学2020-2021学年高一数学下学期2月入学考试试题

学2020-2021学年高一数学下学期2月入学考
试试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则下列结论正确的是（）
A． B． C． D．
2．设，则（）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知，，，则（）．A．B．C．D．
4．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（）A． B．C． D．
5．若点在直线上，则等于（）A．B．C．D．
6．函数的值域是（）
A．B．C．D．
7．将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）
A．B．C．D．
8．已知，则（）
A．B．C．D．
9．已知函数在内是减函数，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．已知．对任意的均有，则（）
A．B．
C．D．
10．已知函数,若在区间上的最大值为,则的最小值是（）
A．B．C．D．
12．定义域为R的偶函数满足对任意的,有=且当时,=,若函数=
在(0,+上恰有六个零点,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为_______________ .
14．函数的定义域为_______________ .
15．已知函数(是自然对数的底数)有唯一零点，则___________.
16．关于函数有以下四个命题：
①对于任意的，都有；②函数是偶函数；
③若为一个非零有理数，则对任意恒成立；
④在图象上存在三个点，，，使得为等边三角形．其中正确命题的序号是__________．
四、解答题
17．设集合，，全集．
（1）若，求，；（2）若，求的取值范围．
18．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.
（1）求的值；（2）求的解析式；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
19．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格（元）和时间（天）的关系如图所示．
（1）求销售价格（元）和时间（天）的函数关系式；（2）若日销售量（件）与时间（天）的函数关系式是
,问该产品投放市场第几天时，日销售额（元）最高，且最高为多少元？
20．已知函数在区间
上单调，当时，取得最大值5，当时，取得最小值-1.
（1）求的解析式
（2）当时，函数有8个零点，求实数的取值范围．
21．已知函数，，当时，恒有
．
（1）求的表达式；
（2）若方程的解集为，求实数的取值范围．
22．已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
高一数学入学考试参考答案
1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．B 10．B 11．B
12．C
因为=,且是定义域为R的偶函数，令,则
，解得，所以有=，所以是周期为2的偶函数，因为当时，=
，其图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线，因为函数=在(0,+上恰有六个零点，令
，因为所以，所以，要使函数=在(0,+上恰有六个零点，如图所示：
只需要,解得.故选C.
13． 14．
15．【详解】，故为偶函数，而为唯一零点，故零点为，故即，①②③④
【分析】①根据函数的对应法则，可得不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；
②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；
③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质可判断；
④取x1，x2＝0，x3，可得A（，0），B（0，
1），C（，0），三点恰好构成等边三角形，即可判断．17．解：（1）当时，，
所以，．
（2）子集关系
当是空集时，即，符合题意
当不是空集时，若则
综上：．
18．解：（Ⅰ）因为定义域为的函数是奇函数，所以.
（Ⅱ）因为当时，，
所以.
又因为函数是奇函数，所以.所以.
综上，
（Ⅲ）由得.
因为是奇函数，
所以.
又在上是减函数，所以.
即对任意恒成立.
令，则.由，解得.
故实数的取值范围为．
19．解：（Ⅰ）①当0≤t＜20，t∈N时，
设P=at+b，将（0，20），（20，40）代入，得解得
所以P=t+20（0≤t＜20，t∈N）．
②当20≤t≤30，t∈N时，
设P=at+b，将（20，40），（30，30）代入，解得
所以 P=﹣t+60（20≤t≤30，t∈N），）
综上所述
（Ⅱ）依题意，有y=P•Q，
得
化简得
整理得
①当0≤t＜20，t∈N时，由y=﹣（t﹣10）2+900可得，当t=10时，y有最大值900元．
②当20≤t≤30，t∈N时，由y=（t﹣50）2﹣100可得，当t=20时，y有最大值800元．
因为 900＞800，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．
考点：函数解析式的求解及常用方法．
20．解：（1）由题知，
. .
又，即，的解析式为
.
（2）当时，函数有个零点，
等价于时，方程有个不同的解.
即与有个不同交点.
由图知必有，
即.实数的取值范围是.
21．解：（1）∵当时，恒成立
∴，即恒成立，
∴，又，即，从而，
∴
（2）由
方程的解集为，故有两种情况：
①方程无解，即，得
②方程有解，两根均在内，
则
综合①②得实数的取值范围是.
.
22．解：（1）
，
当时，，，则，要使对任意恒成立，
令，则，对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为；
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，
函数在上恰有个零点，
即函数与直线在上恰有个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：
①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有个交点，
此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时，.
学2020-2021学年高一数学下学期2月入学考
试试题
一、单选题
1．已知集合，集合，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．
2．设，则（）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知，，，则（）．
A．B．C．D．
4．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是（）
A． B．C． D．
5．若点在直线上，则等于（）
A．B．C．D．
6．函数的值域是（）
A．B．C．D．
7．将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）
A．B．C．D．
8．已知，则（）
A．B．C．D．
9．已知函数在内是减函数，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．已知．对任意的均有，则（）A．B．
C．D．
10．已知函数,若在区间上的最大值为,则的最小值是（）
A．B．C．D．
12．定义域为R的偶函数满足对任意的,有=且当
时,=,若函数=在(0,+上恰有六个零点,则实数的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题
13．已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为
_______________ .
14．函数的定义域为_______________ .
15．已知函数(是自然对数的底数)有唯一零点，则
___________.
16．关于函数有以下四个命题：
①对于任意的，都有；②函数是偶函数；
③若为一个非零有理数，则对任意恒成立；
④在图象上存在三个点，，，使得为等边三角形．其中正确命题的序号是__________．
四、解答题
17．设集合，，全集．
（1）若，求，；（2）若，求的取值范围．
18．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.
（1）求的值；（2）求的解析式；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.
19．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格（元）和时间
（天）的关系如图所示．
（1）求销售价格（元）和时间（天）的函数关系式；
（2）若日销售量（件）与时间（天）的函数关系式是,问该产品投放市场第几天时，日销售额（元）最高，且最高为多少元？
20．已知函数在区间上单调，当时，取得最大值5，当时，取得最小值-1.
（1）求的解析式
（2）当时，函数有8个零点，求实数的取值范围．
21．已知函数，，当时，恒有．
（1）求的表达式；
（2）若方程的解集为，求实数的取值范围．
22．已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
高一数学入学考试参考答案
1．B 2．B 3．C 4．C 5．A 6．C 7．D 8．C 9．B 10．B 11．B
12．C
因为=,且是定义域为R的偶函数，令,则
，解得，所以有=，所以是周期为2的偶函数，因为当时，=，其图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线，因为函数=在(0,+上恰有六个零点，令
，因为所以，所以，要使函数=
在(0,+上恰有六个零点，如图所示：
只需要,解得.故选C.
13． 14．
15．【详解】，故为偶函数，
而为唯一零点，故零点为，故即，
①②③④
【分析】①根据函数的对应法则，可得不论x是有理数还是无理数，均有f（f（x））＝1；
②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；
③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质可判断；
④取x1，x2＝0，x3，可得A（，0），B（0，1），C（，0），三点恰好构成等边三角形，即可判断．
17．解：（1）当时，，
所以，．
（2）子集关系
当是空集时，即，符合题意
当不是空集时，若则
综上：．
18．解：（Ⅰ）因为定义域为的函数是奇函数，所以.
（Ⅱ）因为当时，，
所以.
又因为函数是奇函数，所以.所以.
综上，
（Ⅲ）由得.
因为是奇函数，
所以.
又在上是减函数，所以.
即对任意恒成立.
令，则.由，解得.
故实数的取值范围为．
19．解：（Ⅰ）①当0≤t＜20，t∈N时，
设P=at+b，将（0，20），（20，40）代入，得解得
所以P=t+20（0≤t＜20，t∈N）．
②当20≤t≤30，t∈N时，
设P=at+b，将（20，40），（30，30）代入，解得
所以 P=﹣t+60（20≤t≤30，t∈N），）
综上所述
（Ⅱ）依题意，有y=P•Q，
得
化简得
整理得
①当0≤t＜20，t∈N时，由y=﹣（t﹣10）2+900可得，当t=10时，y有最大值900元．
②当20≤t≤30，t∈N时，由y=（t﹣50）2﹣100可得，当t=20时，y有最大值800元．因为 900＞800，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．
考点：函数解析式的求解及常用方法．
20．解：（1）由题知，
. .又，即，的解析式为.（2）当时，函数有个零点，
等价于时，方程有个不同的解.
即与有个不同交点.
由图知必有，
即.实数的取值范围是.
21．解：（1）∵当时，恒成立
∴，即恒成立，
∴，又，即，从而，
∴
（2）由
方程的解集为，故有两种情况：
①方程无解，即，得
②方程有解，两根均在内，
则
综合①②得实数的取值范围是.
.
22．解：（1）
，
当时，，，则，
要使对任意恒成立，
令，则，对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为；
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，
函数在上恰有个零点，
即函数与直线在上恰有个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：
①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有个交点，
此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时，.。