2019年考研数学模拟测试考题(含答案)
2019新考研高等数学模拟测试题目(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰. 解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰ 11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444fx f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰2．利用微分求下列各数的近似值：⑴⑵ ln 0.99；⑶ arctan1.02.解：⑴ 113x ≈+，有 112(1) 2.0083380==≈⋅+⨯=. ⑵ 利用近似公式ln(1)x x +≈，有ln 0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-⑶ 取()arctan f x x =，令01,0.02x x ==，而21()1f x x'=+，则 21arctan1.02arctan10.0211=0.7954.≈+⨯+ 3．利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x→∞-+解：⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →， 2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=4．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=5．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/2 2.(1)y k y ''=='+6．计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解：cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时，0,1y y '''==- ， 故 23/2 1.(1)y k y ''=='+7．一飞机沿抛物线路径210000x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O 处飞机速度v =200 m ·s -1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力.。
2019新考研高等数学模拟测试试题(含标准答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面一固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积.见图17.(17)解：以底面上的固定直径所在直线为x 轴，过该直径的中点且垂直于x 轴的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则底面圆周的方程为：x 2+y 2=R 2．过区间[-R ，R ]上任意一点x ，且垂直于x 轴的平面截立体的截面为一等边三角形，若设与x 对应的圆周上的点为(x ，y )，则该等边三角形的边长为2y ，故其面积等于A ()x =34()2y 2=3y 2=3()R 2-x 2 ()-R ≤x ≤R 从而该立体的体积为 V =⎠⎛-R R A ()x d x =⎠⎛-R R 3()R 2-x 2d x=433R 3．2．求下各微分方程的通解：(1)22e x y y y '''+-=;解： 2210r r +-=1211,2r r ∴=-= 得相应齐次方程的通解为 1212e e x xy c c -=+令特解为*e x y A =,代入原方程得 2e e e 2e x x x x A A A +-=,解得1A =, 故*e x y =,故原方程通解为 212e e e xx x y c c -=++. 2(2)25521y y x x '''+=--;解：2250r r +=1250,2r r ==- 对应齐次方程通解为 5212ex y c c -=+ 令*2()y x ax bx c =++, 代入原方程得222(62)5(32)521ax b ax bx c x x ++++=--比较等式两边系数得137,,3525a b c ==-= 则 *321373525y x x x =-+ 故方程所求通解为 532212137e 3525x y c c x x x -⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭. (3)323e x y y y x -'''++=;解：2320r r ++=121,2r r =-=-,对应齐次方程通解为 212e e x x y c c --=+令*()e xy x Ax B -=+代入原方程得 (22)e 3e x x Ax B A x --++=解得 3,32A B ==- 则 *23e 32x y x x -⎛⎫=-⎪⎝⎭ 故所求通解为 22123e e e 32x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. (4)25e sin 2x y y y x '''-+=;解：2250r r -+=1,212r i =±相应齐次方程的通解为12e (cos 2sin 2)x y c x c x =+令*e (cos 2sin 2)x y x A x B x =+，代入原方程并整理得。
2019年新考研高数模拟训练考题(含答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上.解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.2．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ；(2)双纽线r 2 = a 2cos2θ；(3)圆x 2+y 2 = 2ax ．解：(1)()()()()()2π3202π2π242222002π202π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 43d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-⋅-==⋅=--=--+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得cos x a =sin y a =从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．于是面积为：[]π24π4π24π4212d d 2cos 2d sin 22L A x y y x a a a θθθ--=⋅-===⎰⎰ (3)圆x 2+y 2=2ax 的参数方程为cos 02πsin x a a y a θθθ=+⎧≤≤⎨=⎩ 故()()[]()2π022π021d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2πcos sin LA x y y x a a a a a θθθθθθθ=-=-=+=⋅-⎰⎰⎰3． 设212s gt =，求2d d t s t =. 解：d d s gt t =，故2d 2d t s g t ==.4．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x ---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x +++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin 0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-,。
2019考研高等数学模拟训练考题(含解析)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．求下列函数的最大值、最小值：254(1) (), (,0)f x x x x=-∈-∞； 解：y 的定义域为(,0)-∞，322(27)0x y x +'==，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增, 因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞，故f (x )无最大值.(2) () [5,1]f x x x =+∈-；解：10y '==，在(5,1)-上得唯一驻点34x =，又 53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ,故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545. 42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11,故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14.2．求下列微分方程的通解：(1)20y y y '''+-=;解：特征方程为 220r r +-=解得 121,2r r ==-故原方程通解为 212e e .x x y c c -=+(2)0y y ''+=;解：特征方程为 210r +=解得 1,2r i =±故原方程通解为 12cos sin y c x c x =+22d d (3)420250d d x x x t t-+=; 解：特征方程为 2420250r r -+= 解得 1252r r == 故原方程通解为 5212()e t x c c t =+.(4)450y y y '''-+=;解：特征方程为 2450r r -+= 解得 1,22r i =±故原方程通解为 212e (cos sin )x y c x c x =+.(5)440y y y '''++=;解：特征方程为 2440r r ++= 解得 122r r ==-故原方程通解为 212e ()x y c c x -=+(6)320y y y '''-+=.解：特征方程为 2320r r -+= 解得 1,2r r ==故原方程通解为 212e e x x y c c =+.3．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x ---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x +++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin 0(0),x x y x →==故函数在0x =处连续.。
2019考研数学模拟测试考题(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________ 考号：__________一、解答题1．用定积分的几何意义求下列积分值:10(1)2 d x x ⎰； 解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.0(2)(0)x R >⎰ .解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R .2．求下各微分方程的通解：(1)22e x y y y '''+-=;解： 2210r r +-=1211,2r r ∴=-= 得相应齐次方程的通解为 1212e e x xy c c -=+令特解为*e x y A =,代入原方程得 2e e e 2e x x x x A A A +-=,解得1A =, 故*e x y =,故原方程通解为 212e e e xx x y c c -=++. 2(2)25521y y x x '''+=--;解：2250r r +=1250,2r r ==- 对应齐次方程通解为 5212e x y c c -=+令*2()y x ax bx c =++, 代入原方程得 222(62)5(32)521ax b ax bx c x x ++++=--比较等式两边系数得137,,3525a b c ==-= 则 *321373525y x x x =-+ 故方程所求通解为 532212137e 3525x y c c x x x -⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭. (3)323e x y y y x -'''++=;解：2320r r ++=121,2r r =-=-,对应齐次方程通解为 212e e x x y c c --=+令*()e xy x Ax B -=+代入原方程得 (22)e 3e x x Ax B A x --++=解得 3,32A B ==- 则 *23e 32x y x x -⎛⎫=-⎪⎝⎭ 故所求通解为 22123e e e 32x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. (4)25e sin 2x y y y x '''-+=;解：2250r r -+=1,212r i =±相应齐次方程的通解为12e (cos 2sin 2)x y c x c x =+令*e (cos 2sin 2)xy x A x B x =+，代入原方程并整理得 4cos24sin 2sin 2B x A x x -=得 1,04A B =-= 则 *1e cos 24x y x x =- 故所求通解为 121e (cos 2sin 2)e cos 24x x y c x c x x x =+-. (5)2y y y x '''++=;解：2210r r ++=。
2019最新版考研数学模拟测试考题(含答案解析)
2019最新考研数学模拟试题（含答案）学校：__________考号：__________一、解答题1．用定积分的几何意义求下列积分值:10(1)2 d x x ⎰； 解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.0(2)(0)x R >⎰ .解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R . 2．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度大小为z ρ=. 22221:():22xy z x y D x y ∑=++≤221d d ()d 2xyD M s z s xy x y ∑∑ρ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 12π222001222205322220d (1)d 2π1)(1)(1)2π2π221)(1)(1)21553r r r r r r d r r r θ=+=+-++⎡==+-+⎢⎥⎣⎦⎰3．3arccos3x y -=-求3x y ='. 解： 21(6)3x x y x ---'=-313x y ='=4．求函数1()f x x=在01x =-处的n 阶泰勒公式. 解： 121211(1)(1)1(1)n n n n n x x x x xx θ+++=--++-+-++ 12211()1[(1)](1) {1(1)(1)(1)} (01).[1(1)]n n n f x x x x x x x x θθ++∴==-+-++=-++++++++<<-+5．求函数()e x f x x =的n 阶麦克劳林公式. 解： 21e 1e 2!(1)!!n n xx x x x x n n θ-=+++++- 312()e e (01)2!(1)!!n n x x x x x f x x x x n n θθ+∴==+++++<<- 6．计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的曲率. 解：cos ,sin y x y x '''==- .当π2x =时，0,1y y '''==- ， 故 23/21.(1)y k y ''=='+7．求曲线y =ln(sec x )在点(x ，y )处的曲率及曲率半径.解：2tan ,sec y x y x '''==故 223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ''==='++ 1sec R x k==.8．函数()(2)(1)(1)(2)f x x x x x x =--++的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？ 解：因为(2)(1)(0)(1)(2)0f f f f f ===-=-=，则分别在[－2，－1]，[－1，0]，[0，1]，[1，2]上应用罗尔定理，有1234(2,1),(1,0),(0,1),(1,2),ξξξξ∈--∈-∈∈使得1234()()()()0f f f f ξξξξ''''====.因此，()f x '至少有4个零点，且分别位于。
2019新考研数学模拟考试试题(含参考答案)
2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________考号：__________一、解答题1．利用定义计算下列定积分：（1） d ();ba x x ab <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n -=+=- 记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b a x n -∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式 211()2(1)()[()]()2n n i i i i i b a b a n n f x a b a a b a n n n ξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑ 由定积分定义得220122()(1) d lim ()lim[()]21 ().2n b i i a n i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰ (2) 10e d .x x ⎰ 解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n ==-记每个小区间长度1,i x n ∆=取 (1,2,,),i i x i n ξ==则和式111()i n n n i i i i f x en ξ==∆=∑∑ 12101111111e d lim e lim (e e e )1e (1e )1e (e 1)lim lim 1e e 11e (e 1)1lim e 1.1i nn xn n n n n n i n n n n n n n n n x n n n n n n n →∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2．证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略3．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x ---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x +++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩ 解：因为201lim sin 0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-, 故函数在0x =处可导.(3) ,1, 1.2,1,x x y x x x ≤⎧==⎨->⎩解：因为1111lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1(1)lim lim 111x x f x f x f x x ---→→--'===-- 11()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +++→→---'===--- (1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.4．设()ln(1)f x x =+，求()().n fx 解：()1(1)!(ln )(1)n n n n x x --=-⋅。
2019新考研数学模拟考试考题(含答案解析)
故应该提高价格，且应提高5元.
6．设 在 上有 阶连续导数，在 内有 阶导数，且 试证：在 内至少存在一点 ，使 .
证明：首先，对 在 上应用罗尔定理，有 ，即 ，使得 ；其次，对 在 上应用罗尔定理，有 ，即 ，使得 一般地，设在 内已找到 个点 其中 使得 ，则对 在 上应用罗尔定理有 使得 .
故
20．应用格林公式计算下列积分：
(1) ，其中L为三顶点分别为(0,0)，(3,0)பைடு நூலகம்(3,2)的三角形正向边界；
(2) ，其中L为正向星形线 ；
(3) ，其中L为抛物线2x=πy2上由点(0,0)到( ,1)的一段弧；
(4) ，L是圆周 上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；
(5) ，其中m为常数，L为由点(a,0)到(0,0)经过圆x2+y2=ax上半部分的路线（a为正数）．
图11-4
解：(1)L所围区域D如图11-4所示，P=2x-y+4，
Q=3x+5y-6， ， ，由格林公式得
2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________
题号
一
总分
得分
一、解答题
1．利用习题22(2)证明：
,
并由此计算 (a为正常数)
证明：由习题22(2)可知
又
故等式成立.
2．求由下列方程所确定的隐函数 的二阶导数 ：
(5) ；
解: ，
令 ，得驻点 .
故 为极大值， 为极小值.
(6) ；
解: ,令 ，得驻点 且在定义域 内有一不可导点 ，当 时， ;当 时， ,故 为极大值点，且极大值为 .
2019新版考研数学模拟训练题目(含答案解析)
2019最新考研数学模拟试题（含答案） 学校：__________ 考号：__________一、解答题1．证明：（1） 10lim 0;n n x →∞=⎰ 证明：当102x ≤≤时，0,n n x ≤≤ 于是111200110d (),12n n x x n +≤≤=⋅+⎰⎰ 而111lim ()0,12n n n +→∞⋅=+ 由夹逼准则知：10lim 0.n n x →∞=⎰ (2) π40lim sin d 0.n n x x →∞=⎰证明：由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44n n x x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤ 故π40πlim sin d lim sin 0 ( 0sin 1).4n n n n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰2．计算下列向量场A 的散度与旋度：(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；解：()0,2,,y z z x x y ---(2)()222,,x yz x y z x yz =A ；解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x ---(3),,y x z y z z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>. 证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续，且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥,若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根.若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.4．(1) 设1()f x x=，求00()(0);f x x '≠ 解：00021()().x x f x f x x =''==- (2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f ' 解：00()(0)(0)lim lim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-5．设函数2,1,(),1.x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩ 为了使函数()f x 在1x =点处连续且可导，,a b 应取什么值？解：因211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→=== 11lim ()lim()x x f x ax b a b ++→→=+=+ 要使()f x 在1x =处连续，则有1,a b += 又211()(1)1(1)lim lim 2,11x x f x f x f x x ---→→--'===-- 111(1)lim lim ,11x x ax b ax a f a x x +++→→+--'===-- 要使()f x 在1x =处可导，则必须(1)(1)f f -+''=，即 2.a =故当2,1a b ==-时，()f x 在1x =处连续且可导.6．求下列函数在0x 处的左、右导数，从而证明函数在0x 处不可导.(1) 03sin ,0,0;,0,x x y x x x ≥⎧==⎨<⎩。
2019最新考研数学模拟测试试题(含答案)
11．已知a>0，试证： 的最大值为 .
证明：
当x<0时， ;
当0<x<a时， ;
此时令 ，得驻点 ，且 ，
当x>a时， ,
又 ，且 .
而 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得
故 .
12．若 ，求 .
解：令 ，则
,即
13．问a，b为何值时，点(1，3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？
解：y′=3ax2+2bx,y″=6ax+2b
(5)当a>1时， ，而 收敛，故 也收敛．
当a=1时， ，级数发散．
当0<a<1时， ，级数发散．
综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0<a≤1时，原级数发散．
(6)由 知 而 发散，由比较审敛法知 发散．
20．用根值判别法判别下列级数的敛散性：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．
故
4．求由下列方程所确定的隐函数 的二阶导数 ：
⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷ .
解：⑴两边对 求导，得
.
⑵两边对 求导，得
.
⑶两边对 求导，得
⑷两边对 求导，得
5．利用四阶泰勒公式，求 的近似值，并估计误差.
解：
6．球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？
解：
7．一动点沿抛物线y=x2运动，它沿x轴方向的分速度为3 cm·s-1，求动点在点(2，4)时，沿y轴的分速度.
解：如图20，建立坐标系，直线AB的方程为
．
压力元素为
所求压力为
=1467(吨) =14388(KN)
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2019最新考研数学模拟试题（含答案）
学校：__________
考号：__________
一、解答题
1．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。
解：如图22，建立坐标系，圆弧形细棒上一小段d s 对质点N 的引力的近似值即为引力元素
（图22） 22d d (d )d d d cos cos d ,x km s km km F R R R R km F F R ρρρθθρθθθ=
==== 则
22022cos d 2cos d sin 2d d sin sin d x y km km km F R R R km F F R ϕϕϕρρρϕθθθθρθθθ-=====
⎰⎰
则 2
2sin d 0.y km F R ϕϕ
ρθθ-==⎰ 故所求引力的大小为2sin 2
km R ρϕ，方向自N 点指向圆弧的中点。
2．计算下列向量场A 的散度与旋度：
(1)()222222,,y z z x x y =+++A ；
解：()0,2,,y z z x x y ---
(2)()
222,,x yz x y z x yz =A ；
解：()()()()
2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z y z z x x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭
3．一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解： d d d e e .d d d a a r r a a t t
ϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅=
4．求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.
解：由ln 0
y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0).
11121
1
1,
1 1.x x x x y x y x ===='=
=''=-=- 故曲率中心 212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧''⎡⎤+==-⎪⎢⎥''⎣⎦⎪⎨'⎡⎤+⎪==-+⎢⎥⎪''⎣⎦⎩
曲率半径为R =故曲率圆方程为：
22(3)(2)8x y -++=.
5． 确定下列函数的单调区间：
(1) 3226187y x x x =---；
解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且
2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-
可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x
=+>； 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x '=-
，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单。