初中数学常考难点模型-辅助圆思想

辅助圆思想
【例1】在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线
段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．⑴若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请
补全图形，并写出CDB ∠的度数；
⑵在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想
CDB ∠的大小（用含α的代数式表示）
，并加以证明；（2012年北京中考节选）
【解析】⑴图略，30CDB ∠=︒．
⑵如图，连接PC ，
根据对称性可知，PC PA PQ ==，以P 为圆心、PA 长为半径作P ⊙，
则1
2
ACQ APQ α∠=∠=，
∴90CDB α∠=︒-．
【例2】已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==，ABO DCO =∠∠．
连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点．
图1
N
M
O P
D
C
B
A
图2
N
M O P
D
C
B
A
⑴如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠°，则PMN △的形状是
___________，此时AD
BC
=________；
⑵如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，
并计算AD
BC
的值（用含α的式子表示）；
题型一：共顶点等线段
（海淀一模）
【解析】⑴等边三角形，1；
⑵证明：连接BM 、CN ．
由题意，得BM OA ⊥，CN OD ⊥，90AOB COD α∠=∠=︒-．
∵A 、O 、C 三点在同一直线上，∴B 、O 、D 三点在同一直线上．∴90BMC CNB ==∠∠°．
∵P 为BC 中点，∴在Rt BMC △中，1
2
PM BC =．
在Rt BNC △中，1
2
PN BC =．
∴PM PN =．
∴B 、C 、N 、M 四点都在以P 为圆心，1
2
BC 为半径的圆上．
∴2MPN MBN =∠∠．
又∵1
2
MBN ABO α∠=∠=，∴MPN ABO =∠∠．
∴PMN BAO △∽△．∴MN AO
PM BA =
．由题意，12MN AD =，又1
2
PM BC =．
∴AD MN BC PM =．∴AD AO BC BA
=．在Rt BMA △中，sin AM
AB
α=．
∵2AO AM =，∴2sin AO BA α=．∴2sin AD
BC
α=．
【例3】已知90AOB ∠=︒，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM
上移动，点P 不与点O 重合．如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；
R
B
P C A
D O
G
S
M 3
21G N S
H O
D
A C M P
B
R 【解析】PC 与PD 的数量关系是相等．
常规证法：过点P 作PH OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别为点H N 、．∵90AOB ∠=︒，易得90HPN ∠=︒，∴190CPN ∠+∠=︒，而290CPN ∠+∠=︒，∴12∠=∠．
∵OM 是AOB ∠的平分线，∴PH PN =，
又∵90PHC PND ∠=∠=︒，∴PCH PDN △≌△．∴PC PD =．
题型二：共斜边的直角三角形
P
O
N
M D
C
B
A
辅助圆证法：∵90COD CPD ∠=∠=︒，∴C O D P 、、、四点共圆，∵OP 平分COD ∠，∴COP POD ∠=∠，∴PC PD =．
【例4】如图，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 上一点，ME AM ⊥交BCD ∠的外角平分线
于E ，求证：AM EM =．
【解析】连接AC AE
、∵四边形ABCD 是正方形，∴45ACD ∠=︒，
∵CE 是外角平分线，∴45DCE ∠=︒，∴90ACE ∠=︒，∵90AME ∠=︒，∴A M C E 、、、四点共圆，
∴45AEM ACB ∠=∠=︒，∴45EAM ∠=︒，∴AM EM =．
【例5】在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三
角板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．⑴如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；
⑵将三角板从⑴中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
①∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；
②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．
备用图
（朝阳一模）
【解析】⑴在矩形ABCD 中，90A D ∠=∠=︒，AP =1，CD =AB =2，
∴PB=，90ABP APB ∠+∠=︒．∵90BPC ∠=︒，
∴90APB DPC ∠+∠=︒．∴ABP DPC ∠=∠．∴△ABP ∽△DPC ．
∴AP PB CD PC =，即12PC =．
∴PC=．
⑵①∠PEF 的大小不变．
理由：过点F 作FG ⊥AD 于点G ．∴四边形ABFG 是矩形．∴90A AGF ∠=∠=︒．
∴GF=AB=2，90AEP APE ∠+∠=︒．∵90EPF ∠=︒，
∴90APE GPF ∠+∠=︒．∴AEP GPF ∠=∠．∴△APE ∽△GFP .
∴221
PF GF PE AP ===．∴在Rt △EPF 中，tan ∠PEF=2PF
PE
=．即tan ∠PEF 的值不变．
∴∠PEF 的大小不变．
②5.辅助圆证法：连接PB ，
∵90EPF EBF ∠=∠=︒，∴P E B F 、、、四点共圆，∴PEF PBF ∠=∠，∴PEF ∠不会发生变化．
【例6】如图，在四边形ABCD 中，AC 是BAD ∠的平分线，若180B D ∠+∠=︒，求证：BC CD =．【解析】∵180B D ∠+∠=︒，∴ABCD 是圆内接四边形，
∵AC 平分BAD ∠，∴CAD BAC ∠=∠，∴BC CD =．
【例7】已知：如图，正方形ABCD 中，BD 为对角线，
45MAN ∠=︒，将MAN ∠绕顶点A 逆时针旋转α（045α<<），旋转后角的两边分别交BD 于点P 、点Q ，交BC CD ，于点E 、点F ，联结EF EQ ，．在MAN ∠的旋转过程中，AEQ ∠的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．
【解析】∵BD 是对角线，∴45CBD ∠=︒，
∵45MAN ∠=︒，∴A B E Q 、、、四点共圆，∴45AEQ ABD ∠=∠=︒，∴AEQ ∠的大小不发生改变．
题型三：四点共圆的简单应用
【例8】（海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在△ABC 中，分别以AB ，
AC 为直径在△ABC 外作半圆1O 和半圆2O ，其中1O 和2O 分别为两个半圆的圆心.F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点.
⑴连结1122,,,,,O F O D DF O F O E EF ，证明：12DO F FO E △≌△；
⑵如图二，过点A 分别作半圆1O 和半圆2O 的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q ，连结PQ ，若∠ACB =90°,DB =5，CE =3，求线段PQ 的长;
⑶如图三，过点A 作半圆2O 的切线，交CE 的延长线于点Q ，过点Q 作直线FA 的垂线，交BD 的延长线于点P ，连结PA .证明：PA 是半圆1O 的切线.
【解析】⑴如图一，∵1O ，2O ，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，
∴1O F ∥AC 且1O F =A 2O ，2O F ∥AB 且2O F =A 1O ，
∴∠B 1O F=∠BAC ，∠C 2O F=∠BAC ，∴∠B 1O F=∠C 2O F ∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点，
∴1O F =A 2O =2O E ，2O F =A 1O =1O D ，∠B 1O D =90°，∠C 2O E =90°，∴∠B 1O D=∠C 2O E .∴∠D 1O F=∠F 2O E .∴12DO F FO E △≌△.⑵如图二，延长CA 至G ，使AG =AQ ,连接BG 、AE .∵点E 是半圆2O 圆弧的中点，∴AE=CE=3
∵AC 为直径，∴∠AEC =90°，∴∠ACE =∠EAC =45°，AC =，
∵AQ 是半圆2O 的切线，∴，∴∠ACE =∠AQE =45°，∠GAQ =90°∴AQ =AC =AG =同理：∠BAP =90°，AB =AP =∴CG =∠GAB =∠QAP ∴AQP AGB △≌△，∴PQ =BG
∵∠ACB =90°，∴BC =∴BG =，∴PQ=.⑶证法一：如图三，设直线F A 与PQ 的垂足为M ，过C 作CS ⊥MF 于S ，过B 作BR ⊥MF 于R ，连接DR 、AD 、DM.∵F 是BC 边的中点，∴ABF ACF S S =△△.∴BR=CS ，
由⑵已证∠CAQ =90°,AC =AQ ，∴∠2+∠3=90°
∵FM ⊥PQ ,∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,
同理：∠2=∠4,
图一
图二
Q
图三
图二
∴AMQ CSA
△≌△，∴AM=CS，∴AM=BR，
同⑵可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8,∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM
∴DBR DAM
△≌△，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，
O直径，
∴PA⊥AB,又AB是半圆
1
O的切线.
∴PA是半圆
1
O
P
C
B
A 训练1.
如图，PA PB 、分别切O ⊙于A B 、两点，PC 满足AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，且AP PC ⊥，2PAB BPC ∠=∠，求ACB ∠的度数．
【解析】∵PA PB 、都是O ⊙的切线，∴PA PB =∵AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅，∴()()0
AB AC PB PC +-=∴PB PC =，∴A B C 、、三点都在以P 为圆心，PA 为半径的圆上．设ACB α∠=，则2APB α∠=，∴902BPC α
∠=︒-∵2PAB BPC ∠=∠，∴()29021804PAB PBA αα
∠=∠=︒-=︒-在PAB △中，180APB PAB PBA ∠+∠+∠=︒，
即()218042180αα︒-+=︒
∴6180α=︒，∴30α=︒，即30ACB ∠=︒．
训练2.
如图，E F 、分别是正方形ABCD 的边CD AD 、的中点，BE CF 、相交于H ，求证：AH AB =．
【解析】连接BF
∵E F 、是CD AD 、的中点，∴BCE CDF △≌△，∴CBE DCF ∠=∠，
∴90DCH BEC CBE BEC ∠+∠=∠+∠=︒，即90BHF ∠=︒，∴A B H F 、、、四点共圆，∴AHB AFB ∠=∠，CFD CFD ∠=∠，
很明显AFB CFD ∠=∠，∴ABH AHB ∠=∠，∴AH AB =．
训练3.如图，已知在五边形ABCDE 中，3BAE α∠=，BC CD DE ==，
且1802BCD CDE α∠=∠=︒-．求证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠．【解析】连接BD CE 、，
∵BC CD =，1802BCD α∠=︒-，
∴CBD CDB α∠=∠=，∴1803BDE α∠=︒-，
∴180BAE BDE ∠+∠=︒，∴A B D E 、、、四点共圆．同理A B C E 、、、四点共圆，∴A B C D E 、、、、五点共圆，
∵BC CD DE ==，∴BAC CAD DAE ∠=∠=∠．
题型一共顶点等线段
【练习1】
如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数333y x =+的图象与x 轴交于点A ，
与y 轴交于点B ，点C 的坐标为()30，
，连结BC ．⑴求证：ABC △是等边三角形；
⑵点P 在线段BC 的延长线上，连结AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点D ，分别连结EA 、EP ．
①若6CP =，直接写出AEP ∠的度数；②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重合），AEP ∠的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出ADP ∠的度数；
【解析】⑴证明：如图，
∵一次函数333+=x y 的图象与x 轴交于点A （－3，0），B （0，33）．∵C （3，0）．∴OA ＝OC ．又y 轴⊥AC ，∴AB ＝BC ．在Rt △AOB 中，3tan ==
∠AO
BO
BAO ．∴∠BAC =60°.∴△ABC 是等边三角形.⑵①答：∠AEP =120°．
②解：如图，作EH ⊥CP 于点H ，
∵y 轴垂直平分AC ，△ABC 是等边三角形，
∴EA =EC ，∠BEA ＝∠BEC ＝AEC ∠2
1，∠DEP =30°．
∴∠BEH=60°．
∵ED 垂直平分AP ，∴EA=EP ．
∴EA ＝EC ＝EP ，∴EH 垂直平分CP ，在△CEP 中，∠CEH =∠PEH ＝PEC ∠2
1，
∵∠BEH=∠BEC ＋∠CEH ＝AEC ∠2
1＋PEC ∠2
1=60°．
∴∠AEP=∠AEC ＋∠PEC ＝120°．
辅助圆的证法：
∵点E 在y 轴上，∴EA EC =，
∵EC EP =，∴以E 为圆心、EA 长为半径作圆，C P 、在该圆上，∴()2180120AEP ACP ∠=︒-∠=︒．
题型二共斜边的直角三角形
【练习2】
如图，正方形ABCD 的中心为O ，面积为22013cm ，P 为正方形内一点，且45OPB ∠=︒，:5:6PA PB =，求PB 的长．
O
P D
C
B A
x
O
A
B
C
1
P
E
y 1
1
1y
O
C
B
A
【解析】连接OA OB 、，
∵ABCD 是正方形，∴90AOB ∠=︒，45OAB ∠=︒，∵45OPB ∠=︒，∴A B O P 、、、四点共圆，∴90APB ∠=︒．
在Rt ABP △中，90APB ∠=︒，∴222PA PB AB +=，设56PA k PB k ==，，
则2225362013k k +=，
解得233k =，∴k =
∴PB =．
题型三四点共圆的简单应用
【练习3】设D 是等腰Rt ABC △底边BC 的中点，过C D 、两点（但不过点A ）任作一圆交直
线AC 于点E ，连接BE 交此圆于点F ．求证：AF BE ⊥．
【解析】连接EF ，FD
由题意可知C D F E 、、、四点共圆，
⑴若E 在线段AC 上，则45BFD ACB ∠=∠=︒，∵45BAD ∠=︒，∴A B D F 、、、四点共圆，∴90AFB ADB ∠=∠=︒，∴AF BE ⊥．
⑵若E 在AC 的延长线上，则45DFE ACB ∠=∠=︒，∵45BAD ∠=︒，∴A B F D 、、、四点共圆，∴90AFB ADB ∠=∠=︒，∴AF BE ⊥．
⑶若E 在CA 的延长线上，则45BFD ACB ∠=∠=︒，∵45BAD ∠=︒，∴A D B F 、、、四点共圆，
∴180AFB ADB ∠+∠=︒，∴90AFB ADB ∠=∠=︒，∴AF BE ⊥．
综上所述，命题成立．。