上海东门中学选修一第一单元《空间向量与立体几何》检测(含答案解析)

一、选择题
1．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =--，
(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①||6AD =；②AP AD ⊥；③AP 是平
面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（ ） A ．②④
B ．②③
C ．①③
D ．①②
2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，且1,2AB BC ==，
60ABC ∠=,AP ⊥平面ABCD ，AE PC ⊥于E ，下列四个结论：①AB AC ⊥；
②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ;④BE PC ⊥ .其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，四边形ABEF 是矩形，且AF ＝
1
2
AD ＝a ，G 是EF 的中点，则GB 与平面AGC 所成角的正弦值为( )
A ．
66
B 3
C 6
D ．
23
4．正方体1111ABCD A B C D -中,动点M 在线段1A C 上,E ，F 分别为1DD ，AD 的中点.若异面直线EF 与BM 所成的角为θ，则θ的取值范围为（ ） A ．[
,]63
ππ
B ．[
,]43
ππ
C ．[
,]62
ππ
D ．[
,]42
ππ
5．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ，则线段1A P 长度的最小值为（ ）
A ．2
B ．
32
2
C ．3
D ．5
6．在三棱锥P ABC -中，PA ，AB ，AC 两两垂直，D 为棱PC 上一动点，
2PA AC ==，3AB =.当BD 与平面PAC 所成角最大时，AD 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）
A ．
1111
B ．
211
11
C ．
311
D ．
411
11
7．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点
Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）
A ．131,,243⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．133,,224⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．448,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．447,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
8．已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数
λ等于（ ）
A ．9
B ．
647
C ．
657
D ．
667
9．如图所示，直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为3，底面边长11111A C B C ==，且
11190A C B ∠=，D 点在棱1AA 上且12AD DA =，P 点在棱1C C 上，则1PD PB ⋅的最小
值为（ ）
A ．
52
B ．14
-
C ．
14
D ．52
-
10．正四面体ABCD 的棱长为2，动点P 在以BC 为直径的球面上，则AP AD ⋅的最大值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．4311．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为
60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为
6
3
：④二面角A BC D --的平面角正切值是2：其中正确结论的个数为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，H 分别在棱1BB ，BC ，BA 上，且满足134BM BB =
，12BN BC =，1
2
BH BA =，O 是平面1B HN ，平面ACM 与平面11B BDD 的一个公共点，设BO xBH yBN zBM =++，则3x y z ++=（ ） A ．
105
B ．12
5
C ．
145
D ．
165
13．如图四边形ABCD 中，2AB BD DA ===，2BC CD ==，现将ABD △沿BD
折起，当二面角A BD C --的大小为
56
π
时，直线AB 与CD 所成角的余弦值是（ ）
A ．
52
8
B ．
32
8 C ．
32
D ．
2 二、填空题
14．已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.
15．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且
113
A A
B A AD π
∠=∠=
，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC
=，则c 的值是______.
16．若向量()1,,1a λ=，()2,1,2b =-，且a 与b 夹角的余弦值为
1
3
，则λ=__________. 17．设a =（1，1，0），b =（﹣1，1，0），c =（1，0，1），d =（0，0，1），
,,,a b c d 存在正交基底，则四个向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出来并写在填
空处；否则在填空处写上“无正交基底”．你的答案是_____．
18．平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，棱AB 、AD 、AA 1的长均为1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝∠DAB 3
π
=
，则对角线AC 1的长为_____．
19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，13AA =，
90BAD ∠=︒，11
60BAA DAA ∠=∠=︒，则1AC =___________．
20．已知空间三点(0,A 2，3)，(2,B 5，2)，(2,C -3，6)，则以,AB AC 为邻边的平行四边形的面积为______．
21．已知()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--.若BP ⊥平面ABC ，则
||CP 的最小值为___________.
22．正三棱柱ABC A B C '''-，2,22AB AA ='=M 是直线BC 上的动点，则异面直线AB '与C M '所成角的范围为_____________．
23．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为
4
π
，则AE =__________．
24．设平面α的法向量为()1122n =-，，，平面β的法向量为()224n λ=，，，若α⊥β，则
2n =_____．
25．已知()2,3,1a =-，()2,0,3b =，()1,0,2c =，则68a b c +-=______. 26．已知向量a =（4，﹣5，12），b =（3，t ，2
3
），若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为_____．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
求出||25AD =①不正确；根据 0AP AD ⋅=判断②正确；由AP AB ⊥，
AP AD ⊥判断③正确；假设存在λ使得λ=AP BD ，由122314λλλ-=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
无解，判断④不正确.
【详解】
由(2AB =，1-，4)-，(4AD =，2，0)，(1AP =-，2，1)-，知： 在①
中，||1646AD =+=≠，故①不正确；
在②中，4400AP AD ⋅=-++=，∴⊥AP AD ，AP AD ∴⊥，故②正确； 在③中，2240AP AB ⋅=--+=， AP AB ∴⊥，又因为AP AD ⊥，
AB AD A ⋂=，知AP 是平面ABCD 的法向量，故③正确；
在④中，(2BD AD AB =-=，3，4)，假设存在λ使得λ=AP BD ，则122314λλλ-=⎧⎪
=⎨⎪-=⎩
，无
解，故④不正确； 综上可得：②③正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间向量垂直、向量平行等基础知识，考查了平面的法向量以及空间向量的模，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
2．D
解析：D 【详解】
已知1
260AB BC ABC ==∠=︒，，， 由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒3=， 所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；
由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；
AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；
由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，
故选D ．
3．C
解析：C 【解析】
如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a ，a,0)，F(a,0,0)，AG ＝(a ，a,0)，AC ＝(0,2a,2a)，
BG ＝(a ，－a ，0)，BC ＝(0,0,2a)，
设平面AGC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)， 由110{
AG n AC n ⋅=⋅=⇒⇒
111{1
x y ==-⇒n 1＝(1，－1,1)．
sinθ＝
11
BG
n BG n ⋅⋅＝
23a ⨯＝
63
. 4．A
解析：A 【详解】
以D 点为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 如图
设DA 2=，易得()1,0,1EF
=-,
设()()()12,2,20122,2,2CM CA BM λλλλλλλλ==-≤≤=--，
，
则cos θcos ,?BM EF =，
即
()
()
2
2
2
20112
2321
2
22823()33
cos θλλλλλ
λ=
=
=
≤≤-+-+-+
.
当13λ=
时，cos θ取到最大值3
2
，当1λ=时，cos θ取到最小值12，
所以θ的取值范围为,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
故选：A.
点睛：本题主要考查异面直线所成的角，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
5．B
解析：B 【分析】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z ，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段1A P 长度取最小值. 【详解】
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，
()()()()12,0,0,1,2,0,0,2,1,2,0,2A E F A ，(1,2,0),(2,2,1)AE AF =-=-，
设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，
则20220n AE x y n AF x y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩
，取1y =，得()2,1,2n =，
设(),2,,02,02P a c a c ≤≤≤≤，则()12,2,2A P a c =--， ∵1A P 平行于平面AEF ，
∴()()1222220A P n a c ⋅=-++-=，整理得3a c +=， ∴线段1A P 长度
2
22222139||(2)2(2)(2)4(1)222A P a c a a a ⎛
⎫=-++-=-++-=-+ ⎪⎝
⎭，
当且仅当32a c ==时，线段1A P 长度取最小值
32
2
. 故选：B. 【点睛】
本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
6．C
解析：C 【分析】
首先利用线面角的定义，可知当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值，此时BD 与平面
PAC 所成角最大，再以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，利用
向量坐标法求线面角的正弦值. 【详解】
,AB AC AB PA ⊥⊥，且PA AC A =， AB ∴⊥平面PAC ，
易证AB ⊥平面PAC ，则BD 与平面PAC 所成角为ADB ∠， 3
tan AB ADB AD AD
∠=
=， 当AD 取得最小值时，ADB ∠取得最大值 在等腰Rt PAC ∆中，
当D 为PC 的中点时，AD 取得最小值.
以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，
则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)D ，
则(0,1,1)AD =，(0,2,2)PC =-，(3,2,0)BC =-
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PC n BC ⋅=⋅=， 即220
320y z x y -=⎧⎨
-+=⎩
令3y =，得(2,3,3)n =.
因为cos ,
11n AD 〈〉==
，所以AD 与平面PBC . 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点D 的位置，首先利用线面角的定义确定点D 的位置，再利用向量法求线面角.
7．C
解析：C 【分析】
设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得4
3
λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】 设(,,)Q x y z ，
由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=， 即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,
所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,
则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43
λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
8．C
解析：C 【分析】
由题知，a 、b 、c 三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+，由此能求出结果. 【详解】
因为()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，且a 、b 、c 三个向量共面,
所以存在,p q 使得c pa qb =+.
所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，
所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩
， 解得331765,,32
777
p q p q λ=
==-= . 故选:C.
【点睛】
本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算. 9．B
解析：B
【分析】
由题易知1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设()03PC a a =≤≤，可知()0,0,P a ，进而可得1,PD PB 的坐标，然后求得1PD PB ⋅的表达式，求出最小值即可.
【详解】
由题意可知，1,,AC BC CC 两两垂直，以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则()10,1,3B ，()1,0,2D ，设()03PC a a =≤≤，则()0,0,P a ，
所以()1,0,2P a D =-，()10,1,3a PB =-，
则()()2
151002324a a a PD PB ⎛⎫=++--=-- ⎪⎝
⋅⎭， 当52a =时，1PD PB ⋅取得最小值14
-. 故选：B.
【点睛】
本题考查两个向量的数量积的应用，考查向量的坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
10．C
解析：C
【分析】
建立空间坐标系，设(),,P x y z ，求出AP AD ⋅关于,,x y z 的表达式，根据球的半径得出,,x y z 的取值范围，利用简单的线性规划得出答案.
【详解】
设BC 的中点为M ，以M 为原点建立如图所示的空间坐标系，
则()326,0,,3,0,033A D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设(),,P x y z ，则326,,33AP x y z ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2326,0,33AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
2326233
AP AD x z ∴⋅=-+， P 在以M 为球心，以1为半径的球面上，
2221x y z ∴++=，
01y ≤≤，2201x z ≤+≤，
令2326233
x z m -+=， 232620x z m -+-=与单位圆221x z +=相切时，截距取得最小值，
13=⎝⎭⎝，解得0m =或4m =
∴AP AD ⋅的最大值为4.
故选：C
【点睛】
本题考查了空间向量的数量积以及简单的线性规划，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于难题.
11．A
解析：A
【分析】
取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论.
【详解】
解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，
∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，
∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，
()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，
1cos 2
2AD BC
AD BC AD BC ⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：
()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，
∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确：
设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，
由00
t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =， 设
BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,33BC t BC t BC t θ⋅==
==⋅③正确：
平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，
设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，
则0
m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m n
m n m n
⋅<>==⋅， ∴6sin ,m n <>=
. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.
12．C
解析：C
【分析】
根据条件确定O 点位置，再根据向量表示确定,,x y z 的值，即得结果.
【详解】
如图，Q 为AC 与BD 交点，P 为BQ 中点，O 为MQ 与1B P 的交点.过P 作PT 平行
MQ 交1BB 于T .
如图,则T 为BM 中点，所以1111131334224242MT BM BB MB MB =
=⨯=⨯⨯=. 所以123B O OP =
， 因此1323421411()555352555
BO BB BP BM BH BN BM BH BN =+=⋅+⋅+=++， 因为BO xBH yBN zBM =++，所以411,,555z x y =
==,1435
x y z ∴++=. 故选：C
【点睛】 本题考查平面向量基底表示，考查综合分析求解能力，属中档题.
13．A
解析：A
【分析】
取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与CD 所成角的余弦值．
【详解】
解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ，
2AB BD DA ===．2BC CD ==CO BD ∴⊥，AO BD ⊥，且1CO =，3AO =
AOC ∴∠是二面角A BD C --的平面角，
因为二面角A BD C --的平面角为
56
π， 56AOC π∴∠= 以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，
过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，
则(0B ，1-，0)，(1C ，0，0)，(0D ，1，0)，33(2A -，
∴33(,1,)2BA =-，(1,1,0)CD =-， 设AB 、CD 的夹角为α，
则3|1|||522cos ||||22AB CD AB CD α+
===， 故选：A ．
【点睛】
本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
二、填空题
14．【分析】由根据与的夹角为钝角由且求解【详解】因为所以因为与的夹角为钝角所以且由得所以若与的夹角为则存在使即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用还考查了运算求解的能力属于中档题
解析：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】
由(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=--
⎪⎝⎭，根据a 与b 的夹角为钝角，由0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠求解.
【详解】
因为(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
， 所以2525(2)31355a b t t ⎛⎫⋅=⨯-++⨯-
=- ⎪⎝⎭
， 因为a 与b 的夹角为钝角，
所以0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠，
由0a b ⋅<，得52305t -
<， 所以5215
t <. 若a 与b 的夹角为180︒，则存在0λ<，使a b λ=， 即2(5,3,1)2,,5t λ⎛
⎫=--
⎪⎝⎭， 所以523215t λλλ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩
， 解得65
t =-
， 故答案为： 6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15．【分析】根据平方得到计算得到答案【详解】故解得故答案为：【点睛】本题考查了平行六面体的棱长意在考查学生的计算能力和空间想象能力
解析：1【分析】
根据1
1AC AB AD AA =+-，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】
1
1AC AB AD AA =+-， 故22222
1
1111222AC AB AD AA AB AD AA
AB AD AA AB AD AA =+-=++
+⋅-⋅-⋅ 2224c c =+-=，解得1c =.
1.
【点睛】
本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 16．【分析】根据条件可求出再根据夹角的余弦为即可求出解出即可【详解】解：又夹角的余弦值为解得故答案为：【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算根据向量坐标求向量长度的方法向量数量积的计算公式
解析：74
【分析】 根据条件可求出2||2,||3a b λ=+=，224a b λλ=-+=-，再根据
,a b 夹角的余弦为13
4λ-，解出λ即可． 【详解】 解：2||2,||3a b λ=+=，
224a b λλ=-+=-，
又,a b 夹角的余弦值为13
， ∴2||||cos ,24a b a b a b λλ=<>=+=-， 解得74
λ=． 故答案为：
74． 【点睛】 本题考查空间向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量数量积的计算公式．
17．【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底除正交基底外的向量用正交基底表示出来【详解】1100
若共面则存在使得化简得：无解故不共面则为正交基底设则解得：故答案为：【点睛】本题考察了空间向 解析：1122
c a b
d =-+
【分析】
四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底，除正交基底外的向量用正交基底表示出来.
【详解】 (1a =，1，0)，(1b =-，1，0)，(1c =，0，1)，(0d =，0，1)，
∴0a b =，0a d =，0b d =，
若,,a b d 共面，
则存在,x y 使得a xb yd =+，
化简得：110x x y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，无解，
故,,a b d 不共面，则a ，b ，d 为正交基底，
设c xa yb zd =++，
则101x y x y z =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩
， 解得：11,,122x y z =
=-=， ∴1122c a b d =-+． 故答案为：1122
c a b
d =-+．
【点睛】
本题考察了空间向量的基本定理，正交分解坐标表示，属于基础题．
18．【分析】由题知：再给式子平方即可求出的长度【详解】如图由题意可知所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量法求线段长度解题时要认真审题注意向量法的合理应用属于中档题
【分析】
由题知：11AC AB AD AA =++，再给式子平方即可求出1AC 的长度
【详解】
如图，由题意可知，
111AC AB AD CC AB AD AA =++=++，
所以1221())(AC AB AD AA =++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA +=++++ 1112(cos 60cos 60cos 60)6+++++
==.
所以16AC =
【点睛】
本题主要考查利用向量法求线段长度，解题时要认真审题，注意向量法的合理应用.属于中档题
.
19．【解析】【分析】首先画出图形然后结合=两边平方同时结合数量积的运算法则进行计算即可【详解】平行六面体如图所示：∵∠BAA1=∠DAA1=60°∴A1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上∴平面ACC 【解析】
【分析】
首先，画出图形，然后，结合11AC AC CC =+=1AB AD AA ++，两边平方，同时结合
数量积的运算法则进行计算即可．
【详解】
平行六面体1111ABCD A B C D -，如图所示：
∵∠BAA 1=∠DAA 1=60°
∴A 1在平面ABCD 上的射影必落在直线AC 上，
∴平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，
∵AB=1，AD=2，AA 1=3，
∵11AC AC CC =+
=1AB AD AA ++
∴|1AC |2=（1
AB AD AA ++）2 =|AB |2+|AD |2+|1AA |2+2AB AD ⋅+21AB AA ⋅+21AD AA ⋅ =1+9+4+0+2×1×3×12+2×2×3×12
=23， ∴|1AC 23
∴AC 123 23
【点睛】
本题重点考查了向量的坐标分解，向量的加法运算法则与运算律、数量积的运算等知识，属于中档题．
20．【解析】分析：利用终点坐标减去起点坐标求得对应的向量的坐标进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值应用平方关系求得正弦值由此可以求得以为邻边的平行四边形的面积详解：由题意可得所以所以所以以为邻边的平行 解析：5【解析】
分析：利用终点坐标减去起点坐标，求得对应的向量的坐标，进而求得向量的模以及向量的夹角的余弦值，应用平方关系求得正弦值，由此可以求得以AB ，AC 为邻边的平行四
边形的面积.
详解：由题意可得(2,3,1),(2,1,3)AB AC =-=-，
49114,41AB AC =++==+=，所以
2)31(1)32
cos
7BAC -+⨯+-⨯∠==-，所以sin 7
BAC ∠=，所以以AB ，
AC 为邻边的平行四边形的面积为S == 点睛：该题考查的是有关空间向量的坐标以及夹角余弦公式，在解题的过程中，需要对相关公式非常熟悉，再者就是要明确平行四边形的面积公式，以及借助于向量的数量积可以求得对应角的余弦值.
21．【分析】利用平面得到两个向量垂直从而利用坐标运算得到之间的关系然后再利用模的坐标表示求解最值即可【详解】因为平面都在平面内所以所以又因为所以解得所以所以所以的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：解答
【分析】
利用BP ⊥平面ABC ，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到y ，x ，z 之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．
【详解】
因为BP ⊥平面ABC ，,AB BC 都在平面ABC 内，
所以,BP AB BP BC ⊥⊥， 所以,BP AB BP BC ⊥⊥，
又因为()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--，
所以(1)20
(1)0
BP AB x y BP BC x y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=---=⎩，
解得1y x =--，2x z = 所以(2,1,1)CP BP BC x y z =-=-+--，
所以2222||(2)(1)(1)CP x y z =-+++--
()()()222
212x x x =-+-+--
2655x =+，
所以||CP
【点睛】
方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据
函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 22．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系设由向量法求两异面直线所成角的余弦表示为的函数求出最大值和最小值后得的范围这里需引入函数用导数求出函数的最小值从而得出的最大值【详解】以为轴为轴建立如图所示的空间 解析：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【分析】
建立如图所示的空间直角坐标系，设CM kCB =，由向量法求两异面直线所成角的余弦cos θ表示为k 的函数，求出最大值和最小值后得θ的范围．这里需引入函数()f x 用导数求出函数的最小值，从而得出cos θ的最大值．
【详解】
以AB 为x 轴，AA '为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -
，则(2,0,B '，(2,0,0)B ，(1,3,0)C
，(1,3,2C '，
设
CM kCB =
，则k ∈R
，(1,CB =，
(0,0,(1,(,
,C M C C CM k k ''=+=-+=-． 又(2,0,AB '=，
设直线AB '与C M '所成角为θ， 则cos 2AB C M AB C M
θ''⋅==''
=， 4k =时，min (cos )0θ=，
设()f x =，则32224()(2)
x f x x +'==+， 12x <-时，()0f x '<，()f x 递减，12
x >-时，()0f x '>，()f x 递增， ∴12x =-时，()f x 取得极小值也是最小值132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 4x <时，()0f x <
，4x >时，222(4)8162x x x x -=-+<+
1
<，
∴max ()3f x =，
max (cos )θ==， 即0cos θ≤≤，∴,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．
故答案为：,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】
方法点睛：本题考查求异面直线所成的角．解题方法是空间向量法．求异面直线所成角的方法：
（1）几何法（定义法）：作出异面直线所成的角并证明，然后解三角形得解；
（2）向量法：建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的夹角余弦的绝对值得异面直线所成角的余弦值，从而得角． 23．【解析】分析：以D 为原点建立空间直角坐标系设再求出平面和平面的法向量利用法向量所成的角表示出二面角的平面角解方程即可得出答案详解：以D 为原点以为轴的正方向建立空间直角坐标系设平面的法向量为由题可知平 解析：23
【解析】
分析：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，再求出平面AECD 和平面1D EC 的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D 为原点，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设(02)AE λλ=≤≤，平面1D EC 的法向量为(,,)m x y z =
由题可知，1(0,0,1)D ，(0,2,0)C ，(1,,0)E λ，1
(0,2,1)DC =-，(1,2,0)CE λ=- 平面AECD 的一个法向量为z 轴，∴可取平面AECD 的法向量为(0,0,1)n =
(,,)m x y z =为平面1D EC 的法向量，
∴120
(2)0m D C y z m CE x y λ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩ 令1y =，则(2,1,2)m λ=-
二面角1D EC D --的大小为4π ∴cos 4m n
m n π
⋅=⋅，即 2222(2)12λ=-++ 解得 23λ=-，23λ=+（舍去）
∴23AE =-
故答案为23-
点睛：空间向量法求二面角
（1）如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．
(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=(或12,n n π-)．
24．3【分析】根据题意可知⊥所以•0解出λ的值从而得出利用模长公式求出向量模长即可【详解】平面α的法向量为平面β的法向量为因为α⊥β所以⊥所以•2﹣2λ+8＝0解得λ＝5所以（254）所以3故答案为：3
解析：5【分析】
根据题意可知1n ⊥2n ，所以1n •2n =0，解出λ的值，从而得出2n ，利用模长公式求出向量模长即可．
【详解】
平面α的法向量为()11
22n =-，，，平面β的法向量为()224n λ=，，，
因为α⊥β，所以1n ⊥2n ，所以1n •2n =2﹣2λ+8＝0，解得λ＝5，所以2n =（2，5，4），
所以222n ==
故答案为：【点睛】
本题主要考查法向量及其模长公式，属于基础题．
25．【分析】先计算再计算即得解【详解】由于故【点睛】本题考查了向量的线性运算的坐标表示考查了学生数学运算的能力属于基础题
解析：()6,3,3-
【分析】
先计算6,8b c ，再计算68a b c +-即得解.
【详解】
由于6(12,0,18),8(8,0,16)b c ==，故68a b c +-=()6,3,3-.
【点睛】
本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了学生数学运算的能力，属于基础题. 26．（﹣∞4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义两个向量共线的性质求得实数的取值范围【详解】解：向量若与的夹角为锐角且与不共线即且不成立解得则实数的取值范为故答案为：【点睛】本题主要考查两个向量的夹 解析：（﹣∞，4）
【分析】
由题意利用两个向量的夹角的定义，两个向量共线的性质，求得实数t 的取值范围．
【详解】
解：向量(4a =，5-，12)，(3b =，t ，2)3
，若a 与b 的夹角为锐角， ∴·0a b >，且a 与b 不共线，
即24351203t ⨯-+⨯>，且2334512
t ==- 不成立，解得4t <， 则实数t 的取值范为(,4)-∞，
故答案为：(,4)-∞．
【点睛】
本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题．。