圆的最值模型之瓜豆模型(解析版)(北师大版)

专题10圆的最值模型之瓜豆模型
一、模型说明
问题1.如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？
解析：Q 点轨迹是一个圆
理由：Q 点始终为AP 中点，连接AO ，取AO 中点M ，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP ，1=2
QM AQ PO AP ．问题2.如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
解析：Q 点轨迹是一个圆
理由：∵AP ⊥AQ ，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AM ⊥AO ；
又∵AP ：AQ =2：1，∴Q 点轨迹圆圆心M 满足AO ：AM =2：1．
即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO ∽△AQM ，且相似比为2．
模型总结：
条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）．
结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM ；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM ，也等于两圆半径之比．
二、例题精讲【答案】231+/123
+【分析】作COE ，使得CEO ∠COP CED ∽△△，推出OP CP ED CD
=90CDP ∠=︒ ，60DCP ∠=︒，CP ∴∴2CO CP CE CD ==，COP CED ∴ ∽，即1
12ED OP ==（定长），
点E 是定点，DE 是定长，
【答案】273
-
【分析】如图所示，延长PB 以AO为斜边在AC下方作
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点为3的圆上运动．
例3．如图，Rt ABC △中，AB AC ==绕点A 任意旋转的过程中，P 到直线
【答案】3632+/323+【分析】数形结合，根据动点的运动情况判断点【详解】解：如图旋转，连接以BC 为直径作O ，以AE 为半径作过点B 作A 的切线交O 于点M ，在ABD △和ACE △中
AB AC AD AE BAD CAE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
ABD ACE
∴ ≌PBC PBA ACB PBC ∴∠+∠+∠=∠+BD CE
∴⊥
【答案】131
+/113
+
【分析】连接AO，BO，取
点D在以E为圆心，以2为半径的圆上运动，连接在以点G为圆心，以1为半径的圆上运动，
的长度，取线段OE的中点F
【详解】如图所示，连接AO
∵D是AB的中点，E是AO的中点，
∴DE是ABO
的中位线，
∴
12
2
DE OB
==，
∴点D在以E为圆心，以2为半径的圆上运动，连接CE，取CE的中点G，连接GM，
∵M为CD的中点，G是CE的中点，
∵O 的半径为4
∴4
OA OB ==∵42
AC =∵22224432OA OB +=+=，(24AC =∴2
22O O C A B A +=∴=90AOC ∠︒
∵点F 是OE 的中点，点G 是CE 的中点，
三、课后训练A ．434
+【答案】A 【分析】以BC 为边向上作等边三角形点D 的运动轨迹是以点∵60DCA MCB ∠=∠=∴DCA ACM ∠-∠=∠在DCM △和ACB △中，
DC AC DCM ACB MC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
【答案】3
∴BD＝2，∴11 BD=．
【答案】2
【分析】如图，连接CE．首先证明∠BEC 上运动，连接MA交 BC于E′，此时AE 【详解】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB=60°，
∴∠CEP=∠CAP=60°，
∴∠BEC=120°，
∴M 中优弧 BC
度数为2BEC ∠=240°，则劣弧∴△BMC 是等腰三角形，∠BMC =120°，
∵∠BCM =30°，BC =83，MB MC
=221342
BN BM MN MN BC ∴=-====∴MB =MC =8，
∴连接MA 交 BC
于E ′，此时AE ′的值最小．∵∠ACB =60°，∠BCO =30°，
∴∠ACM =90°，
∴MA =22MC AC +=228610+=，
∴AE 的最小值为=1082-=．
故答案为：2
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
4．如图，已知O 的半径为2，弦23AB =4
【答案】51
+
【分析】连接OM，根据垂径定理，得到 的半径为1，当点C、
E
【详解】连接OM，
的直径，M为
∵AB是O
故CM CN CE EN
==+
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，圆的性质是解题的关键．6．如图AB是半圆O的直径，点
⊥于点H，连接
D作DH AC
【答案】221-
【分析】如图，取AD的中点
在以M为圆心，AD为直径的
⊥
DH AC
AHD︒
90
∴∠=
【答案】2262
-
【分析】连接CE，取
再根据圆周角定理得出据此即可获得答案．【详解】解：连接CE
∵4BC =，∴2CF =∵90ACB ∠=︒，AC ∵CD 是O 直径，∴在点D 的运动过程中，∴当点A E F 、、共线时，故答案为：2262-(1)在旋转过程中，当A ′落在线段BC 上时，求A ′B 的长；
(2)连接A ′A 、A ′B ，当∠BA ′B '＝90°时，求tan ∠A ′AD ；
(3)在旋转过程中，若△DAA ′的重心为G ，则CG 的最小值＝
．
【答案】(1)47-；(2)tan ∠A ′AD ＝3或13；(3)9743-【分析】（1）由四边形ABCD 矩形，AB ＝3，AD ＝4得CD ＝AB ＝3，BC ＝AD ＝4，∠
（1）当E在AB的中垂线上时，把射线EA绕点E顺时针旋转90︒后交CD于求EF的长．
（2）在（1）的条件下，连接BF，把BEF
△绕点B顺时针旋转得到 BHK 的中点，连接AN，求AN的最大值．
【答案】（1）
8
EF=（2）83
AE BE
=，在Rt DAE
V中，利用勾股定理求出
∵四边形ABCD 是菱形,且BAD ∠=∴4,60AD AB ABC ADC ==∠=∠=∵BD 为菱形对角线
∴30ABE ADE FDE ∠=∠=∠= ,
又∵E 在AB 的中垂线上
此时：在AMN 在，AM MN AN +≥,当A 、则：在Rt AMC 中，122
CM AC ==∵222AM AC CM =-，∴212AM =，∴AM 又∵M 点是BC 的中点，N 是CH 的中点
∴1123223MN BH BE ===，∴23AN =+
180'∴∠=︒-∠P AC BAC '。