(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》检测(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n
n S S S n +-+=+≥，
若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52
-
B ．
116
C ．
332
D ．1
2．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10
B ．17
C ．21
D ．35
3．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且21n n S a =-，若()0,2021n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的和为（ ） A ．1022
B ．1023
C ．2046
D ．2047
4．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列
C ．可能为等差数列，但不会为等比数列
D ．可能为等比数列，但不会为等差数列 5．对于数列{}n a ，定义11233n n
n a a a T n
-++
+=
为{}n a 的“最优值”，现已知数列
{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2020
2020
S
=（ ） A ．2019
B ．2020
C ．2021
D ．2022
6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．64盏
B ．128盏
C ．192盏
D ．256盏
7．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法错误的是（ ） A ．0d <
B ．110S >
C ．120S <
D ．67a a >
8．已知1，1x ，2x ，7成等差数列，1，1y ，2y ，8成等比数列，点()11,M x y ，
()22,N x y ，则直线MN 的方程是（ ）
A ．10x y -+=
B ．10x y --=
C ．70x y --=
D ．70x y +-=
9．已知数列{}
n a 的通项公式为)*n a n N =
∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（ ）
A ．42
B ．43
C ．44
D ．45
10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1000S >，1010S <，则满足10n n a a +<的n =（ ） A ．50
B ．51
C ．100
D ．101
11．根据下面一组等式：
11s =， 2235s =+=，
345615s =++=， 47891034s =+++=， 5111213141565s =++++=， 6161718192021111s =+++++=，
……
可得21n S -=（ ）
A ．324641n n n -+-
B ．1413n -
C ．2184023n n -+
D ．
(1)
12
n n -+
12．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）
A ．153
B ．190
C ．231
D ．276
二、填空题
13．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，
且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*
1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan
9
θ=，则点A 的坐标为________．
14．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()21n n S n a =+，则数列
()2121*1n n a n N a -+⎧⎫⎨⎬⎭
∈⋅⎩的前n 项和n T =______. 15．数列{}n a 的通项()
sin
2
n n a n n N π
*=⋅∈，则前10项的和12310a a a a ++++=______
16．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，621S =，记[]lg n n b a =，其中[]
x 表示
不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=，则数列{}n b 的前100项和为________．
17．在数列{}n a 中， 11a =，2
12(2)n n n a a n ---=≥，则n a =_____.
18．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n n n S S S S ++=⋅-()
n N *
∈，且11a =，则
n a =_____．
19．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2
2n n n S a a =+，
1121
(2)(2)
n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是
__________．
20．若数列}{
n a
2*
3()n n n N =+∈，则
n a =_______．
三、解答题
21．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设n
n a b n
=
，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
22．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且
()()*612,n n n S a a n =++∈N .
（1）求{}n a 的通项公式：
（2）设数列{}n b 满足,2n n n a n b n ⎧=⎨⎩是奇数，是偶数
，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T .
23．已知数列{}n a 满足132
a =，112n n a a -=-，2n ≥，*n N ∈.
（1）证明：数列1
{}1
n a -为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n
a c n =
⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3
14
n T ≤<. 24．设等差数列{}n a 的首项1a 为()0a a >，其前n 项和为n S . （Ⅰ）若1S ，2S ，4S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，问是否存在()
*
2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、
1ln k S +、2ln k S +成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.
25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)*
224n n S a a n N =-∈，且1
a ，2a ，3
1a
-成等差
数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()222221log log +=
n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23
n m
T >恒成
立，求m 的取值范围.
26．在①2
22n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③21
42
n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，
11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由n S 与n a 的关系得21n
n a =-，则272n max
n λ-⎛⎫≥
⎪⎝⎭，设27
2n
n n c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】
解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n n
n S S S n +-+=+≥， 所以112n
n n n n S S S S +--=+-，
故()12
2n
n n a a n +-=≥，
因为1
212a a -=，所以()12
1n
n n a a n +-=≥，
所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1
212a a -=， 则121
1222n n a a --=++⋯+，
故11
21122
2121
n n n n a --=++⋯+==--， 所以(
)1231
22122222
221
n n n n
S n n n +-=+++⋯+-=-=---，
所以21n
n n S a n -=--，
因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272n
max
n λ-⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭． 设272n n
n c -=
，则111252792222n n
n n n n n n
c c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即53
32c λ≥=，故λ的最小值为332
． 故选：C 【点睛】
本题解答的关键利用11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出n
a 的通项；
2．B
解析：B 【分析】
根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】
212n n n a a a ++=-（*n N ∈），
212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，
312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，
则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.
3．D
解析：D 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥求出{}n a 的递推关系，再求出1a 后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前n 项和公式求解． 【详解】
当2n ≥时，11121(221)2n n n n n n n a S S a a a a ---=--==---，∴12n n a a -=， 又11121a S a ==-，11a =，∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1， 所以12n n
a ，由122021n n a -=<得110n -≤，即11n ≤，
∴所求和为11
12204712
S -==-．
故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列新定义，考查等比数列的通项公式与前n 项和公式，解题思路是由1(2)n n n a S S n -=-≥得出递推关系后确定数列是等比数列，从而求得通项公式．解题关键是利用新定义确定数列中“和谐项”的项数及项．
4．C
解析：C 【分析】
根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】
解：13n n a S +=，
13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，
若10S =，则数列{}n a 为等差数列；
若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，1
14n n S S -∴=⋅，
此时2
1134
n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.
综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.
5．D
解析：D 【分析】 根据11233n n
n a a a T n
-++
+=
，且3n
n T =，得到112333n n n a a a n -++
+=⋅，然后
利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】
∵11233n n
n a a a T n
-++
+=
，且3n
n T =，
∴112333n n n a a a n -+++=⋅，
当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，
两式相减可得：()()1
113
313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.
∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.
则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202
+⨯+⨯==⨯.
∴
2020
20222020S =. 故选：D . 【点睛】
本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.
6．C
解析：C 【分析】
设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】
设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112
a S a -===-，解得13a =.
因此，塔的底层的灯的盏数为6
732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】
本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
7．C
解析：C 【分析】
根据{}n a 是等差数列，且675S S S >>，变形为
7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>判断即可.
【详解】
数列{}n a 是等差数列675S S S >>，
7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>， 76670,0,0a a a a <>+>，
所以0d <，()
111116111102a a S a +=
=>， ()
()
1126712121202
2
a S a a a ++=
=
>，67a a >，
故选：C 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项与前n 项和的关系及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
8．B
解析：B 【分析】
本题先根据题意求出1x 、2x 、1y 、2y ，再写出点M 、N 的坐标并求MN k ，最后求直线
MN 的方程即可. 【详解】
解：∵1，1x ，2x ，7成等差数列，∴12121721x x x x +=+⎧⎨=+⎩，解得123
5x x =⎧⎨=⎩，
∵1，1y ，2y ，8成等比数列，∴12212181y y y y ⋅=⨯⎧⎨=⨯⎩，解得122
4y y =⎧⎨=⎩
∴点()3,2M ，()5,4N ，42153
MN k -==- ∴直线MN 的方程：41(5)y x -=⨯-，即10x y --=.
故选：B. 【点睛】
本题考查等差中项，等比中项，根据两点求直线的一般式方程，是基础题.
9．B
解析：B 【分析】
本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数． 【详解】
解：由题意，可知：
n a =
=
=
=
． 12n n S a a a ∴=++⋯+
1=
11
n =-
+． 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，
又
下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，
212019n ∴-，且2n ，
解得：244n ，
∴有理项的项数为44143-=．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题．
10．A
解析：A 【分析】
由题意和等差数列求和公式与性质可得50510a a +>；510a <，进而可得500a >，据此分析可得答案． 【详解】
根据题意，等差数列{}n a 中，1000S >，1010S <， 则有110010*********()100
50()50()02a a S a a a a +⨯==+=+>，则有50510a a +>；
又由110110151()101
10102
a a S a +⨯=
=<，则有510a <；
则有500a >，
若10n n a a +<，必有50n =； 故选：A ． 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式的应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．
11．A
解析：A 【分析】
求出第()1n -行最后一项，可得第n 行为第一项，求出第n 行最后一项，根据第n 是等差数列求出n S ，即可求出21n S -. 【详解】
易得第()1n -行最后一项为[]21(1)(1)22n n n n +---=，则第n 行第一项为2
12
n n
-+，
第n 行最后一项为2
(1)22
n n n n
++=
， 故第n 行为第一项212n n -+，最后一项为
22
n n
+，项数为n 的等差数列， 故22312222
n n n n n n n n S ⎛⎫-+++ ⎪+⎝⎭==， 所以32
214641n S n n n -=-+-.
故选：A. 【点睛】
本题考查对数列的理解，以及等差数列的前n 项和的求法，属于中档题.
12．C
解析：C 【分析】
根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成
等差数列，累加求得2
2n a n n =-，将11n =代入求得结果.
【详解】
记第n 个六边形数为n a ，
由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，
32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，
114(1)n n a a n --=+-，
累加得21(1)[543]
59[14(1)]212
n n n a a n n n -+--=++
++-=
=--，
即2
2n a n n =-，
所以2
1121111231a =⨯-=，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.
二、填空题
13．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题
解析：(0,2)或(0,16) 【分析】
设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】
设(0,),0A a a >,因为23
3443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠
所以2384
42284t 21an 39a a a a a a a
θ-=
==∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)
【点睛】
本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.
14．【分析】根据求数列通项分析时求解数列通项得到整理可得即可求出通项公式代入数列的通项中进行列项整理最后利用裂项相消法即可求出数列的前项和【详解】∵∴∴∴即∴即故则故故答案为：【点睛】本题主要考查了利用 解析：
21
n
n + 【分析】
根据n S 求数列通项，分析2n ≥时求解数列通项得到()121n n n a n a na -=+-，整理可得
()1
21n n a a n n n -=≥-，即可求出通项公式，代入数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的通项中进行列项整
理，最后利用裂项相消法即可求出数列21211
n n a a -+⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和.
【详解】
∵()21n n S n a =+，∴()1122n n S na n --=≥， ∴()()112212n n n n S S n a na n ---=+-≥， ∴()121n n n a n a na -=+-，即()11n n n a na --=，
∴()1
21
n n a a n n n -=≥-， 即
1
1
11
1
n n a a a n n -===
=-，故n a n =， 则
()()212111111212122121n n a a n n n n -+⎛⎫
==- ⎪⋅-+-+⎝⎭
，
故11111111112335
212122121
n n T n n n n ⎛⎫
⎛⎫=-+-+
+
-=-= ⎪ ⎪
-+++⎝⎭
⎝⎭. 故答案为：21
n
n +. 【点睛】
本题主要考查了利用递推公式求解通项公式，考查了裂项相消法求和问题，属于中档题.
15．5【分析】利用的周期性求解即可【详解】的周期当时的值为10-10则前10项的和故答案为：5【点睛】本题考查利用数列的周期性求和属于基础题
解析：5 【分析】
利用()
sin
2
n n N π
*∈的周期性求解即可. 【详解】
()
sin 2n n N π*∈的周期2=42
T π
π=，当1,2,3,4n =时sin 2
n π的值为1,0，-1,0,
则前10项的和123101+0305070905a a a a ++++=-+++-+++=，
故答案为：5 【点睛】
本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.
16．92【分析】设的公差为d 由解得则然后由分和三种情况求解【详解】设的公差为d 所以解得∴记的前n 项和为则当时当时当即时∴故答案为：92【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用还
解析：92 【分析】
设{}n a 的公差为d ，由11a =，621S =，解得1d =，则n a n =，然后由[]lg n n b a =，分
0lg 1n a ≤<， 1lg 2n a ≤<和 lg 2n a =三种情况求解.
【详解】
设{}n a 的公差为d ，()6166
212
s a a =+=， 所以167a a +=，
解得1d =， ∴n a n =，
记{}n b 的前n 项和为n T ，则[][][]1001210012100lg lg lg T b b b a a a =++⋯+=++⋯+， 当0lg 1n a ≤<时，1,2,9n =⋅⋅⋅，0n b =， 当1lg 2n a ≤<时，10,11,99n =⋅⋅⋅，1n b =， 当lg 2n a =，即100n a =时，2n b = ∴10009190292T =⨯+⨯+=． 故答案为：92 【点睛】
本题主要考查等差数列的基本运算和数列求和以及取整函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
17．【分析】利用累加法可求得数列的通项公式【详解】当时符合上式则故答案为：【点睛】本题考查由累加法求数列的通项公式属于基础题 解析：12n -
【分析】
利用累加法可求得数列的通项公式. 【详解】
11a =，212(2)n n n a a n ---=≥
∴()()()121321=+n n n a a a a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-
0121+2+2++2n -=⋅⋅⋅
()()2212122+
2221212
n n n ----==+-=-
∴1
2n
n
a ()2,*n n N ≥∈
当=1n 时，11a =符合上式，则12n n a .
故答案为：12n - 【点睛】
本题考查由累加法求数列的通项公式，属于基础题.
18．【分析】由两本同除以可构造是等差数列由此可求出再利用即可求得【详解】由得是以为首相1为公差的等差数列当时故答案为：【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式求数列的通项公式是常考题型属于中档题
解析：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪
=⎨-≥⎪-⎩
【分析】
由11n n n n S S S S ++=⋅-，两本同除以1n n S S +⋅，可构造1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，由此可求出a 1
n S n =
，再利用1n n n a S S -=-，即可求得n a 【详解】 由11n n n n S S S S ++=⋅-，得
1111n n
S S +-= ()
n N *∈ 1n S ⎧⎫
∴⎨⎬⎩⎭ 是以11
111S a ==为首相，1为公差的等差数列，
1
1(1)1n
n n S ∴
=+-⨯=， 1n S n
∴=
， 当2n ≥ 时，11111(1)
n n n a S S n n n n -=-=
-=---， 1,1
1
,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩
故答案为：1,11,2(1)n n a n n n =⎧⎪
=⎨-≥⎪-⎩
【点睛】
本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题.
19．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是
解析：1
3
【分析】
首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】
当1n =时，2
111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，
0n a >，11a ∴=，
当2n ≥，2
2
111
22n n n
n n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得
()()()22
1112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，
整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，
∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，
()()
11
2111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++， 2231
111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1112121
n n +=
-+++ 111321
n n +=
-++， 数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13
n T → 对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，
()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是1
3
.
故答案为：1
3
【点睛】
易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.
20．【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题 解析：()2
41n +
【分析】
有已知条件可得出116a =，2n ≥时
()()2
*131()n n n N =-+-∈，与题中的递推关系式相减即可得出
()2
41n a n =+，且当1n =时也成立．
【详解】
数列}{
n a 2*
3()n n n N =+∈
4=，即116a =
2n ≥()()2
*131()n n n N =-+-∈
22n =+， 所以()2
41n a n =+（2n ≥ ）
当1n =时，116a =适合上式，所以()2
41n a n =+ 【点睛】
本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）(21)31
44
n n n S -=+.
【分析】
（1）将13(1)n n na n a +=+变形为
131n n
a a n n
+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】
（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n n
a a n n
+=+， 因为n
n a b n
=
则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）1
3n n b -=，由
13n n
a n
-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅+
+⋅，
上面两式相减可得：
0121233333n n n S n --=+++
+-⋅
13313
n n n -=-⋅-， 则(21)31
44
n n n S -=+．
【点睛】
数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.
22．（1）31n a n =-；（2）12244
33
n n T n n +-=+-.
【分析】
（1）令1n =，结合111a S =>可得12a =，由()()612n n n S a a =++，*n ∈N 可得()()111612n n n S a a +++=++，两式相减可得13n n a a +-=即可求{}n a 的通项公式；
（2）24221321()(222)n
n n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+，利用分组并项求和，以及等差和等
比数列求和公式即可求解. 【详解】 （1）由()()11111
126
a S a a ==
++，即()()11210a a --=， 因为111a S =>，所以12a =， 由()()612n n n S a a =++，*n ∈N 可得()()111612n n n S a a +++=++，
两式相减可得()()()()11161212n n n n n a a a a a +++=++-++， 得()()1130n n n n a a a a +++--=， 又0n a >，得13n n a a +-=，
所以{}n a 是首项为2公差为3的等差数列， 故{}n a 的通项公式为31n a n =-.
（2）24221321()(222)n
n n T a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
()242(28146222)4n n ++⋅⋅⋅+=++++-+
12(264)4(14)4432143
n n n n n n ++---=+=+--.
【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
23．（1）证明见解析，2
1
n n a n +=+；（2）证明见解析. 【分析】
（1）根据已知，表示出1111111n n n n a a a a -----=-
=，然后代入1111
1n n a a ----计算可得1，所以证明出数列1
{
}1
n a -是等差数列，求出首项，利用等差数列通项公式计算；（2）表示出
1211
(1)22(1)2n n n n
n c n n n n -+=
=-⋅+⋅⋅+⋅，然后利用裂项相消法计算前n 项和n T ，再判断
出数列的单调性，即可证明. 【详解】
（1）当132a =时，因为112n n a a -=-，1111111n n n n a a a a -----=-=，
所以
1111111111111
1
11n n n n n n n a a a a a a a ---------=--==---， 所以数列1
{}1n a -为首项为111
a -，公差为1的等差数列. 又132a =
，
1121
a =-，所以111n n a =+-，解得21n n a n +=+. （2）因为2
1
n n a n +=
+，所以1211(1)22(1)2n n n n n c n n n n -+==-⋅+⋅⋅+⋅. 所以121n n n T c c c c -=++⋅⋅⋅++
1121111111
112222322(1)2(1)2n n n
n n n -=-
+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅， 即1
1(1)2
n n T n =-
+⋅，显然1n T <，另一方面， 11111112
1(1)0(1)222(1)2(1)2n n n n n n n
n T T n n n n n n ---+-=-
--=-=>+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅，
故数列{}n T 是递增数列，所以134n T T ≥=，因此，3
14
n T ≤<. 【点睛】
常见的数列求和的方法技巧：
（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
（4）裂项相消：用于通项为分式形式的数列的求和.
24．（Ⅰ）0d =时，n a a =；2d a =时，2n a an a =-；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【分析】
（Ⅰ）根据等差数列写出(1)2
n n n d
S na -=+，利用等比中项性质列式代入求解；（2）设存在(
)*
2,k k k ≥∈N ，根据等比中项列式，整理化简之后分类讨论0d =与0d >是否
成立. 【详解】
（Ⅰ）因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2
214S S S ，又因为数列{}n a 是等差数列，首
项1a 为()0a a >，所以(1)2
n n n d S na -=+
，则()()2
246a d a a d +=+，可得0d =或2d a =，当0d =时，n a a =；当2d a =时，2(1)2n a a n a an a =+-=-.
（Ⅱ）设存在(
)*
2,k k k ≥∈N
，使ln k
S
、1ln k S +、2ln k S +成等比数列，则
122ln l ln n k k k S S S ++=⋅，对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，首项0a >，所以0d ≥
因为
()2
2
222
ln ln ln ln ln 22k k k k k k S S S S S S +++⋅⎡⎤+⎡⎤⋅<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()()()2
2
2
11121112ln ln 22k k k k k k k k S dS a a S a S a ++++++++⎡⎤
+--+⎡⎤⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 当0d =时，
()()()222
2222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k S dS a a S a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即122
ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；
当0d >时，
()()()222
2222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k k S dS a a S dS a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，
即122
ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；
综上，不存在(
)*
2,k k k ≥∈N ，使得ln k
S
、1ln k S +、2ln k S +成等比数列.
【点睛】
关于等比中项性质的运用，需要注意,,a b c 三个数成等比数列，列式得2b ac =，然后再根据数列是等差还是等比数列化为基本量1,a d 或1,a q 计算. 25．（1）12n n
a ；（2）233
m <
.
【分析】
（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项. （2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围. 【详解】
（1）因为(
)*
224n n S a a n N
=-∈，故1
1224n n S
a a --=-，
所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =， 因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且
10a ≠，
故0n a ≠，故1
2n
n a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n n a .
（2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫
===- ⎪-+-+⎝⎭
,
所以111111
1111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦， 因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==，故1323m
>即233
m <
. 【点睛】
方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 26．见解析 【分析】
根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T . 【详解】
若选①，由2
22n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，
又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =， 故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=， 所以()
()2212
n n n S n n +=
=+， 所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故1
23n n b -=⨯
故
()111111=232311
n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++， 故11111111131=231223341131n n
n T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-+-+-+
+-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
.
若选②，由题设可得11
126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩， 同①可得131
n
n T n =-+. 若选③，由题设可得1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =， 而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =，
同①可得131n n T n =-
+. 【点睛】
方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.。