和平区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

和平区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（ ）
A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
2． 已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为
2
1
时，则输入的值为（ ）
A ．2
B ．1-
C ．1-或2
D ．1-或10
3． 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，则log 2
（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4． 若函数f （x ）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f （﹣3）=0，则（x ﹣2）f （x ）＜0的解集是（ ） A ．（﹣3，0）∪（2，3） B ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C ．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D ．（﹣3，0）∪（2，+∞）
5． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1
()1e x
f x x =-+
没有公共点，则实数k 的最大值为（ ）
A ．－1
B ．
1
2
C ．1
D 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．
6． 设i 是虚数单位，若z=cos θ+isin θ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
7． 设复数z 满足z （1+i ）=2（i 为虚数单位），则z=（ ） A ．1﹣i B ．1+i C ．﹣1﹣i D ．﹣1+i
8． 设命题p ：函数y=sin （2x+
）的图象向左平移
个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数
y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A ．p 为假
B ．￢q 为真
C ．p ∨q 为真
D ．p ∧q 为假
9． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．函数f （x ）=﹣x 的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y=﹣x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y=x 对称
12．已知表示数列
的前项和，若对任意的
满足
，且
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．
14．已知某几何体的三视图如图,正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表
面积是_________（单位:）．
15．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．
16．直角坐标P （﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
17．设函数f （x ）=
则函数y=f （x ）与y=的交点个数是 ．
18．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知p ：，q ：x 2﹣（a 2+1）x+a 2
＜0，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
20．计算： （1）8
+（﹣）0﹣
；
（2）lg25+lg2﹣log 29×log 32．
21．（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝满足：n n a a >+1（*
∈N n ），11=a ，该数列的 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且1log 22-=+n n b a . （1）求数列｛n a ｝，｛n b ｝的通项公式； （2）求数列｛n n b a ⋅｝的前项和n T .
22．已知函数f （x ）=log 2（x ﹣3）， （1）求f （51）﹣f （6）的值； （2）若f （x ）≤0，求x 的取值范围．
23．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设1AP =，AD =P ABD -的体积4
V =
，求A 到平面PBC 的距离.
111]
24．（本小题满分13分）
设1
()1f x x
=+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．
（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
）
和平区第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解；观察所给的四组数据，
①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样， ②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段， 在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，
在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样， ③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样， 故选A ．
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：程序是分段函数⎩⎨⎧=x y x lg 2 0
0>≤x x ，当0≤x 时，212=x
，解得1-=x ，当0>x 时，21lg =x ，
解得10=x ，所以输入的是1-或10，故选D.
考点：1.分段函数；2.程序框图.11111] 3． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=+6x ﹣1，可得f ′（x ）=x 2﹣8x+6，
∵a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，
∴a 2014，a 2016是方程x 2
﹣8x+6=0的两实数根，则a 2014+a 2016=8．
数列{a n }中，满足a n+2=2a n+1﹣a n ， 可知{a n }为等差数列，
∴a 2014+a 2016=a 2000+a 2030，即a 2000+a 2012+a 2018+a 2030=16， 从而log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）=log 216=4． 故选：C ．
【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．
4． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）是R 上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数， ∴在（﹣∞，0）内f （x ）也是增函数， 又∵f （﹣3）=0，
∴f （3）=0
∴当x ∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f （x ）＜0；当x ∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f （x ）＞0； ∴（x ﹣2）•f （x ）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3） 故选：A ．
5． 【答案】C
【解析】令()()()()1
11e x
g x f x kx k x =--=-+，则直线l ：1y kx =-与曲线C ：()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1
1
11101e k g k -⎛⎫
=-+< ⎪-⎝⎭
．又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没
有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时,()1
0e
x g x =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解，所以k 的最大值为1，故选C ．
6． 【答案】B
【解析】解：∵z=cos θ+isin θ对应的点坐标为（cos θ，sin θ）， 且点（cos θ，sin θ）位于复平面的第二象限，
∴，∴θ为第二象限角，
故选：B ．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．
7． 【答案】A
【解析】解：∵z （1+i ）=2，∴
z=
==1﹣i ．
故选：A ．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．
8． 【答案】C
【解析】解：函数y=sin （
2x+
）的图象向左平移个单位长度得到y=sin （
2x+）的图象，
当x=0时，
y=sin
=，不是最值，故函数图象不关于y 轴对称，
故命题p 为假命题；
函数y=|2x
﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．
故命题q为假命题；
则￢q为真命题；
p∨q为假命题；
p∧q为假命题，
故只有C判断错误，
故选：C
9．【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，
所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C83=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
10．【答案】C
【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱，
底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是，
∴三棱柱的面积是3××2=6+，
故选C．
【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．
11．【答案】C
【解析】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）
∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称
故选C．
12．【答案】C
【解析】
令得，所以，即，所以是以1为公差的等差数列，首项为，
所以，故选C
答案：C
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是=，
三角形AB
1
D1的面积为4，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则，
则h=
故点A1到平面AB1D1的距离为．
故答案为：．
14．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该几何体是半个圆柱。

所以
故答案为：
15．【答案】34 5
【解析】
考点：点关于直线对称；直线的点斜式方程.
16．【答案】．
【解析】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．
∴点P的极坐标为．
故答案为：．
17．【答案】4．
【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f（x）=的图象与函数y=的图象，如下图所示，
由图知两函数y=f（x）与y=的交点个数是4．
故答案为：4．
18．【答案】（，+∞）．
【解析】解：由题意，a＞1．
故问题等价于a x＞x（a＞1）在区间（0，+∞）上恒成立．
构造函数f（x）=a x﹣x，则f′（x）=a x lna﹣1，
由f′（x）=0，得x=log a（log a e），
x＞log a（log a e）时，f′（x）＞0，f（x）递增；
0＜x＜log a（log a e），f′（x）＜0，f（x）递减．
则x=log a （log a e ）时，函数f （x ）取到最小值，
故有﹣log a （log a e ）＞0，解得a ＞．
故答案为：（
，+∞）．
【点评】本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：由p ：
⇒﹣1≤x ＜2，
方程x 2﹣（a 2+1）x+a 2=0的两个根为x=1或x=a 2
，
若|a|＞1，则q ：1＜x ＜a 2，此时应满足a 2
≤2，解得1＜|a|≤
，
当|a|=1，q ：x ∈∅，满足条件， 当|a|＜1，则q ：a 2
＜x ＜1，此时应满足|a|＜1，
综上﹣．
【点评】本题主要考查复合命题的应用，以及充分条件和必要条件的应用，结合一元二次不等式的解法是解决
本题的关键．
20．【答案】 【解析】解：（1）8+（﹣）0﹣
=2﹣1+1﹣（3﹣e ） =e ﹣．
（2）lg25+lg2﹣log 29×log 32 =
=
=1﹣2=﹣1．…（6分）
【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数性质及运算法则的合理运用．
21．【答案】（1）12-=n a n ,n
n b 21=；（2）n n
n T 23
23+-=. 【解析】
试题分析：（Ⅰ1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0>d ，利用数列的前三项分别加上3,1,1后成等比数列，
求出d ，然后求解n b ；（2）写出n
n n T 212...232321321-++++=
利用错位相减法求和即可． 试题解析：解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，0>d ，
由11=a ，d a +=12，d a 213+=，分别加上3,1,1后成等比数列，] 所以)24(2)2(2d d +=+ 0>d ，∴2=d ∴122)1(1-=⨯-+=n n a n
又1log 22--=n n b a ∴n b n -=2log ，即n
n b 21
=
（6分）
考点：数列的求和．
22．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f （x ）=log 2（x ﹣3），
∴f （51）﹣f （6）=log 248﹣log 23=log 216=4； （2）若f （x ）≤0，则0＜x ﹣3≤1，
解得：x ∈（3，4] 【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数的运算性质，解答时要时时注意真数大于0，以免
出错．
23．【答案】（1）证明见解析；（2
. 【解析】
试
题解析：（1）设BD 和AC 交于点O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EO PB ，EO ⊂且平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .
（2）136V PA AB AD AB =
=，由V =
，可得32AB =，作A H P B ⊥交PB 于H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ，又313
PA AB AH PB =
=
，所以A 到平面PBC 的距离为13
.1 考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理. 24．【答案】
【解析】解：证明：2
()10f x x x x =⇔+-=，∴2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，∴211
2
22
11λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． ∵1
21111111
1212
222222
21
11111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+， （3分）
11120a a λλ-≠-，12
0λ
λ≠，
∴数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
为等比数列．
（4分）
（Ⅱ）证明：设m =
()f m m =． 由112a =及111n n
a a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．
∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *
∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>> ∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *
∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.。