞1时，0＜y ＜1
D ．图象在第一、三象限
5．如图，一张正方形的纸片剪去两个一样的小长方形，得到一个“E ”图案，设小长方形的长和宽分别为x ，y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y 与x 的函数图象是( A )
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6．(怀化中考)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图，那么正比例函数y ＝kx 和反比例
函数y ＝b x
在同一坐标系中的图象大致是(C )
7．如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2x
的图象交于A (1，2)，B 两点，给
出下列结论：①k 1＜k 2；②当x ＜－1时，y 1＜y 2；③当y 1＞y 2时，x ＞1；④当x ＜0时，y 2随x 的增大而减小．其中正确的有(C )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．(2019·岳麓区三模)如图，点A ，B 在双曲线y ＝3x (x >0)上，点C 在双曲线y ＝1
x
(x >0)上，若AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，且AC ＝BC ，则AB 的长为(B )
A ． 2
B ．2 2
C ．4
D ．3 2 二、填空题(每小题3分，共24分)
9．请写出一个过点(1，1)，且与x 轴无交点的函数解析式：y ＝1
x
．
10．点P (2m －3，1)在反比例函数y ＝1
x
的图象上，则m ＝__2__．
11．汽车油箱中有油50升，已知汽车的油耗是a (升/百千米)，行驶的路程为s (百千米)，那么s 与a 的函数关系式是__s ＝50
a
__．
12．已知函数y ＝(m －2)x 3－m 2
是反比例函数，则m 的值为__－2__．
13．如图，一次函数y 1＝k 1x ＋b (k 1≠0)的图象与反比例函数y 2＝k 2x
(k 2≠0)的图象交于A ，B 两点，观察图象，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是__－1＜x ＜0或x ＞2__．
第13题图
第14题图
第15题图
第16题图
14．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa)是气
体体积V (m 3
)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于150 kPa 时，气球将爆
炸．为了保证安全，气球的体积应不小于__0.64__m 3
.
15．如图，函数y ＝1x 和y ＝－3
x
的图象分别是l 1和l 2.设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂
足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形PAB 的面积为__8__．
16．(2019•福建)如图，菱形ABCD 的顶点A 在函数y ＝3x (x ＞0)的图象上，函数y ＝k
x
(k ＞3，x ＞0)的图象关于直线AC 对称，且经过点B ，D 两点，若AB ＝2，∠BAD ＝30°，则
k ＝6＋23 .
三、解答题(共72分) 17．(8分)已知反比例函数y ＝
k －1
x
(k 为常数，k ≠1). (1)若点A (1，2)在这个函数的图象上，求k 的值；
(2)若在这个函数图象的每一分支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围． 解：(1)根据题意得k －1＝1×2，解得k ＝3；(2)由题意得k －1＞0，解得k ＞1.
18．(8分)小红家在七月初用购电卡买了1 000度电，设这些电够使用的天数为y ，小红家平均每天的用电度数为x .
(1)求y 关于x 的函数表达式；
(2)若她家平均每天用电8度，则这些电可以用多长时间？
解：(1)根据题意可得x ·y ＝1 000，即y ＝1 000x (x ＞0)；(2)当x ＝8时，y ＝1 000
8
＝125，故这些电可以用125天．
19．(8分)如图是反比例函数y ＝5－2m
x
的图象的一支．
(1)根据图象画出反比例函数图象的另一支，并确定常数m 的取值范围；
(2)若点A (m －3，b 1)和点B (m －4，b 2)是该反比例函数图象上的两点，请判断点A ，B 所在象限及b 1与b 2的大小，并说明判断理由．
解：(1)∵反比例函数y ＝
5－2m
x
的图象的一支在第一象限，∴5－2m ＞0，解得m ＜
5
2
.∵反比例函数的图象关于原点对称，据此可画出图象的另一支，图略；(2)点A ，B 在第三象限，b 1＜b 2.理由如下：由(1)知m ＜52 ，∴m －3＜－12 ，m －4＜－3
2 ，∴点A (m －3，b 1)
和点B (m －4，b 2)都在第三象限的分支上．∵在第三象限内，y 随x 的增大而减小，且m －3
＞m －4，∴b 1＜b 2.
20．(9分)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k x
(k ≠0)的图象交于A 、B 点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－2，3).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)如图，若将点C 沿y 轴向上平移4个单位长度至点F ，连接AF 、BF ，求△ABF 的面积．
解：(1)把(－2，3)分别代入y ＝－x ＋b ，与y ＝k x 中，有3＝2＋b ，k
－2 ＝3，解得b
＝1，k ＝－6，∴一次函数的解析式为y ＝－x ＋1，反比例函数的解析式为y ＝－6
x
；
(2)一次函数的解析式为y ＝－x ＋1，当x ＝0时，y ＝1，∴C (0，1)，若将点C 向上平移4个单位长度得到点F ，则CF ＝4.∵一次函数y ＝－x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k x
(k ≠0)的图象交于A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，y ＝－6x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，
y ＝3， ∴B (3，－2)，
A (－2，3)，
∴S △ABF ＝1
2
×4×(2＋3)＝10.
21．(9分)已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2
成正比例，y 2与x 成反比例，且x ＝1时，y ＝3；x ＝－1时，y ＝1.求x ＝－1
2
时，y 的值．
解：设y 1＝k 1x 2
(k 1≠0)，y 2＝k 2x (k 2≠0)，∴y ＝k 1x 2
＋k 2x .由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2＝3，k 1－k 2＝1， 解
得⎩⎪⎨
⎪
⎧k 1＝2，k 2＝1.
∴y ＝2x 2
＋1x ，当x ＝－12 时，y ＝－3
2 .
22．(9分)(2019·襄阳)如图，已知一次函数y 1＝kx ＋b 与反比例函数y 2＝m x
的图象在第一、第三象限分别交于A (3，4)，B (a ，－2)两点，直线AB 与y 轴，x 轴分别交于C ，D
两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)比较大小：AD __＝__BC (填“＞”或“＜”或“＝”)； (3)直接写出y 1＜y 2时，x 的取值范围．
解：(1)把A (3，4)代入反比例函数y 2＝m x
，解得m ＝12，∴反比例函数的解析式为y 2
＝12x ；∵B (a ，－2)点在反比例函数y 2＝m
x
的图象上，∴－2a ＝12，解得a ＝－6，∴B (－
6，－2)，∵一次函数y 1＝kx ＋b 的图象经过A (3，4)，B (－6，－2)两点，∴
⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝4，－6k ＋b ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，b ＝2，
∴一次函数的解析式为y 1＝2
3 x ＋2；
(2)由一次函数的解析式为y 1＝2
3 x ＋2可知C (0，2)，D (－3，0)，∴AD ＝
（3＋3）2
＋42
＝213 ，BC ＝62
＋（－2－2）2
＝213 ，∴AD ＝BC ； (3)由图象可知：y 1＜y 2时x 的取值范围是x ＜－6或0＜x ＜3.
23．(10分)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC 段是双曲线y ＝k x
的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时？ (2)求k 的值；
(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少摄氏度？
解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度为18 ℃的时间为12－2＝10(小时)；(2)∵点
B (12，18)在双曲线y ＝k x 上，∴18＝k 12 ，解得k ＝216；(3)由(2)得y ＝216
x
，∴当x ＝16
时，大棚内的温度为216
16
＝13.5 (℃).
24．(11分)(镇江中考)六·一儿童节，小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道MN (不计宽度)，如图，它与两面互相垂直的围墙OP ，OQ 之间有一块空地MPOQN (MP ⊥OP ，NQ ⊥OQ )，他发现弯道MN 上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A ，B ，C 是弯道MN 上的三点，矩形ADOG ，矩形BEOH ，矩形CFOI 的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图)，图中三块阴影部分的面积分别记为S 1，S 2，S 3，并测得S 2＝6(单位：平方米).OG ＝GH ＝HI .
(1)求S 1和S 3的值；
(2)设T (x ，y )是弯道MN 上的任一点，写出y 关于x 的函数表达式；
(3)公园准备对区域MPOQN 内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，已知MP ＝2米，NQ ＝3米．问一共能种植多少棵花木？
解：(1)∵矩形ADOG 、矩形BEOH 、矩形CFOI 的面积相等，∴弯道为反比例函数图象的一部分．设函数表达式为y ＝k x (k ≠0)，OG ＝GH ＝HI ＝a ，则AG ＝k a ，BH ＝k 2a ，CI ＝k
3a
，
所以S 2＝k 2a ·a －k 3a ·a ＝6，解得k ＝36，所以S 1＝k a ·a －k 2a ·a ＝12 k ＝1
2 ×36＝18，
S 3＝k 3a ·a ＝13 k ＝13 ×36＝12；(2)∵k ＝36，∴弯道函数表达式为y ＝36
x
.∵T (x ，y )是弯
道MN 上的任一点，∴y ＝36x ；(3)∵MP ＝2米，NQ ＝3米，∴GM ＝362 ＝18，36
OQ
＝3，解得
OQ ＝12.∵在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外)，∴x ＝2
时，y ＝18，可以种8棵，x ＝4时，y ＝9，可以种4棵，x ＝6时，y ＝6，可以种2棵，x ＝8时，y ＝4.5，可以种2棵，x ＝10时，y ＝3.6，可以种1棵．故一共能种植17棵花木．
第24章 解直角三角形检测题
（本检测题满分:120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题2分，共24分） 1.计算：
A. B.
23
2+ C.23 D.2
31+
2.在直角三角形ABC 中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =，则AC =( )
A.3sin 40︒
B.3sin 50︒
C.3tan 40︒
D.3tan 50︒
3.（2013·浙江温州中考）如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒==则sin A 的值是（ ）
A.
34 B.34
C.35
D.45
4.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB =4，AD =6，则tan B =( )
A.2
B.2
C.
D.
5.如图，Rt△ABC 中，9,6,AB BC B ==∠=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）
A.53
B.52
C.4
D.5
6.在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足 BC ∶CA ∶AB =5∶12∶13，则cos B =（ ） A.
125 B.5
12 C.
135 D.13
12
7.已知AD BC ∥，AB AD ⊥，点E ,点F 分别在射线AD ，射线BC 上，若点E 与点B 关于
AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则（ ） A.1tan 2ADB +∠= B.25BC CF = C.22AEB DEF ∠+︒=∠ D.4cos 6AGB ∠=
第3题图
第8题图
第5题图
第7题图
8.河堤横断面如图所示，堤高BC =6 m ，迎水坡AB 的坡比为
1∶，则AB 的长为（ ）
A.12 m
B.4 m
C.5 m
D.6 m
9.如图，一个小球由地面沿着坡度1
2∶i =的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )
A.5 m
B.25 m
C.45 m
D.3
10 m 10.如图，在菱形ABCD 中，⊥DE AB ，3
cos 5
A =，2BE =，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．
12 B ．2 C ．52 D ．55
11.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A. 5
B.
C. 7
D.
12.如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( )
A.sin cos A A =
B.sin cos A >A
C.sin tan A >A
D.sin cos A <A
二、填空题（每小题3分，共18分）
13.比较大小：8cos 31︒ 35.（填“＞”“=”或“＜”） 14.如图，在△ABC 中，∠BAC =30°，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，∠ACE =
1
2
∠BAC ,CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ，若BC =2,则EF 的长为 .
15.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，31732.≈）
第9题图
A B C
第12题图
A
A
B
C
第14题图
16.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．
17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若
，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________. 18.在△ABC 中，∠
90°，AB =2BC ，现给出下列结论：
①sin A =
32；②cos B =1
2；③tan A =33
；④tan B =3，
其中正确的结论是 .（只需填上正确结论的序号）
三、解答题（共78分） 19.（8分）计算下列各题：
(1)()
4
2460sin 45cos 22+
- ；（2）2330tan 3)2(0-+--
.
20.(8分)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，sin A =2
5
，求BC 的长和tan B 的值.
第20题图 第21题图
21.（10分）如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB =2（单位：km ）.有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向.
（1）求点P 到海岸线l 的距离；
（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向.求点C 与点B 之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号） 22.（10分）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物
顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m ，请你计算出该建筑物的高度．（取
3≈1.732，结果精确到1 m ）
23.（8分）如图，在梯形ABCD 中，∥AD BC ，AB CD AD ==，⊥BD CD ． （1）求sin ∠DBC 的值；（2）若BC 长度为4cm ，求梯形ABCD 的面积．
24.（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C 处测得树的顶端A 的仰角为37°，BC =20 m ，求树的高度AB .
（参考数据：sin 370.60≈ ，cos 370.80≈ ，tan 370.75≈ ）
25.（10分）如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟30m 的速度沿着仰角为60°的方向上升，20 min 后升到B 处，这时热气球上的人发现在A 的正西方向俯角为45°的C 处有一着火点，求热气球的升空点A 与着火点C 的距离（结果保留根号）. 26.（14分）（2014·福州中考）如图（1），点O 在线段AB 上，AO =2，OB =1，OC 为射线，且∠BOC =60︒，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒.
（1）当t =1
2
秒时，则OP = ，S △ABP = ；
（2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；
（3）如图（2），当AP =AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP =∠B ，求证：AQ ·BP =3.
第26题图
B
C A
东 西 45°
60°
第25题图 第24题图
第24章 解直角三角形检测题参考答案
1.C 解析：
2.D 解析：在Rt ABC △中，∵ 90C ∠=︒，40A ∠=︒，∴ 50B =︒∠，
∴ tan tan 50AC
B B
C =︒=，∴ tan 503tan 50AC BC =︒=︒.
3.C 解析：3
sin 5
BC A AB == .
4.B 解析：如图，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，则四边形ABED 是平行四边形， ∴ BE =AD =6.
∵ AB ⊥AC ，∴ DE ⊥AC .∵ CA 是∠BCD 的平分线，∴ CD =CE . ∵ AD ∥BC ，∴ ∠ACB =∠DAC =∠DCA .∴ CD =AD =6. ∴ BC =BE +CE =BE +CD =6+6=12. ∴ AC =
=
=8
.∴ tan B ==
=2
.
5.C 解析：设BN 的长为x ，则AN =9-x ，由题意得DN =AN =9-x .因为D 为BC 的中点，所
以1
32
BD BC ==.在Rt△BND 中，∠B =90°，由勾股定理得222BN BD ND +=，即
2223(9)x x +=-，解得4x =. 6.C 解析：设
，则
，
，所以
，
所以△
是直角三角形，且∠
．
所以在△ABC 中，
13
5
135==x x AB BC ． 7.A 解析：设AB x =.由题意知AE BC x ==，2BE DE x ==，∴ (21)AD x =. 在Rt ABD △中，22422BD AB AD x =+=+，又2BF BE x ==， ∴ (21)CF BF BC x =-=.
根据条件还可以得出45ABE AEB EBF ===︒∠∠∠，EBD EDB ∠=∠=22.5FBD ∠=︒，67.5AGB ABG ∠=∠=︒.
A.在Rt ABD △中，tan 21(21)AB ADB AD x =
==+∠， ∴ 1tan 2ADB +∠A 正确.
B.2255(21)BC x CF x =≠=，故选项B 错误.
C.226767.5AEB DEF ∠+︒=︒≠∠=︒，故选项C 错误.
D.∵ cos cos 422
AB AGB ABG BD ∠=∠==+，∴ 4cos 6AGB ∠D 错误. 第4题答图
8.A 解析：先由坡比的定义，得BC ∶AC =1∶.由BC =6 m ，可得AC =6 m. 在Rt △ABC
中，由勾股定理，得AB =
=12(m).
9.B 解析：设小球距离地面的高度为
则小球水平移动的距离为
所以解得
10.B 解析：设
又因为在菱形中，
所以所以
所以
由勾股定理知
所以
2
11.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为
则
所以斜边长
12.B 解析：在锐角三角函数中仅当∠
45°时，
，所以选项错误；
因为45°＜∠A ＜90°，所以∠B ＜45°，即∠A ＞∠B ，所以BC ＞AC ，所以
AB
BC
＞AB
AC
，即sin cos A >A ，所以选项正确，选项错误； tan A = AC
BC
＞1，＜1，所以选项错误.
13.＞ 解析：因为8cos 3135 5.92︒≈ ，所以∠8cos 3135︒> 14.31－ 解析：过F 点作FG ∥BC 交AB 于点G . ∵ 在△ABC 中，AB =AC ,AD 是BC 边上的中线，
∴ BD =CD =12BC =1,∠BAD =∠CAD =1
2∠BAC =15°,AD ⊥BC .
∵ ∠ACE =1
2
∠BAC ,
∴ ∠CAD =∠ACE =15°, ∴ AF =CF .
∵ ∠ACD =(180°－30°)÷2=75°, ∴ ∠DCE =75°－15°=60°.
在Rt △CDF 中, CF =cos 60DC
︒
=2,DF =CD 3又AF =CF ,∴ AF =2. ∵ FG ∥BC , ∴ GF ∶BD =AF ∶AD ,即GF ∶1=2∶3解得GF =4－3∴ EF ∶EC =GF ∶BC ,即EF ∶(EF +2)=(4－3∶2,
第14题答图
解得EF =3－ 1.
，所以
所以
所以()3
502532517324332
=⨯
=≈⨯=DC ..m . 16.15°或75° 解析：如图，.
在图①中，，所以∠∠； 在图②中，
，所以∠
∠
.
17.76 解析：如图，因为，所以CD =12，
由勾股定理得
所以这个风车的外围周长为
18.②③④ 解析：因为∠C =90°，AB =2BC ，所以∠A =30°，∠B =60°，所以②③④正确. 19.解：（1)24232622cos 45sin 60224 -+
=⎭
3666
2222.+==⎭
第16题答图
B C
D
②
A
B
C
D ①
A
B C
D
第17题答图
（2）()0
23tan 30321323323 --+-=-+-=-. 20.分析：由sin A ==求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，利用tan B =求出
tan B 的值.
解：∵ sin A ==，AB =10，∴ BC =4. 又∵ AC =
=2
，∴ tan B ==
.
21.分析:（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设PD = km ，根据AD +BD =2列方程求解. （2）过点B 作BF ⊥CA 于点F ，在Rt △ABF 和Rt △BFC 中解直角三角形求解. 解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，
设PD = km ，由题意可知∠PBD =45°，∠PAD =30°， ∴ 在Rt △BDP 中，BD =PD = km,在Rt △PDA 中，AD =PD = km.
∵ AB =2 km ，∴
=2.∴ =
=
1.
∴ 点P 到海岸线l 的距离为（）km. （2）如图，过点B 作BF ⊥CA 于点F .
在Rt △ABF 中，BF =AB ·sin 30°=2×=1（km ）. 在△ABC 中，∠C =180°∠BAC ∠ABC =45°.
在Rt △BFC 中，BC =BF =×1=（km ）. ∴ 点C 与点B 之间的距离为 km.
点拨：此题是解直角三角形在现实生活中的应用，通过构造直角三角形求解.当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接求解时，常采用作垂线、引入未知数（一般为待定的数）构造方程求解. 22.解：设
，则由题意可知
，
m ．
在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE
，即tan 30°＝100
+x x ， ∴
3
3
100=
+x x ，即3x 3(x ＋100)，解得x 50＋503.
经检验50＋503是原方程的解．
∴
故该建筑物的高度约为
第21题答图
23.解：(1)∵，∴∠∠.
∵∥，∴∠∠∠.
在梯形中，∵，∴∠∠∠∠
∵，∴3∠，
∴∠30° ，∴
（2）如图，过点作于点.
在Rt△中，•∠，
•∠，∴
在Rt△中，，
∴梯形ABCD的面积为
24.分析：利用解直角三角形求线段长，首先根据锐角三角函数的定义选取恰当的三角函数
关系式，然后把已知的数据代入计算.本题根据锐角三角函数的定义得tan 37°＝
AB BC ，把tan370.75
≈，BC=20 m代入tan 37°＝
AB
BC
中求出树的高度AB.
解:因为tan 37°＝AB
BC
≈0.75，BC=20 m，所以AB≈0.75×20＝15（m）.
25.解：过点作于点..
因为∠，3003 m，所以300(3－1)即热气球的升空点与着火点的距离为300(3－1)
26.（1）解：1，33
4
；
（2）解：①∵∠A<∠BOC=60︒，∴∠A不可能是直角.
②当∠ABP=90︒时，如图所示（第26题答图（1）），
∵∠BOC=60︒，∴∠OPB=30︒.
∴OP=2OB，即2t=2.∴t=1.
③当∠APB =90︒时，如图所示（第26题答图（2）），作PD ⊥AB ，垂足为D ，则∠ADP =∠PDB =90︒.
在Rt △POD 中，∵ ∠POD=60︒，∴ ∠OPD =30︒. ∵ OP =2t ，
∴ OD =t ，PD ，AD =2+t ，BD =1-t （△BOP 是锐角三角形）.
26方法一：BP 2
=BD 2
+PD 2
=（1-t ）2
+3t 2，AP 2=AD 2+PD 2=(2+t )2+3t 2
.
∵ BP 2+AP 2=AB 2，∴ (1-t )2+3t 2+(2+t )2+3t 2=9，即4t 2
+t -2=0.
解得t 1，t 2（舍去）.
方法二：∵ ∠APD +∠BPD =90︒，∠B +∠BPD =90︒， ∴ ∠APD =∠B .∴ △APD ∽△PBD .
∴ .AD PD PD BD
=∴ PD 2
=AD ·BD .
于是)2=(2+t )(1-t )，即4t 2
+t -2=0.
解得t 1，t 2（舍去）.
综上，当△ABP 为直角三角形时，t =1.
（3）证法一：∵ AP =AB ，∴ ∠APB =∠B .
如图所示（第26题答图（3）），作OE ∥AP ，交BP 于点E ， ∴ ∠OEB =∠APB =∠B .
∵ AQ ∥BP ，∴ ∠QAB +∠B =180︒.
又∵ ∠3+∠OEB =180︒，∴ ∠3=∠QAB .
又∵ ∠AOC =∠2+∠B =∠1+∠QOP ，∠B =∠QOP ， ∴ ∠1=∠2.
在△QAO 和△OEP 中，∵ ∠3=∠QAO ，∠1=∠2， ∴ △QAO ∽△OEP .
∴ AQ AO EO EP
=
，即AQ ·EP =EO ·AO . ∵ OE ∥AP ，∴ △OBE ∽△ABP .
∴ 13OE BE BO AP BP BA ===.∴ OE =13AP =1，BP =32
EP .
∴ AQ ·BP =AQ ·32EP =32AQ ·EP =32AO ·EO =3
2
⨯2⨯1=3.
第26题答图（3）
证法二：如图所示（第26题答图（4）），连接PQ，设AP与OQ相交于点F. ∵AQ∥BP，∴∠QAP=∠APB.
∵AP=AB，∴∠APB=∠B.∴∠QAP=∠B.
又∵∠QOP=∠B，∴∠QAP=∠QOP.
在△QFA和△PFO中，∵∠QAF=∠FOP，∠QFA=∠PFO，
∴△QFA∽△PFO.∴FQ FA
FP FO
=，即
FQ FP
FA FO
=.
又∵∠PFQ=∠OFA，∴△PFQ∽△OFA.∴∠3=∠1. ∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，∠B=∠QOP，
∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.
∴△APQ∽△BPO.∴AQ AP
BO BP
=.∴AQ·BP=AP·BO=3⨯1=3.
第26题答图（4）。