云南省师范大学附属中学近年届高三数学上学期第二次月考试题理(扫描(2021年整理)

试题理（扫描版）
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考试题理(扫描版)
云南师大附中2019届高考适应性月考卷(二） 理科数学参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题
号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 B
D A C A A C D A B C B
【解析】
1．(2i)(1i)(2)(2)i
(1i)(1i)2a a a +-++-=
+-，故选B ．
2．(3)(2)A B =-+∞=+∞，，，，故选D ．
3．sin y x x =为偶函数,当0πx <<时，sin 0x >,故选A ．
4．如图1，过点G 作GD AC ⊥，垂足为D ，当点P 位于线段AD 上时，0
GP AP <；
当点P 位于线段DC 上时，0GP AP >,故当GP AP 取得最小值时，点P 在线段
AD 上，||||||(3||)GP AP AP DP AP AP =-=--，当
3||AP =
时，取得最小值3
4-
,
故选C ．
5．一方面，由2||2||OF OH =,得
211
||||22OH OF c
=
=，故22223||||||F H OF OH c =-=;
另一方面,双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故
22
2
||F H b
a b
=
=+，于是
3c b =，即2
22234c b c a ==-，故2214a c =,得2c e a ==，故选A ．
6．根据正弦定理，由2
sin 4sin c A C =，得4ac =，则由
π
3B =
，得2224a c b +-=,
图
则ABC S =△
1
(164)34-=A ．
7．该框图是计数90到120（含90和120）之间的个数，可知5k =,故选C 。

8．设在这周能进行决赛为事件A ，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件3A ，4A ，5A ，则3
4
5A A A A =,又事件3A ,4A ，5A 两两互斥,则有
345()()()()P A P A P A P A =++=
11111171112222228⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯+-⨯-⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D ．
9．如图2，将三棱柱补为长方体1111ABDC A B D C -，异面直线1AC 与1A B 的所成角即为1AC D ∠，设11AA =,则由题意知
11
cos 5255
AC D ∠=
=
⨯⨯,故选A ．
10．
π()3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛
⎫=+=+ ⎪
⎝⎭,由五点作图法可得其图象如图3，
由题
意得11π17π
π66ωω<
≤，即
1117
66ω<≤，故选B ．
11．令0a b ==，则(0)(0)(0)f f f =,又因为(0)0f ≠，所以(0)1f =，故①正确；当0x >时，()1f x >，当0x =时，(0)1f =，即当0x ≥时,()10f x >≥；当0x <时,0x ->，则()0f x ->，由题意得()()()f x x f x f x -=-，则
(0)1
()0()()f f x f x f x =
=>--,
π
6x ω+
… 2π
3π
x
π6ω-
… 11π6ω
17π6ω
π2sin 6x ω⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭ 0
…
0 0
图
图
故②成立;对任意的12x x ∈，R ,不妨设12x x >,故存在正数z 使得12x x z =+，则
12222()()()()()()f x f x f x z f x f x f z -=+-=22()()(()1)f x f x f z -=-,因为当0x >时，
()1f x >，所以()10f z ->，因为对任意的x ∈R ，有()0f x >，所以2()0f x >，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以()f x 是R 上的增函数，故③错误，故选C ．
12．如图4，设内切圆的圆心为H ，连接2AH BH F H ，，，设内切圆的半
径为r ，则2212||||||||||AB AF BF AF AF ++=++12||||48BF BF a +==，
2221
(||2ABF ABH AHF BHF S S S S AB =++=+
△△△△22||||)4AF BF r r +⨯=，即2
4
ABF S r =
△，当2ABF △的面积最大时，内切圆的半径r 最大，由题意知,直线不
会与x 轴重合,可设直线AB ：1my x =+，11()A x y ，，22()B x y ，,由22
1143my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
，得
22(34)690m y my +--=，22
12(1)m ∆=+，2121212111||||22ABF AF F BF F S S S F F y =+=
+△△△
2122121212121
1
1121
||||||(||||)||
||22
2
2m F F y F F y y F F y y ∆+=
+=
-=⨯⨯=
22212112
1
311m m m +==
++
+，令21m +=1t ≥，则
2213131m t t m ++
=+=
+
()f t ，当1t ≥时，函数()f t 单调递增,所以()(1)4f t f =≥，当()f t 取得最小值4
时，
2
ABF S △取得最大值3，此时
34r =
，所以内切圆的面积的最大值为9π
16，故选B ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)
图
题号 13
14
15
16
答案 12y x =
263⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
2(12)-
16π
【解析】
13．
21e 2x
y '=，则012x y ='=
，故12y x =． 14．可行域如图5，根据图形可得
2
63z -≤≤
．
15．由题意得sin cos sin cos αααα+=,两边同时平方得2
12sin cos (sin cos )αααα+=,
即2
sin 24sin240αα=--，解得sin22(12)α=-或sin22(1+2)1α=>舍去．
16．如图6,在正三棱锥P ABC -中，D 为BC 的中点，E 为ABC △的中心，
PA PB PC ==，由余弦定理可得222
2cos AB PA PB PA PB APB =+-∠，
解得22PA =，即22PA PB PC ===，在ABC △中，3AD =，则
2AE =，在PAE △中，22
2PE AP AE =-=,则AE BE CE ===
2PE =，故E 为球心，球的半径2r =，所以球的表面积为2
4π16πr =．
三、解答题(共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
（1)解：由题知当1n =时，
1131
222a S ==
+=；
当2n ≥时，2213131(1)(1)31
2222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤
=-=+--+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
所以
31n a n =-． ……………………………………………………………………
（3分）
图
图
设{}n b 的公比为q ,则21113
22b b q b q =+=
，，解得12q =或32q =-
（舍去），
所
以
1
2
11222n n n b --⎛⎫
⎛⎫
=⨯= ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
． ………………………………………………………（6
分）
(2）证明：由(1）得
2312n n n c --=
，则101
2258
31
2222n
n n T ---=++++
，
两边同乘12，得01211258
31
2
2222n n n T --=+++
+
， ……………………………
（8分）
上面两式相减，得1012
1111233331631
102
2222
222n n n n n n n T -------=+++
+-
=--,
所
以
235
202n n n T -+=-
． ………………………………………………………………（10
分)
因为2
3502n n -+>，所以20n T <． ……………………………………………………
（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1)由表一得
3456 2.534 4.5
4.5 3.544x y ++++++=
===，，
4
2
222
1
345i
i x
==++∑2686+=, …………………………………………………………
(2分）
∴
23 2.543546 4.54 4.5 3.566.563
0.7
864 4.55b ⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-=
==-⨯， …………………（4
分)
ˆ 3.50.7 4.50.35a
=-⨯=， 所以所求线性回归方程为
ˆ0.70.35y x =+． ………………………………………（6分） (2）当7x =时，ˆ0.770.35 5.25
y =⨯+=，
从而能够节省
6.5 5.25 1.25
-=吨原材
料． ………………………………………（8分)
（3）由表二得22
200(90158510)8
2.706
100100175257K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯, ……………………（10
分）
因此，没有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异"． ………………………………………………………………………………（12分） 19．(本小题满分12分)
（1）证明：2AC BC PC ===，22AB PA PB ===，
则222AC PC AP +=，222
BC PC BP +=，
所以PC AC ⊥,PC BC ⊥，
………………………………………（2分)
又因为AC BC C =,AC ⊂平面ABC ,BC ⊂平面ABC ， 所以PC ⊥平面ABC ． ………………………………………
(4分)
(2)解：222
AC BC BA +=，则AC BC ⊥,即AC ，BC ，PC
两两垂直,如图7，建立空间直角坐标系，则(200)A ，，, (002)P ，，，(020)B ，，，
设(00)(02)D a a ∈，，，，，则PA =(202)-，，，PB =
(022)-，，，(02)PD a =-，，, ……………………（6分）
平面PBC 的法向量1u =(100)，，, 设平面PBD 的法向量2()u x y z =，，，
则22020y z ax z -=⎧⎨
-=⎩，，令1z =，可得
2211u a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，，． 1212cos30||||u
u u u ︒=
，解得
a =
, ……………………………………（8分）
则
602PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，平面PAB 的法向量3(111)u =，，， ………………………(10分）
设PD 与平面PAB 的所成角为θ，则
33||14sin 7||
||
PD u PD u θ
=
=
-,
所以所求角的正弦值为.
………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
(1）证明：设点001122()()()M x y A x y B x y ，，，，，，
则2
004x P x ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，,120120
22x x x y y y +=+=，,
由2
4x y =，得
2
14y x
=
，
故
12y x '=
,即抛物线C 在点P 处的切线的斜率为
12P x x k y x ='==
．
………………………………………………………………………………（2分)
又直线l 的斜率
22
12
0012121212244442AB
x x x x y y x x k x x x x -
-+=====--，即AB P k k =，
所以直线
l
平行于抛物线
C
在点
P
处的切
线． ………………………………………（4分)
（2）解：由||0PM a =>，得2
04x M x a ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭，， 于是直线2000()
42x x l y a x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭：，即22
0000
0()2424x x x x l y x x a x a ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭：．
………………………………………………………………………………（6分）
联立直线l 与抛物线C 得2200
424x y x x y x a ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，
，
消去y 得2200240x x x x a -+-=,
∴
222
120120002444(4)160x x x x x x a x x a a +==-∆=--=>，，， ………………………………………………………………………………（8分）
∴12111||||2222PAB S PM x x a =
-=⨯=△
故
PAB
△的面积为定
值
2 ………………………………………………（12分)
21．（本小题满分12分）
(1)证明：()g x 的定义域为(0)+∞，，1
()e x g x x '=-
，
令()()G x g x '=，则
21
()e 0x G x x '=+
>,
所以()G x 在(0)+∞，上单调递增，即()g x '在(0)+∞，上单调递增， ………………（2分)
1
31e 303g ⎛⎫
'=-< ⎪⎝⎭，(1)e 10g '=->，
故存在0113x ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭，，使得0001()e 0x g x x '=-=,(*）
当0(0)x x ∈，时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当0()x x ∈+∞，时,()0g x '>,()g x 单调递增，
所以对(0)x ∀∈+∞，,均有
00()()e ln x g x g x x =-≥，① 由（＊）式可得0
01e x x =,代入①式得0000
0000011()e ln e ln e e x x x x g x x x x x =-=-=+=+，
又00x >，所以
00
1
2x x +
≥，当且仅当01x =时取“="，但013x ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭,1，故0012x x +>,
故0()()>2g x g x ≥． ……………………………………
（6分）
(2）解：由题得
2
()()()e ln 0x h x g x f x x x ax x =-=-+->，， 于是函数()h x 有两个零点等价于方程2
e ln 0x x x ax -+-=有两个不同的解，
因为0x ≠，所以又等价于2
e ln 0x x x a x -+-=有两个不同的解．
令2e ln ()x x x H x a x -+=-，则22e ln e 1
()x x x x x H x x ++--'=
,………………………（8
分)
再令2
()e ln e 1x
x
p x x x x =++--，则
1
()e 20x p x x x x '=++
>，
所以()p x 在(0)+∞，上单调递增．
又(1)0p =,所以当(01)x ∈，
时,()0p x <；当(1)x ∈+∞，时,()0p x >，
故当(01)x ∈，
时，()0H x '<;当(1)x ∈+∞，时，()0H x '>， 于是当(01)x ∈，
时，()H x 单调递减；当(1)x ∈+∞，时，()H x 单调递增，即(1)1e H a =+- 是()H x 在(0)+∞，上的最小值，
于是，若(1)1e 0H a =+-≥,即1e a +≤时，则当(01)x ∈，
时,()(1)0H x H >>， 当(1)x ∈+∞，时，()(1)0H x H >>，故()H x 在(0)+∞，上至多有一个零点1x =； ………………………………………………（10分）
若(1)1e 0H a =+-<，即1e a >+时，则当(01)x ∈，时，由于1
(01)
a ∈，，(1)0H <,
1
1
211e ln
11111e ln 20
1a
a a a H a a a a a a a a a
a a a -+⎛⎫⎛⎫=-=-+->+-=+> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
故()H x 在(01)，上有且仅有一个零点
111x a ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭，； 同理,当(1)x ∈+∞，时，由于(1)a ∈+∞，，(1)0H <，
2e ln e ln 22()0
a a a a a H a a a a a a a a a a -+-=-=+->+-=>，
故()H x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点2(1)x a ∈，，即当(0)x ∈+∞，时，()H x 共有两个零点12x x ，．
综上，当1e a >+时，()h x 有两个零点． ……………………………………
（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】
解：（1)C 的直角坐标方程为22
1
43x y +=, ……………………………………
（2分）
l
的参数方程为
1cos ()sin x t t y t αα=+⎧⎪⎨
=⎪⎩，
为参数，． ………………………………………（4
分）
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程
得
2(1cos )14t α++=，
整理得
222(3cos 4sin )2(3cos )10
t t αααα+++-=，
………………………………………………………………（6分）
所以
122
2
211
||||||||3cos 4sin 3sin PA PB t t ααα==
=++， …………………………
（8分）
而[0π)α∈，，故2
sin [01]α∈，
, 所以2111||||3sin 43PA PB α⎡⎤=
∈⎢⎥
+⎣⎦，． ………………………………………………
（10分)
23．(本小题满分10分)【选修4-5：不等式选讲】 （
1
）
解
：
由
240()404244x x f x x x x -+⎧⎪
=<<⎨⎪-⎩
，≤，
，，
，≥， ……………………………………………（2分）
得min ()4f x =，要使()|2|f x m +≥恒成立，
只要|2|4m +≤，即62m -≤≤,故实数m 的最大值为2． ……………………（5分）
（2）证明：由（1）知222a b +=，又22
2a b ab +≥，故1ab ≤，
222222222()4242242(1)(21)a b a b a b ab a b ab a b ab ab +-=++-=+-=--+,
∵01ab <≤，∴
222
()42(1)(21)0a b a b ab ab +-=--+≥,
∴
≥．……………………………………………………………………
a b ab
2
(10分）。