河北省石家庄市第一中学高中数学必修一《1.2.1 函数的概念》导学案

教材章节：§1.2.1课题：函数的概念
教学目标：
1．学问与力量：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依靠关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更留意函数模型化的思想与意识．
2．过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
（2）了解构成函数的要素．
（3）会求一些简洁函数的定义域和值域．
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域．
3．情感、态度与价值观：
使同学感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的乐观性．
教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数．
教学难点：符号“()
y f x
=”的含义，函数定义域和值域的区间表示．
教学过程：
一、创设情景，揭示课题
1．复习学校所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2．阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；
（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
（3）“十一五”方案以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题
3．分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点．
4．引导同学应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依靠关系；
5．依据学校所学函数的概念，推断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．
二、研探新知
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，假如按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()
f x和它对应，那么就称:f A B
→为从集合A到集合B的一个函数，记作()
y f x
=，x A
∈．
其中，A叫做定义域，{}
()
f x x A
∈叫做值域．
说明：构成定义有三要素：对应法则、定义域（原象的集合）、值域（象的集合）．
（1）在函数记号)
(x
f
y=中，f代表对应法则，等式)
(x
f
y=表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y．当状况比较简洁时，对应法则f可用一个解析式来表示，但在不少问题中，对应法则f也可能不便用或不能用一个解析式来表示，这时，就必需接受其他方式，如数表或图象等．（2）定义域（原象的集合）是自变量x的取值范围，它是函数的重要组成部分．定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数．在中学阶段，所争辩的函数通常都是能够用解析式表示的．假如未加说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的全部实数x的集合．在实际问题中，还必需考虑自变量x所代表的具体的量的允许值范围．
（3）值域是全体函数值所成的集合，在多数状况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定．
（4）符号“=
y)
(x
f”是“x
y是的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于x
f与的乘积”，)
(x
f也不肯定是解析式．
2．用新的函数的概念解释学校学过的三类初等函数：
（1）学校学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
（2）通过三个已知的函数：(0)
y ax b a
=+≠
2(0)
y ax bx c a
=++≠
(0)
k
y k
x
=≠
3．函数值的求法：当A
a∈时，函数值为()a f．
符号)
(a
f与)
(x
f既有区分又有联系，)
(a
f表示当自变量a
x=时，函数)
(x
f的值，是一个常量．而)
(x
f是自变量x的函数，在一般状况下，它是一个变量，)
(a
f是)
(x
f的一个特殊值．如：
()221
f x x x
=+-，当0,1,2,
x m
=时，()()()()2
01,12,27, 1.
f f f f m m m
=-===+-4．区间的概念：（见课本P17）
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间． （2）无穷区间． （3）区间的数轴表示． 例如：函数.2-=
x y 的定义域、值域的表示方法：
定义域 值域
不等式法 2≥x 0≥y 集合法 {}2≥∈x x x {}
0≥∈y y y 区间法 [)+∞∈,2x [)+∞∈,0y 5．应用举例：
例1．（见课本P17 例1）已知函数 ()3f x x =++
2
1
+x ， （1）求函数的定义域； （2）求(3)f -，2()3
f 的值；
（3）当0a >时，求()f a ，(1)f a -的值.
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.假如只给出解析式()y f x =，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
解：略
例2．下列函数中哪个与函数y x =相等？
（1）2
()y x =；（2）33y x =；（3）2
y x =
；（4）2
x y x
=
分析：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系打算的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全全都，即称这两个函数相等（或为同一函数）．
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全全都，而与表示自变量和函数值的字母无关． 解：（略）
例3．下面图中，可表示函数y f x =()的图象是（ ） ［答案］B ．
例4．已知32)(+=x x f ， （1）求)1(,)(,)2
(2
-x f x f x f ； （2）若)()2(x f x g =+，求)(x g ．
解：（1）12)1(32)(3)2
(2
2+=-+=+=x x f x x f x x
f ；；．
（2）∵)()2(x f x g =+1)2(232-+=+=x x ，∴)(x g 12-=x ．
例5．设()()()[]()[]..52,2
x f g x g f x x g x x f 和求：-==
解：()[]().25204522
2
+-=-=x x x x g f
()[].52522
2
-=-⋅=x x x f g
6．函数定义域的求法：
函数)(x f y =是用一个式子表示时，假如不加说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合．
例1．求下列函数的定义域： （1）()131f x x x =-+
+-；（2）x
x x y -+=
)2(；
（3）1
1
15-+
=
x y ；（4）x x y 22+-=
．
解：（1）10
30x x -⎧⎨
+⎩
3
1x ⇒-．
（2）}2,0{0
02-≠<⇒⎩⎨
⎧>-≠+x x x x x x 且．
（3）}1,0,{0
101
11≠≠∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧
≠-≠-+
x x R x x x x 且． （4）}20{022
≤≤⇒≥+-x x x x ． 例2．若函数862++-=
k kx kx y 的定义域是R ，求实数k 的取值范围．
解：当0=k 时，08>=y ，此时R x ∈；
当0≠k 时，若要R x ∈，则需100
)8(4360
2
≤<⇒⎩⎨⎧≤+-=∆>k k k k k ，
综上可得：]1,0[∈k ．
例3．已知函数)(x f 的定义域为[].0,,>->a b b a 且 求函数()()()F x f x f x =--的定义域．
解：
,
.a x b a x b ≤≤⎧⇒⎨
≤-≤⎩,
.a x b b x a ≤≤⎧⎨
-≤≤-⎩
又0,b a a b -<<<-< [],.x a a ∴∈-
例4．已知函数()x f 的定义域为(]1,0.求：)0)(()()(≤-⋅+=a a x f a x f x g 的定义域． 解：由
⎩⎨⎧+≤<-≤<-⇒⎩⎨
⎧≤-<≤+<.
1,
1.10,10a x a a x a a x a x 最小，a a ∴≤,0 a -1最大.
（1）当0=a 时，(]0,1.x ∈；
（2）当02
1
<<-
a 时，即(]a a x a a +-∈->+1,,1； （3）当2
1
-≤a 时，即1,.a a x +≤-∈∅
三、课堂练习：课本P19 练习：1，2，3． 四、课堂小结：
1．函数的概念（构成函数的三要素）． 2．区间的概念及用法． 3．函数定义域的求法． 五、作业：。