少自由度并联机构馈能悬架运动学特性分析

少自由度并联机构馈能悬架运动学特性分析
柳江;黎晓伟;张业;滕杨磊
【摘要】为回收汽车悬架振动能量,提出一种新型少自由度并联机构馈能悬架模型;该并联机构可以将悬架的垂向振动转化为该机构动基座绕z轴的一维转动,以驱动馈能电机回收能量.运用旋量理论对该并联机构的自由度进行分析,根据支链的约束条件,分别应用位姿变换公式和牛顿迭代法建立该并联机构的位置逆解和位置正解约束方程,求得4组实数正逆解.在位置分析基础上,采用一种简单的空间投影方法进行连杆速度的计算;并得到该并联机构动基座旋转周期的一般表达式.最后利用ADAMS进行正弦、阶跃和随机三种输入仿真,验证所建模型的有效性和正确性.【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2016(016)032
【总页数】7页(P132-138)
【关键词】馈能悬架;少自由度;位置正解;投影法
【作者】柳江;黎晓伟;张业;滕杨磊
【作者单位】青岛理工大学汽车与交通学院,青岛266520;青岛理工大学汽车与交通学院,青岛266520;青岛理工大学汽车与交通学院,青岛266520;青岛理工大学汽车与交通学院,青岛266520
【正文语种】中文
【中图分类】U463.33
馈能悬架是指利用能量回收装置代替传统的减振器，将路面不平引起的的汽车悬架振动产生的能量加以回收利用的新型悬架系统。

近年来，国内外悬架振动能量回收的主要研究，多集中在电磁式馈能悬架；对其运动转化机构和馈能、控制算法等相关研究较多。

喻凡、何仁、过学讯等[1—3]分别采用了滚珠丝杠、齿轮齿条结合电机、液压系统的结构方案，获得了较好的悬架控制性能；但是仍存在结构复杂、馈能效率不高等问题。

2012年Reza Sabzehgar等[4]首次将结构简单可靠性高的少自由度并联机构引入汽车馈能悬架；遗憾的是，该文献未能进一步说明其运动学、动力学特性，且其自由度存在冗余问题。

少自由度并联机构是一类自由度小于六的并联机构构型，具有机构构型简单、驱动件少、控制方便、容易制造及成本较低等优点；并且可以通过控制得到设计要求的自由度[5，6]，和传统的串联机构相结合容易形成混联运动机构，可以使串并联结构的优势互补[7，8]。

然而，自由度减少会最终导致动平台的耦合运动，运动学和动力学分析也变得非常复杂[9]。

针对这一问题，2013年黄真等[10]结合旋量理论用虚设机构法建立的少自由度运动学模型，提出了分析并联机构运动学的影响系数法；其特点是机构越复杂，方法越适用，性能也越优。

前述并联机构模型大多数基座是固定的，研究主要集中在其末端执行器的运动状态上。

本文为了将悬架的垂直振动转化为馈能电机的旋转运动，采用逆向思维方法，提出一种少自由度并联机构；此机构的执行器沿z轴移动、基座绕z轴转动的模型，利用旋量理论分析该结构的运动学特性，采用空间投影法讨论其结构参数对机构性能的影响，最后通过数值解与ADAMS仿真结果比较，验证了此种分析方法的正
确性和所建模型的有效性。

1.1 少自由度并联机构描述
如图1所示，该并联机构由末端执行平台A(简称执行平台)，旋转动基座B(简称动基座)和三条支链li(i=1,2,3)组成。

平台上的球关节Ai,Bi相对于执行平台A的中心
O′和动基座B的中心O均匀分布。

每个支链均通过连杆li将执行平台A上的球铰Ai与动基座B上的球铰Bi连接，执行平台A通过移动副与车身连接，动基座B
通过旋转副与电机链接。

末端执行平台A作为输入端，将悬架的垂直振动通过该
并联机构转化成基座的旋转运动。

1.2 自由度分析
利用修正的Kutzbach Crubler公式一般形式，根据公式(1)计算空间并联机构的自由度。

该运动螺旋系的2个运动螺旋线性无关；通过式(2)可得到该螺旋系的反螺旋系为
即该反螺旋系限制了动平台绕x轴与y轴的转动和沿x轴与y轴移动，则有t=4，k=4，因此可得v=0；结构相同的3条支链存在局部自由度，即ζ=3。

根据式(1)的机构的自由度为
与馈能悬架系统输入为悬架垂向振动，输出为电机转动的运动学设计目标吻合，而文献提出的并联机构，其刚体模型的自由度F=-2，存在过约束问题。

2.1 逆运动学分析
与大部分并联机构1动1静两个平台不同，本文提出的机构包含两个动平台，因
此将参考坐标系固结在动基座上，利用坐标变换实现与之类似的结构。

根据图1所示结构，建立动基座坐标系O(x,y,z)和末端执平台坐标系O′(x′,y′,z′)。

x轴指向与B1B2平行，z轴指向与中心轴线平行，y轴方向由右手准则确定。

末
端执行平台坐标系中的x′轴，y′轴，z′轴方向与坐标系O(x,y,z)中的x轴，y轴，z 轴方向平行。

坐标系O′(x′,y′,z′)下，Ai(1,2,3)的坐标可以表示为
坐标系O(x,y,z)下，Bi(1,2,3)的坐标可以表示为
Ai相对于参考坐标系O(x,y,z)的位置坐标可以表示为
根据几何关系，结合机构刚性杆长度不变的特性，可得机构的位置方程。

2.2 正运动学分析
对于本文的少自由度并联机构，可以借助牛顿迭代法求得正解。

由杆长可得
此并联机构的位姿方程组也可以表示为
F(U)=(M,L)
Fi(U)=0
根据牛顿迭代法，其解可以表示为
Uk+1=Uk-F(Uk)/F′(Uk)
牛顿迭代法只要给定一个初始近似解U0，并设定迭代精度ε(|Uk+1-Uk|≤ε，就可以得到满足此精度的解Uk+1。

2.3 速度分析
该机构输入速度和输出速度之间的关系是由雅克比矩阵决定，由动平台铰接点Ai 的速度
VAi=ω×rAi+VO′;(i=1,2,3)
第i杆的输入速度为VAi沿单位矢量Si的量，可以表示为
将式(17)代入式(16)可得
该并联机构的Jacobin矩阵为
考虑到有3个支链机构，因此将有3个方程组合得到一个矩阵方程。

该机构速度正解形式为
2.4 机构位置关系的几何分析
2.4.1 几何投影关系
少自由度并联机构的正位置分析即已知平移动平台的输入函数，求解动基座中心点O相对于末端执行器平台中心O′的旋转角度θ。

执行平台沿z轴往复运动，则动基座会转过一定角度θ，如图2所示。

连接，定义长度为l；点N为点在动基座上
的投影，连接N,取长度为δ，即两动平台之间的空间距离OO′；连接N，定义长
度为m。

(1)投影关系分析。

根据图2空间投影关系可得：
l2=δ2+m2
m在动基座上的投影表示为
由图3可知，m在x方向和y方向的投影可以表示为
故而有
将公式(16)带入公式(15)得
由公式(17)变形得：
cosθ=[5-12(l2-δ2)]/4
对公式(18)做进一步讨论，可以得到以下结论。

(1)θ=2kπ;(k∈Z)时，l2-δ2=a2/12；θ=(2k+1)π;(k∈Z)时,l2-δ2=9a2/12。

(2)θ=π/2±kπ;(k∈Z)时,l2-δ2=5a2/12。

根据GB 1985乘用车减振器的动行程
为2～5 cm，由于δ过大会影响车辆行驶的平顺性，故本文取
a∈[0,200],l∈[0,200],θ∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ];k∈Z。

(2)旋转周期分析。

图4中(t)为末端执行平台的速度，由于铰接点均匀分布，因此
作用在铰接点处的力的大小相等，铰接点出速度也相等，大小均为(t)，方向垂直
向下。

利用几何法，将此垂向速度分解为沿连杆的速度v1和垂直于连杆的速度v2，由于连杆上的速度处处相等，都为v2，此速度与垂直方向的夹角也为θ，由于旋
转动平台的力是由连杆提供，因此将v1沿作用力的方向分解为垂直于旋转动平台的速度v11和线速度v12。

由图4可得
由圆周运动可知
因此
由周期T可知，旋转动平台的运动周期是
由于旋转角度θ与杆长li和并联机构的空间位置hi有关，因此可以得出此机构运动周期的一般表达式为
2.4.2 结构参数分析
对于公式(17)，固定l,a,θ中的一个参数，研究其余两个参数的关系。

(1)旋转角度θ(θ=0)一定，连杆长度l和动平台边长a的关系如图5所示。

从图5可知，对于边长a相同的动平台，随着连杆长度l的增长，平台间距δ近似线性增大，l与δ正相关；对于杆长l相等的连杆，随着边长a的增加，其平台间距δ略有减小，a与δ呈弱的负相关。

要使δ>0，必须有l，对于l的值，δ不存在。

而对于9个极小值(图中尖锐突起点)而言，随着a的增大，l与δ的线性域缩短。

经分析，图中线形部分(即有效工作行程)范围有限，由于构件的惯性原因容易进入死区，结构参数设计中应予避免。

旋转角度θ取其他固定值时，具有相类似的结论。

(2)当连杆长度l(l=150 mm)一定，动平台边长a和旋转动平台旋转角θ的关系如图6所示。

由公式(15)可知，连杆l在动平台上的投影长度m由动平台边长a和旋转动平台旋转角θ决定，故而m在笛卡尔坐标系下的空间的位置函数可以由图6中的参数设计曲面表示，在工程上也表征了馈能发电机输入端的结构运动关系。

对于边长a 相同的动平台，随着旋转动平台角度θ的变化，边长a与空间距离δ为呈周期性关系，周期为2π，并且随着动平台的边长a增大，这种趋势更加明显；对于同一个旋转角θ值，随着动平台的边长a的增加，其空间距离δ的值会减小，且非线性程度非常高。

因此，相对于汽车悬架，此处的动平台的旋转角不宜过大，以避免δ迅速减小可能引起的悬架击穿问题。

(3)当动平台的边长a(a=200 mm) 一定，连杆的长度l和旋转动平台角度θ的关
系如图7所示。

从图7可知，此曲面同样也是表示少自由度并联机构在空间的位置函数，对于同一个旋转角度θ值，随着连杆长度l的增大，其空间距离δ的值会增大，连杆越长，空间斜率越大，曲线越陡峭；对于相同的连杆长度l，随着旋转动平台角度θ的变化，其空间位置函数δ与旋转角变化趋势是一致的。

3.1 数值算例
设执行动平台边长a=100 mm,动基座边长b=200 mm,两平台的厚度h=10 mm,所用构件材料均为钢材，密度ρ=7.8 kg/mm2，重力加速度g=9.8 m/s2，其质心的运动规律为z=10sint。

平台的位置反解见表1，与此对应的平台的位置正解见表2。

3.2 仿真分析
3.2.1 正弦输入
为了分析少自由度并联机构的运动性能，分别以1 Hz、2 Hz和5 Hz的正弦波作为约束支链的驱动函数，振幅均为±11 mm，得到少自由度并联机构末端执行平台和动基座位移、速度和角度，如图8～图10。

图8中末端执行平台的相对位移即为输入。

图9和图10可知，频率越高，少自由度并联机构的动基座的旋转速度越大，转化能量的效率越快，但其旋转的角度的最大值输入的频率无关，仅由幅值和系统结构参数确定；由图10可知，旋转角度的数值解与仿真结果的误差小于2%，主要是由于模型未考虑其间隙，但基本上是吻合的，有效的验证了所建模型的有效性。

对于正弦输入，其输出和输入的周期近似为两倍关系，与公式(30)的推导相吻合，当不考虑质量参数时，此两倍关系只与动平台的边长a，杆长l有关，与其他参数无关。

3.2.2 阶跃输入
调用ADAMS/View中的阶跃函数F=STEP(tim,0,0,10,5)作为驱动输入，计算得到
少自由度并联机构末端执行平台和动基座位移、速度和角度，如图11和图12。

图12可知，该并联机构动基座的旋转速度和旋转角度在5 s时迅速转换方向，该
点及其附近是危险的工作区间，需要重点考虑结构惯性、冲击等问题。

3.2.3 随机输入
利用样条曲线Spline作为驱动输入，得到在随机输入下，该机构执行平台和动基
座位移、速度和角度的变化关系，如图13和图14。

从图13和图14可知，动基座对随机输入具有明显的时滞特性，主要是由于前述
输出周期增大的原因。

(1)本问提出一种新型少自由度并联机构馈能悬架模型，利用旋量理论和牛顿迭代
法求解出其位置正逆解，对其速度特性进行了分析，并利用几何投影法得到该机构动基座的旋转周期的一般表达式。

对于正弦输入，该机构输出周期为输入周期2倍，并可根据边长a、杆长l的参数设计来实现转角幅值放大作用。

(2)通过空间投影法对该机构的结构参数，边长a、杆长l和旋转角θ之间的关系进行分析，可知对于给定其中某一参数，其他参数之间成一定的周期关系，且此周期与该机构的结构参数相关，此分析方法验证所建模型的正确性和有效性。

(3)通过数值分析可以得到该机构支链和旋转角的变化规律，由此可以说明该机构
可以有效的将悬架的垂直移动转化为馈能电机的旋转运动。

由仿真可知，该机构对外部激励反应灵敏，且转换效率高，也为该机构应用在馈能悬架中奠定了理论基础。

【相关文献】
1 喻凡, 张勇超, 张国光. 车辆电磁悬架技术综述. 汽车工程，2012; 34(7): 569—574
Yu F, Zhang Y C, Zhang G G. Review on vehicle electromagnetic suspension technology. Automotive Engineering, 2012; 34(7): 569—574
2 何仁, 刘学军, 刘存香. 汽车电磁-液压复合制动技术研究进展. 中国公路学报，2014; 27(11): 109—119
He R, Liu X J, Liu C X. Research progress in electromagnetic-hydraulic hybrid brake technology. China Journal of Highway and Transport, 2014; 27(11): 109—119
3 方志刚, 过学讯. 液电馈能式减振器阻尼特性理论及试验. 吉林大学学报(工学版), 2014; 44(4): 939—945
Fang Z G, Guo X X. Theory and experiment of damping characteristics of hydraulic electromagnetic energy regenerative shock absorber. Journal of Jilin University (Engineering and Technology Edition), 2014; 44(4): 939—945
4 Sabzehgar R E, Maravandi A, Moallem M. Energy regenerative suspension using an algebraic screw linkage mechanism. IEEE/ASME Transactions, 2014; 19(4): 1251—1259
5 韩书葵, 方跃法, 郭盛. 少自由度并联机构真实运动分析.机械工程学报，2009;45(9)：58—63 Hna S K, Fang Y F, Guo S. Actual kinematics performance analysis for lower degrees of freedom parallel manipulators. Journal of Mechanical Engineering, 2009; 45(9): 58—63
6 Liu X J, Wang J S, Li T M, et al. Parallel mechanisms with two or three degrees of freedom. Tsinghua Science and Technology, 2003; 8(1): 105—112
7 Wu X J, Wang J S, Li T M. Analysis and application of a 2-DOF planar parallel mechanism. Journal of Mechanical Design, 2007; 129(4): 434—437
8 赵尊忠, 汤萍, 程刚,等 4UPS+UPU并联机构运动学分析. 科学技术与工程, 2015;15(12): 197—200
Zhao Z Z, Tang P, Cheng G, et al. Kinematics analysis of 4UPS + UPU parallel mechanism. Science Technology and Engineering, 2015; 15(12): 197—200
9 Kanaan D, Wenger P, Ciiablat D. Kinematic analysis of a serial-parallel machine tool: the verne machine. Mechanism and Machine Theory, 2009;44(2): 487—498
10 黄真, 赵永生, 赵铁石. 高等空间机构学. 北京：高等教育出版社，2014
Huang Z, Zhao Y S, Zhao T S. Advanced spatial mechanism. Beijing: Higher Education Press, 2014。