八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习测试综合卷学能测试

八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习测试综合卷学能测试
一、选择题
1．如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB ＝CD ．结论：①EG ⊥FH ；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG ；④EG 1
2
=BC ；⑤四边形EFGH 的周长等于2AB ．其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点(点P 不与点B 、D 重合)，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP ＝EF ；②AP ⊥EF ；③仅有当∠DAP ＝45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形；④∠PFE ＝∠BAP ：⑤2
2
PD ＝EC ．其中有正确有( )个．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．将个边长都为1cm 的正方形按如图所示的方法摆放，点
分别是正方形
对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，正方形ABCD 中，4AB =，点E 在BC 边上，点F 在CD 边上，连接AE 、
EF 、AF ，下列说法：①若E 为BC 中点，1CF =，则90AEF ∠=︒；②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，则1CF =；③若90AEF ∠=︒，1CF =，则点E 为BC 中点，正确的
有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，点M 为BC 上异于B 、C 的一定点，点N 为AB 上的一动点，E 、F 分别为DM 、MN 的中点，当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积为 ( )
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．6
6．如图，四边形ABCD 是正方形，直线L 1、L 2、L 3，若L 1与L 2的距离为5，L 2与L 3的距离7，则正方形ABCD 的面积等于（ ）
A ．70
B ．74
C ．144
D ．148
7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上一点，且BC ＝EC ，CF ⊥BE 交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论：①BE 平分∠CBF ；②CF 平分∠DCB ；③BC ＝FB ；④PF ＝PC ．其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图，在平面直角坐标系中，A 点坐标为(8,0)，点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度沿y 轴正半轴方向运动，同时，点Q 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度沿x 轴负半轴方向运动，设点P 、Q 运动的时间为(08)t t <<秒.以PQ 为斜边，向第一象限内作等腰Rt PBQ ∆，连接OB .下列四个说法：
①8OP OQ +=；②B 点坐标为(4,4)；③四边形PBQO 的面积为16；④PQ OB >.其中
正确的说法个数有（）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，ABCD中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D
作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则AB
AD
的值为
（）
A．1
2
B．
3
C．
2
D．
3
2
10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③AP⊥EF；
④
2
2
PD=EF．其中正确结论的番号是（）
A．①③④B．①②③C．①③D．①②④
二、填空题
11．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，对角线长为1cm，过点O任作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是_____．
12．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，
//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，
11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则
2020C =______．
13．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒
∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到
,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接
DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________
14．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．
15．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.
16．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当
CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．
17．如图，在ABC 中，D 是AB 上任意一点，E 是BC 的中点，过C 作//CF AB ,交DE 的延长线于F ，连BF ,CD ，若30FDB ∠=︒，45ABC ∠=︒，22BC =，则
DF =_________．
18．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，
M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，
19．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，
20．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，
AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
三、解答题
21．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．
（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．
22．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，
8BC AD ==．
()1P 为边BC 上一点，将
ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处)
①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写
作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；
②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由；
()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将
ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点
'D 处，则DQ =______；
23．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ． （1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH
BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，
AB 6=
，求AH 的长度；
（2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN
CF ，分别交AB ，
CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：
①CEN DEG ∆∆≌； ②ENG ∆是等边三角形．
24．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2cm ，∠ADC ＝120°．动点E 、F 分别从点B 、D 同时出发，都以0.5cm/s 的速度向点A 、C 运动，连接AF 、CE ，分别取AF 、CE 的中点G 、H ．设运动的时间为ts （0＜t ＜4）． （1）求证：AF ∥CE ；
（2）当t 为何值时，△ADF 的面积为
3cm 2
； （3）连接GE 、FH ．当t 为何值时，四边形EHFG 为菱形．
25．综合与探究
（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且
DF BE =．CE 和CF 之间有怎样的关系．请说明理由．
（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果
45GCE ∠=︒，请你利用（1）的结论证明：GE BE CD =+．
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3在直角梯形ABCD 中，//()AD BC BC AD >，90B ∠=︒，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且
45DCE ∠=︒，4BE =，求DE 的长．
26．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
；
（1）在如图（1）的AB边上求作一点N，连接CN，使CN AM
（2）在如图（2）的AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ AM.
27．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．
（1）求点B的坐标；
（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；
（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
28．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．
（1）求证：BP ＝CQ ； （2）若BP ＝
1
3
PC ，求AN 的长； （3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．
29．已知：如下图，ABC 和BCD 中，90BAC BDC ∠=∠=，E 为BC 的中点，连接DE AE 、.若DC
AE ，在DC 上取一点F ，使得DF DE =，连接EF 交AD 于O .
（1）求证：EF DA ⊥.
（2）若4,23BC AD ==，求EF 的长.
30．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE⊥AE． （1）如图1，①∠BEC=_________°；
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；
（2）如图2，FH∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH∥BE，NB∥HE，连接NE ．若AB=4，AH=2，求NE 的长．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可得答案．
【详解】
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=1
2
CD，FG=
1
2
AB，GH=
1
2
CD，HE=
1
2
AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，故②错误，
∴EG⊥FH，HF平分∠EHG；故①③正确，
∴四边形EFGH的周长= EF=FG=GH=HE =2AB，故⑤正确，
没有条件可证明EG=1
2
BC，故④错误，
∴正确的结论有：①③⑤，共3个，
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；④∠PFE=∠BAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性
质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得EC，得出⑤正确，即可得出结论．
【详解】
过P作PG⊥AB于点G，如图所示：
∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，
∴GP=EP ，
在△GPB 中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP ，
同理：PE=BE ，
∵AB=BC=GF ，
∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，
∴AG=PF ，
在△AGP 和△FPE 中，
90AG PF AGP FPE PG PE ⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
︒＝＝＝＝，
∴△AGP ≌△FPE （SAS ），
∴AP=EF ，①正确，∠PFE=∠GAP ，
∴∠PFE=∠BAP ，④正确；
延长AP 到EF 上于一点H ，
∴∠PAG=∠PFH ，
∵∠APG=∠FPH ，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
∴AP ⊥EF ，②正确，
∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45°，
∴当∠PAD=45°或67.5°时，△APD 是等腰三角形，
除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③正确．
∵GF ∥BC ，
∴∠DPF=∠DBC ，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC ，
∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，
∴2EC ， 即22
PD=EC ，⑤正确．
∴其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个．
故选D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】 根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.
【详解】 由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ， 即一个阴影部分的面积为
如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4
， ∴n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）
， ∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=
． 故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 4．D
解析：D
【解析】
【分析】
正方形的边长相等，因为AB=4，所以其他三边也为4，正方形的四个角都是直角，①若E 为BC 中点，1CF =，则能求出AE 2+EF 2=AF 2，用勾股定理可得90AEF ∠=︒．②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，用勾股定理列方程可求得CF ，
③若90AEF ∠=︒，1CF =，用勾股定理列方程可求得BE ，
【详解】
解：①若E 为BC 中点，1CF =，
∵AB=4，
∴BE=CE=2，DF=3，
∴AE 2=42+22=20，EF 2=22+12=5，AF 2=42+32=25，
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
∴90AEF ∠=︒；
故①正确，
②若E 为BC 中点，90AEF ∠=︒，
设CF x =；则DF=4-x.
∴AE 2=42+22=20，EF 2=4+x 2，AF 2=42+（4-x ）2，
∵90AEF ∠=︒∴
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
∴20+4+ x 2=42+（4-x ）2
解得x=1；即CF=1.
③若90AEF ∠=︒，1CF =，则DF=3,设BE=x ，
∴AE 2+ EF 2=AF 2，
即42+x 2+1+（4-x ）2=42+32
解得x=2，即BE=2，E 为BC 的中点.
故①②③正确，答案选D.
【点睛】
本题考查了正方形的性质及勾股定理及勾股定理逆定理的应用，解题关键是应用勾股定理列方程并求解.
5．A
解析：A
【分析】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，由中位线的性质，可得当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ，求出当点N 与点A 重合时，FP 的值，以及FP 上的高，进而即可求解．
【详解】
取MB 的中点P ，连接FP ，EP ，DN ，
∵FP 是∆MNB 的中位线，EF 是∆DMN 的中位线，
∴FP ∥BN ，FP=12BN ，EF ∥DN ，EF=12
DN ， ∴当N 从A 到B 的运动过程中，点F 在FP 所在的直线上运动，即：线段EF 扫过图形为∆EFP ．
∴当点N 与点A 重合时，FP=
12BN =12BA =4， 过点D 作DQ ⊥AB 于点Q ，
∵AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，
∴AQ=8-5=3，
∴4==，
∴当点N 与点Q 重合时，EF=
11222DN DQ ==，EF ∥DQ ，即：EF ⊥AB ，即：EF ⊥FP ， ∴∆EFP 中，FP 上的高=2，
∴当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积
=12
×4×2=4． 故选A ．
【点睛】
本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
先作出1l 与2l ，2l 与的3l 距离AE 、CF ，证明△ABE ≌△BCF ，得到BF=AE ，再利用勾股定理即可得到答案.
【详解】
过点A 作AE ⊥2l ,过点C 作CF⊥2l ,
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC,∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE 和△BCF 中，
BAE CBF AEB BFC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABE ≌△BCF ，
∴BF=AE=5，
在Rt △BCF 中，CF=7，BF=5，
∴222225774BC BF CF =+=+=,
∴正方形ABCD 的面积=274BC =,
故选：B.
【点睛】
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，平行线之间的距离处处相等，题中证明两个三角形全等是解题的关键，由此将两个距离5和7变化到一个直角三角形中，由此利用勾股定理解决问题.
7．D
解析：D
【分析】
分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】
证明：如图：
∵BC＝EC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CEB＝∠EBF，
∴∠CBE＝∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC＝EC，CF⊥BE，
∴∠ECF＝∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DC∥AB，
∴∠DCF＝∠CFB，
∵∠ECF＝∠BCF，
∴∠CFB＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∴③正确；
∵FB ＝BC ，CF ⊥BE ，
∴B 点一定在FC 的垂直平分线上，即PB 垂直平分FC ，
∴PF ＝PC ，故④正确．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据题意，有OP=AQ ，即可得到8OP OQ OA +==，①正确；当4t =时，OP=OQ=4，此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，即点B 坐标为（4，4），②正确；四边形PBQO 的面积为：4416⨯=，在P 、Q 运动过程面积没有发生变化，故③正确；由正方形PBQO 的性质，则此时对角线PQ=OB ，故④错误；即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，点P 与点Q 同时以1个单位长度/秒的速度运动，
∴OP=AQ ，
∵OQ+AQ=OA=8，
∴OQ+OP=8，①正确；
由题意，点P 与点Q 运动时，点B 的位置没有变化，四边形PBQO 的面积没有变化， 当4t =时，如图：
则AQ=OP=4，
∴OQ=844-=，
∴点B 的坐标为：（4，4），②正确；
此时四边形PBQO 是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4，
∴四边形PBQO 的面积为：4416⨯=，③正确；
∵四边形PBQO 是正方形，
∴PQ=OB ，
即当4t =时，PQ=OB ，故④错误；
∴正确的有：①②③，共三个；
故选择：B.
本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键是根据点P 、Q 的运动情况，进行讨论分析来解题.
9．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS 证明BEG DEG ≅，进而得到
ADG 90∠=︒
，设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，，即可求解．
【详解】
解：在ABCD 中
∵DF ∥EG
∴∠DEG=∠DFB
∵△ABE 沿BE 对折得到△BEG
∴∠DEG =2∠A
∵∠DFB =∠C +∠CDF
∠A=∠C
∴∠CDF=∠A
∵△DFC 沿DF 对折
∴∠BGE=∠DGE
BG=DG
EG=EG
∴
BEG DEG ≅
∵BE⊥AB
∴ADG 90∠=︒
设AB=x ，则AG=2x ，CD=x ，=
∴
3AB AD == 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明BEG DEG ≅是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
过P 作PG ⊥AB 于点G ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP ≌△FPE 后即可证明①AP=EF ；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt △DPF 中，
DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，求得2
DP EC =，即可得到答案．
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF；故①正确；
延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
即AP⊥EF；故③正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故②错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴
2
2
DP EC
，故④错误．
∴正确的选项是①③；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，
勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题
11．218
cm 【分析】
根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的
14
，根据正方形的面积就可以求出结论． 【详解】
解：如图：
∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，
∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，
∴△AEO ≌CFO ，
∴S △AEO ＝S △CFO ，
∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，
∵对角线长为1cm ，
∴S 正方形ABCD ＝
1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18
cm 2， ∴阴影部分的面积为
18cm 2． 故答案为：
18
cm 2． 【点睛】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．
12．20181
2
【分析】
根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．
【详解】
∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC
∴DE 、EF 是△ABC 的中位线
∵等边△ABC 的边长为1
∴AD=DE=EF=AF =
12 则1C =1422
⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12
发现规律：规律为依次缩小为原来的
12 ∴2020C =20181
2 故答案为：
201812．
【点睛】 本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．
13．①②④⑤
【分析】
根据∠B=90°，AB=BE ，△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，可得△ABE ≅△AHD ，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，可证AD//BC ，根据DC ⊥BC ，可得∠HDE=∠CDE ，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，即DE 平分∠HDC ，所以①正确；
利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD 是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE 平分∠HDC ，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH ，利用 AE=AD 易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH ，OD=OE ，所以②正确；
利用AAS 证明ΔDHE ≅ΔDCE ，则有DH=DC ，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，则△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，即有：CD≠HF ，所以③错误；
根据△ABE 是等腰直角三角形，JH ⊥JE ，∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，得到2JH=CF ，2JC=BC ，JC=JE+CE ，易证BC−CF=2CE ，所以④正确；
过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，得IJ ⊥AD ，I 是AD 的中点，J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，所以⑤正确；
【详解】
∵Rt △ABE 中，∠B=90°，AB=BE ，
∴∠BAE=∠BEA=45°，
又∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转45°，得到△AHD ，
∴△ABE ≅△AHD ，并且△ABE 和△AHD 都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，
∴∠ADE=∠AED ，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，
∴AD//BC ，
∴∠ADE=∠DEC ，
∴∠AED=∠DEC ，
又∵DC ⊥BC ，
∴∠DCE=∠DHE=90°
∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE ，
即：DE 平分∠HDC ，所以①正确；
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠HDC=45°，
由①有DE 平分∠HDC ，
∴∠HDO=12∠HDC=12
×45°=22.5°， ∵∠BAE=45°，AB=AH ， ∴∠OHE=∠AHB=
12 (180°−∠BAE)= 12×(180°−45°)=67.5°， ∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，
∴OD=OH ，
在△AED 中，AE=AD ，
∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12
×(180°−45°)=67.5°， ∴∠OHE=∠HEO=67.5°，
∴OE=OH ，
∴OD=OE ，所以②正确；
在△DHE 和△DCE 中，
DHE DCE HDE CDE DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔDHE ≅ΔDCE(AAS)，
∴DH=DC ，∠HDE=∠CDE=
12
×45°=22.5°， ∵OD=OH ，
∴∠DHF=22.5°，
∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，
∴△DHF 不是直角三角形，并DH≠HF ，
即有：CD≠HF ，所以③不正确；
如图，过H 作HJ ⊥BC 于J ，并延长HJ 交AD 于点I ，
∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，
∴JH=JE，
又∵J是BC的中点，H是BF的中点，
∴2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，
∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC，
即有：BC−CF=2CE，所以④正确；
∵AD//BC，
∴IJ⊥AD，
又∵△AHD是等腰直角三角形，
∴I是AD的中点，
∵四边形ABCD是矩形，HJ⊥BC，
∴J是BC的中点，
∴H是BF的中点，所以⑤正确；
综上所述，正确的有①②④⑤，
故答案为：①②④⑤．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．14．72；
【分析】
连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．
【详解】
解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，
∵O 是正方形DBCE 的对称中心，
∴BO=CO ，∠BOC=90°，
∵FO ⊥AO ，
∴∠AOF=90°，
∴∠BOC=∠AOF ，
即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，
∴∠AOC=∠FBO ，
∵∠BAC=90°，
∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，
∵∠FBO+∠ABO=180°，
∴∠ACO=∠FBO ，
在△AOC 和△FOB 中，
AOC FOB AO FO
ACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），
∴AO=FO ，FB=FC=6，
∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，
∴AO=AF×cos45°
=
故答案为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算． 15．6
【分析】
过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到 AB ∥CD ，推出PE=12
PD ，由此得到当PB+PE 最小时2PB+ PD 有最小值，此时P 、B 、E 三点在同一条直线上，利用∠DAB ＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE 的最小值=
12AB=3，得到2PB+ PD 的最小值等于6.
【详解】
过点P 作PE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠EDC=∠DAB ＝30°，
∴PE=12
PD ，
∵2PB+ PD=2（PB+1
2
PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=1
2
AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
16．16或10
【分析】
等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=16，AD=BC=18．
分两种情况讨论：
（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形
（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°
又GH∥AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，
∴四边形AGHD是矩形，
∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，
又B'D=B'C，
∴DH＝HC＝18
CD=，AG=DH=8，
3
∵AE=3，
∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，
EG=AG-AE=8-3=5，
在Rt△EGB'中，由勾股定理得：
GB′22
13512，
∴B'H=GH×GB'=18-12=6，
在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D22
+=
6810
综上，DB'的长为16或10．
故答案为： 16或10
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．17．4
【分析】
证明CF∥DB，CF=DB，可得四边形CDBF是平行四边形，作EM⊥DB于点M，解直角三角形即可．
【详解】
解：∵CF∥AB，
∴∠ECF=∠EBD．
∵E是BC中点，
∴CE=BE．
∵∠CEF=∠BED，
∴△CEF≌△BED（ASA）．
∴CF=BD ．
∴四边形CDBF 是平行四边形．
作EM ⊥DB 于点M ，
∵四边形CDBF 是平行四边形，22BC =
∴BE=122
BC =，DF=2DE ， 在Rt △EMB 中，EM 2+BM 2=BE 2且EM=BM
∴EM=1，
在Rt △EMD 中，
∵∠EDM=30°，
∴DE=2EM=2，
∴DF=2DE=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题， 18．23
【分析】
根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．
【详解】
解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =
∴在Rt ABD △中，114222
DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222
EM AM AB ==
=⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠
∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠
()2MAE MAD =∠-∠
2DAC =∠
60=︒
∵=DM EM
∴DME 是等边三角形，且边长为2 ∴12332
EDM S =⨯⨯= 故答案是：2；3
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．
19．6.5或8或18
【分析】
根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点
∴13BQ =
∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，
则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形 ∴ 6.5AP BM ==
②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，
过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=
∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB ==
∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=
同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822
AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置
∴8AP =或18
∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18． 故答案是：6.5或8或18
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．
20
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．
【详解】
由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，
∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，
∵四边形EFCB 为矩形，
∴FC=BE=1，
∵AB ∥FC ，
∴∠GFC=∠DAF=45°，
∴GC=FC=1，
∴FG ===
．
【点睛】
本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．
三、解答题
21．（1）AG 2=GE 2+GF 2，理由见解析；（2【分析】
（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．只要证明GA=GC ，四边形EGFC 是矩形，推出GE=CF ，在Rt △GFC 中，利用勾股定理即可证明；
（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．易证AM=BM=2x ，
，在Rt △ABN 中，根据AB 2=AN 2+BN 2，可得1=x 2+（x ）2，解得
x=624-，推出BN=624
+，再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题. 【详解】
解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．
理由：连接CG ．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴A 、C 关于对角线BD 对称，
∵点G 在BD 上，
∴GA=GC ，
∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC 是矩形，
∴CF=GE ，
在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，
∴AG 2=GF 2+GE 2．
（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x ，MN=3x ，
在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，
∴1=x 2+（2x+3x ）2，
解得x=
624-， ∴BN=62+， ∴BG=BN÷cos30°=
326+．
【点睛】
本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．
22．（1）①6；②结论：//P EC A ；（2）为4和16．
【分析】
()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求.理由勾股定理可得DE ．
②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE ⊥，EC BE ⊥即可解决问题． ()2分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．
在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =， 22221086DE AE AD ∴=-=-=，
故答案为6．
②如图2中，结论：//P EC A ．
理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，
PA ∴垂直平分线段BE ，
即PA BE ⊥，
PB PC PE ==，
90BEC ∠∴=，
EC BE ∴⊥，
//EC PA ∴．
()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．
在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=， 22BD'AB AD'6∴=-=， 在Rt BQC 中，
222CQ BC BQ +=， 222(10x)8(x 6)∴-+=+，
x 4∴=，
DQ 4∴=．
②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，
DQ //AB ，
DQA QAB ∠∠∴=，
DQA AQB ∠∠=，
QAB AQB ∠∠∴=，
AB BQ 10∴==，
在Rt BCQ 中，CQ BQ 6==，
DQ DC CQ 16∴=+=，
综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16．
故答案为4和16．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（1
）AH 2）①证明见解析；②证明见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠DAE ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠DAH ＝∠EAH ，求出∠HAB ＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；
（2）①根据线段垂直平分线的性质得到CB ＝CE ，根据平行四边形的性质得到AD ＝BC ，得到DE ＝CE ，利用SAS 定理证明结论；
②根据全等三角形的性质得到EN ＝EG ，根据等边三角形的判定定理证明即可．
【详解】
（l ）∵ADE ∆是等边三角形，∴60DAE ∠=︒.
∵AH BD ⊥，∴1302
DAH HAE DAE ︒∠=∠=∠=. ∵75DAB ∠=︒，∴753045BAH BAD DAH ︒︒︒∠=∠-∠=-=.
∴AH BH === （2）①∵点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，
∴线段CF 是线段BE 的垂直平分线.
∴CE CB =，ECF BCF ∠=∠.
∵ADE ∆是等边三角形，∴DE AD =.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC =，∴DE CE =.∴EDC ECD ∠=∠.
在DEG ∆和CEN ∆中，DG CN GDE NCE DE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()CEN DEG SAS ∆∆≌.
②由①知：CEN DEG ∆∆≌，∴EN EG =.
∵AD BC ∥，∴180ADC BCD ︒∠+∠=.
∵60ADE ∠=︒，∴120EDC BCD ︒∠+∠=.
∵ECF BCF ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，∴60DCF ∠=︒.
∵CF MN ，∴60DNE DCF ∠=∠=︒.
∴ENG ∆是等边三角形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）t ＝2；（3）t ＝1．
【分析】
（1）由菱形的性质可得AB ＝CD ，AB ∥CD ，可求CF ＝AE ，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AD ＝2cm ，∠ADN ＝60°，由直角三角形的性质可求AN
＝。