2019-2020学年河南省南阳市南河店中学高二数学理期末试卷含解析

2019-2020学年河南省南阳市南河店中学高二数学理期
末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在一项调查中有两个变量x（单位：千元）和y（单位：t），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程类型的是（）
A. y＝a+bx
B. y＝c+d
C. y＝m+nx2
D. y＝p+qe x（q＞0）
参考答案：
B
散点图呈曲线，排除选项，且增长速度变慢，排除选项，故选.
2. 过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）
A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在
参考答案：
B
【考点】双曲线的应用．
【分析】过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，求得横坐标之和等于2，不符合题意；进而设直线AB为y=k（x﹣1）与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k．得出结论．
【解答】解：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．
故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x﹣1）
代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0
∵A、B两点的横坐标之和等于5，
∴，
则这样的直线有且仅有两条，
故选B．
3. 在平面上给定边长为的正，动点满足，且
，则点的轨迹是（）
A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线
参考答案：
B
略
4. 下列命题正确的个数是（）
①“在三角形ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的否命题是真命题；
②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x+y≠5，则p是q的必要不充分条件；
③存在实数x0，使x02+x0+1＜0；
④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是真命题．
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】①先写出该命题的否命题：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B，所以分这样几种情况判断即可：A，B∈（0，]，A∈（0，]，B∈（，π），A∈（，
π），B∈（0，]；或通过正弦定理判断；②根据必要不充分条件的概念即可判断该命题是否正确；③通过配方判断即可；④先求出命题的逆否命题，再判断正误即可．
【解答】解：①该命题的否命题是：在三角形ABC中，若sinA≤sinB，则A≤B；
若A，B∈（0，]，∵正弦函数y=sinx在（0，]上是增函数，∴sinA≤sinB可得到A≤B；
若A∈（0，]，B∈（，π），sinA＜sinB能得到A＜B；
若A∈（，π），B∈（0，]，则由sinA≤sin B，
得到sin（π﹣A）≤sinB，∴π≤A+B，显然这种情况不存在；
综上可得sinA≤sinB能得到A≤B，所以该命题正确；
法二：∵=，
∴若sinA＞sinB，则a＞b，从而有“A＞B”，所以该命题正确；
②由x≠2，或y≠3，得不到x+y≠5，比如x=1，y=4，x+y=5，∴p不是q的充分条件；若x+y≠5，则一定有x≠2且y≠3，即能得到x≠2，或y≠3，∴p是q的必要条件；
∴p是q的必要不充分条件，所以该命题正确；
法二：p是q的必要不充分条件?￢q是￢p的必要不充分条件，
而命题p：x≠2或y≠3，￢P：x=2且y=5，命题q：x+y≠5，￢q：x+y=5，
则￢p?￢q，而￢q推不出￢p，
故￢q是￢p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，
所以该命题正确；
③由x2+x+1=+＞0，故不存在实数x0，使x02+x0+1＜0；③错误；
④命题“若m＞1，则x2﹣2x+m=0有实根”的逆否命题是：“若x2﹣2x+m=0没有实根，则m≤1”，
由△=4﹣4m≥0，解得：m≤1，故④错误；
故①②正确，选：C．
5. 分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a+b+c=0”，求证
＜a”索的因应是（）
A．a﹣b＞0 B．a﹣c＞0 C．（a﹣b）（a﹣c）＞0 D．（a﹣b）（a﹣c）＜0参考答案：
C
【考点】F9：分析法和综合法．
【分析】由题意可得，要证＜a，经过分析，只要证（a﹣c）（a﹣b）＞0，从而得出结论．
【解答】解：由a＞b＞c，且a+b+c=0可得 b=﹣a﹣c，a＞0，c＜0．
要证＜a，只要证（﹣a﹣c）2﹣ac＜3a2，
即证 a2﹣ac+a2﹣c2＞0，即证a（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）＞0，
即证 a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＞0，即证（a﹣c）（a﹣b）＞0．
故求证“＜a”索的因应是（a﹣c）（a﹣b）＞0，
故选C．
6. 某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）.
A. B. C. D.2
参考答案：
7. 经过两点A(4 ,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则( )
A.－1
B.－3
C.0
D.2
参考答案：
B
8. 函数在区间上的最小值（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
C
，
令，解得或．
再，解得，
所以，分别是函数的极大值点和极小值点，
所以，，
，，
所以最小值为，
故选．
9. 设，则关于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是 ( )
A.实轴在x轴上的双曲线
B.实轴在y轴上的双曲线
C.长轴在x轴上的椭圆
D.长轴在y轴上的椭圆
参考答案：
D
10. 已知椭圆的离心率为，则b等于（）.
A.3
B.
C.
D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合，则= .
参考答案：
12. 已知是双曲线的左焦点，定点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为____________.
参考答案：
9
略
13. ABCD-A1B1C1D1为平行六面体，设＝a，＝b ，＝c，
E、F分别是AD1、BD的中点，则＝ .
（用向量a b c表示）
参考答案：
a－c
14. 在△ABC中，，BC=2，D是BC的一个三等分点，则AD的最大值是_____．参考答案：
如图建立坐标系，如图的外接圆满足
∵若取最大值，
在同一直线上，
设点坐标为
解得的外接圆的圆心
故答案为
15. 六个面都是平行四边形的四棱柱称为“平行六面体”.如图甲在平行四边形ABCD中，有
，那么在图乙中所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若设底面边长和侧棱长分别为a，b，c，则用a，b，c表示等
于.
参考答案：
在平行四边形中，由题意可得．
同理，在平行四边形和平行四边形中分别可得
，，
∴
．
16. 已知两个正数x，y满足,则使不等式恒成立的实数m的范围是__________
参考答案：
【分析】
由题意将代入进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．
【详解】由题意知两个正数x，y满足，
则，当时取等号；
的最小值是，
不等式恒成立，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．
17. 观察下列式子：，，，由此可归纳出的一般结论是．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}，求A∩B；A∪B．
参考答案：
【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集及并集即可．
【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}，
∴A∩B={x|2≤x＜3}，A∪B={x|x≥﹣1}．
19. 已知椭圆与直线x+y-1=0相交于A￥B两点.
若椭圆的半焦距，直线围成的矩形ABCD的面积为8，
（1）求椭圆的方程；
（2）若（O为原点），求证：；
（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率e满足，求椭圆长轴长的取值范围.
参考答案：
20. (本小题满分12分) 已知椭圆的离心率，A，B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，为AB的中点，O为坐标原点，且.
(1)求椭圆的方程;
(2)过(-1,0)的直线交椭圆于P,Q两点,求△POQ面积最大时直线的方程.
参考答案：
（1），
（2）
略
21. 已知函数f（x）=e x﹣x2﹣1，x∈R
（1）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥﹣x2+x．
参考答案：
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f′（0），求出切线方程即可；
（2）令φ（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣2x，
∴k=f′（0）=1，又f（0）=0，
切点坐标为（0，0），故所求切线方程为：y=x；
（2）证明：令φ（x）=f（x）+x2﹣x=e x﹣x﹣1，
φ'（x）=e x﹣1，由φ'（x）=0，得x=0，
当x∈（﹣∞，0）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增．
∴φ（x）min=φ（0）=0，从而f（x）≥﹣x2+x．
【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
22.
参考答案：
解析：圆锥的高，圆柱的底面半径，。