[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷18.doc

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考研数学二(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知微分方程y’’+by’+y=0的每个解都在区间(0，+∞)上有界，则实数b 的取值范围是( )A．[0，+∞)．B．(一∞，0]．C．(一∞，4]．D．(一∞，+∞)．正确答案：A解析：方程y’’+by’+y=0的特征方程为r2+6r+1=0，特征根为(1)b2＜4时，原方程通解为(2)b2=4时，原方程通解为(3)b2＞4时，原方程通解为由以上解的形式可知，当b≥0时，每个解都在[0，+∞)上有界，故选A．知识模块：常微分方程2．具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是( )A．y’’’一y’’一y’+y=0．B．y’’’+y’’一y’一y=0．C．y’’’一6y’’+11y’一6y=0．D．y’’’一2y’’一y’+2y=0．正确答案：B解析：由y1=e-x，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，r=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(r —1)(r+1)2=0，即r3+r2一r—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B．知识模块：常微分方程3．函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是( )A．y’’一y’一2y=3xex．B．y’’一y’一2y=3ex．C．y’’+y’一2y=3xex．D．y’’+y’一2y=3ex．正确答案：D解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2．因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y’’+y’一2y=0．又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形为f(x)=Cex(C为常数)．比较四个选项，应选D．知识模块：常微分方程4．设是微分方程的解，则的表达式为( )A．1B．1C．1D．1正确答案：A解析：1 知识模块：常微分方程5．微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为( )A．xy2=4．B．xy=4．C．x2y=4．D．一xy=4．正确答案：C解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4．应选C．知识模块：常微分方程6．已知y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为( )A．y=Cy1(x)．B．y=Cy2(x)．C．y=C1y1(x)+C2y2(x)．D．y=C(y1(x)一y2(x))．正确答案：D解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y’+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C(y1(x)一y2(x))为该方程的解．知识模块：常微分方程7．设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( ) A．C1y1+C2y2+y3．B．C1y1+C2y2一(C1+C2)y3．C．C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3．D．C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3．正确答案：D解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)．比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故选D．知识模块：常微分方程8．已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的三个特解，则该方程的通解为( )A．y=C1x+C2x2+ex．B．y=C1x2+C2ex+x．C．y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x．D．y=C1(x一x2)+C2(x2一ex)．正确答案：C解析：方程y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x一ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x 一x2)+C2(x一ex)+x，故选C．知识模块：常微分方程填空题9．微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为____________．正确答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex解析：对应的特征方程为r2一2r+2=0，解得其特征根为r1,2=1±i．由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Ae2，代入原方程解得A=1．因此所求的通解为y=C1exeosx+C2exsinx+ex．知识模块：常微分方程10．二阶常系数非齐次线性方程y’’一4y’+3y=2e2x的通解为y=______________．正确答案：y=C1ex+C2e3x－2e2x解析：特征方程为r2一4r+3=0，解得r1=1，r2=3．则对应齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=0的通解为y=C1ex+C2e3x．设非齐次线性微分方程y’’-4y’+3y=2e2x 的特解为y*=ke2x，代入非齐次方程可得k=-2．故通解为y=C1ex+C2e3x一2e2x．知识模块：常微分方程11．微分方程满足初始条件y｜x=2=1的特解是___________．正确答案：x=y2+y解析：将x看作未知函数，则上式为x对y的一阶线性方程，又因y=1＞0，则将x=2，y=1代入，得C=1．故x=y2+y．知识模块：常微分方程12．微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．正确答案：(x+C)cosx，C是任意常数解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知知识模块：常微分方程13．已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_____________．正确答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数解析：显然y1一y3=e3x和y2－y2=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解．且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解．由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2e一xe2x，其中C1，C2为任意常数．知识模块：常微分方程14．设y=ex(asinx+bcosx)(a，b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为____________.正确答案：y’’-2y’+2y=0解析：由通解的形式可知，特征方程的两个根是r1，r2=1±i，因此特征方程为(r-r1)(r—r2)=r一(r1+r2)r+r1r2=r2一2r+2=0．故，所求微分方程为y’’一2y’+2y=0．知识模块：常微分方程15．微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_____________.正确答案：xe1-x解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有，所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’’+3y’=0的通解为_______________．正确答案：解析：令p=y’，则原方程化为，其通解为p=Cx-3．因此，知识模块：常微分方程17．微分方程的通解是____________．正确答案：y=Cxe-x(x≠0)解析：原方程等价为两边积分得lny=lnx—x+C1．取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x ≠0)．知识模块：常微分方程18．微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为__________．正确答案：解析：将已知微分方程变形整理得，知识模块：常微分方程19．微分方程的通解为____________．正确答案：解析：二阶齐次微分方程的特征方程为知识模块：常微分方程20．微分方程满足y｜x=1=1的特解为_____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷24

考研数学二（常微分方程）模拟试卷24(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设线性无关的函数y 1．y 2，y 3都是二阶非齐次线性微分方程y”+py’+qy=f(x)的解，C 1、C 2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 2 +C 2 y 2一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2一(1一C 1—C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1一C 1—C 2 )y 3√解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.—x+y—1)的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：4.微分方程(y 2 +x)dx一2xydy=0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y 2 =x(ln|x|+C)）解析：5. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：6.方程y"一3y’+2y=2e x的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 2x一2xe x）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：8.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：9.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：1)y’+1=xe x+y．4)(1+x)y”+y’=0 5)yy”一(y’) 2 =y 4，y(0)=1．y’(0)=0 6)y"+4y’+1=0 7)y"+9y=cos(2x+5) 8)y"'一3y”+9y’+13y=e 2x sin2x（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：2)x(csc(x+y)一cot(x+y))=C 3)y=(x+C)cosx 4)y=C 1ln|1+x|+C 2) 解析：10.已知y 1 =3，y 2 =3+x 2，y 3 =3+e x．是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：所求方程为(2x一x 2)y”+(x 2一2)y’+2(1一x)y=6(1-x)．通解为： y=C 1 x 2 +C 2 e x +3)解析：11.已知函数y=e 2x +(x+1)e x是二阶常系数线性非齐次方程y”+ay’+by=ce x的一个特解，试确定常数a，b，c及该方程的通解．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：a=一3，b=2,c=一1．y=C 1 e 2x +C 2 e x +xe x)解析：12.设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ试求在(一∞,+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：13.已知y"+(x+e 2y )y '3 =0。

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷2.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷2一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

0 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1/2，0)．1 试求曲线L的方程；2 求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．2 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．3 求曲线y=f(x)的方程；4 已知曲线y=sinx在上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．5 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线Y=x相切于原点．记a为曲线f在点(x,y，)处切线的倾角，若da/dx=dy/dx,求y(x)的表达式．6 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．7 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．8 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时?9 某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数k=6．0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少? 注：kg 表示千克，km／h表示千米／小时．10 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为κ(κ>0)．试建立y与ν所满足的微分方程，并求出函数关系式y=f(ν)．11 某湖泊的水量为V1，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3．已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初起，限定排人湖泊中含A 污水的浓度不超过m0／V．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(注：设湖水中A的浓度是均匀的．)11 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕，，轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分．)12 根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；13 求曲线x=φ(y)的方程.。

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编4.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限．（A）不存在（B）等于1（C）等于2（D）等于32 (03年)已知是微分方程的表达式为3 (04年)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为（A）y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．（B）y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．（C）y*=(ax2+bx+c+Asinx．（D）y*=ax2+bx+c+Acosx．4 (06年)函数y=C1e x+C2e-2x+xe x满足的一个微分方程是（A）y"一y’一2y=3xe x．（B）y"-y’一2y=3e x．（C）y”+y’一2y=3xe x．（D）y"+y'-2y=3e x．5 (08年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（A）y"'+y"-4y’-4y=0．（B）y"'+y"+4y’+4y=0．（C）y"'一y”一4y’+4y=0．（D）y"'-y"+4y’一4y=0．6 (10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则7 (11年)微分方程y"一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为（A）a(eλx+e-λx)．（B）ax(eλx+e-λx)．（C）x(aeλx+be-λx)．（D）x2(aeλx+be-λx)．8 (17年)微分方程y”一4y’+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为y’=（A）Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（B）Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（C）Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．（D）Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．二、填空题9 (04年)微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y|x=1=的特解为_______．10 (05年)微分方程xy’+2y=3xlnx满足y(1)=的解为______．11 (06年)微分方程的通解是_______．12 (07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y"一4y’+3y=2e2x的通解为y=________．13 (08年)微分方程(y+x2e-x)dx—xdy=0的通解是y=______．14 (10年)3阶常系数线性齐次微分方程y"'一2y"+y’一2y=0的通解为y=_______．15 (11年)微分方程y’+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=________．16 (12年)微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=______．17 (13年)已知y1=e3x一xe3x，y2=e x一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y'|x=0=1的解为y=______．18 (15年)设函数y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3,则y(x)=______．19 (16年)以y=x2一e x和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为__________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则( )A．a=1，b=1，c=1．B．a=1，b=1，c=一2．C．a=一3，b=一3，c=0．D．a=一3，b=1，c=1．正确答案：B解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=1，则a=1；x为非齐次方程的解，将y=x 代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故选B．知识模块：常微分方程2．在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )A．y’’’+y’’一4y’一4y=0．B．y’’’+y’’+4y’+4y=0．C．y’’’一y’’一4y’+4y=0．D．y’’’一y’’+4y’一4y=0．正确答案：D解析：已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程有根r=1，r=±2i，所以特征方程为(r一1)(r一2i)(r+2i)=0，即r3一r2+4r一4=0．因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分程为y’’’一y’’+4y’一4y=0．知识模块：常微分方程3．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由λy1+μy2仍是该方程的解，得(λy1’+μy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)g(x)，则λ+μ=1；由λy1一μy2是所对应齐次方程的解，得(λy1’一μy2’)+p(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)g(x)，那么λ一μ=0．综上所述．知识模块：常微分方程4．方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为( )A．y=axex+b+Aexeos2x．B．y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)．C．y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)．D．y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)．正确答案：C解析：齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为r2一3r+2=0．r2—3r+2=0．特征根为r1=1，r2=2，则方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+exx(Acos2x+Bsin2x)，故选C．知识模块：常微分方程5．设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小，则y(x)=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：原方程可化为，其通解为曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为知识模块：常微分方程6．微分方程y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为( )A．y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Beosx)．B．y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Beosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y*=ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A解析：对应齐次方程y’’+y=0的特征方程为λ2+1=0．特征根为λ=±i，对于方程y’’+y=x2+1=e0(x2+1)，0不是特征根，从而其特解形式可设为y1=ax2+bx+c，对于方程y’’+y=sinx-Im(eik)，i为特征根，从而其特解形式可设为y2*=x(Asinx+Bcosx)，因此y’’+y=x2+1+sinx的特解形式可设为y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．知识模块：常微分方程7．微分方程y’’一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为( )A．a(eλx+e-λx)．B．ax(eλx+e-λx)．C．x(aeλx+be-λx)．D．x2(aeλx+be-λx)．正确答案：C解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一λ2=0，其特征根为r1,2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解为y1’’=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解为y2*=bxe-λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y*=y1*+y2*=x(aeλx+be-λx)，因此选C．知识模块：常微分方程8．设非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)，y2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是( )A．C[y1(x)一y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正确答案：B解析：由于y1(x)一y2(x)是对应齐次线性微分方程y’+P(x)y=0的非零解，所以它的通解是Y=C[y1(x)一y2(x)]，故原方程的通解为y=y1(x)+Y=y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]，故应选B．知识模块：常微分方程9．设f(x)具有一阶连续导数f(0)=0，du(x，y)=f(x)ydx+[sinx一f(x)]dy，则f(x)等于( )A．cosx+sinx一1．B．．C．cosx一sinx+xex．D．cosx一sinx+xe-x．正确答案：B解析：由du(x，y)=f(x)ydx+[sinx-f(x)]dy知知识模块：常微分方程填空题10．微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_____________．正确答案：解析：原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即知识模块：常微分方程11．微分方程xy’+2y=sinx满足条件的特解为____________．正确答案：解析：将已知方程变形整理得，知识模块：常微分方程12．微分方程y’’一4y=e2x的通解为y=_____________．正确答案：解析：对应齐次微分方程的特征方程为r2一4=0，解得r1=2，r2=一2．故y’’一4y=0的通解为y1=C1e-2x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数．由于非齐次项为f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出故所求通解为知识模块：常微分方程13．微分方程y’+y=e-xcosx；满足条件y(0)=0的解为_________________.正确答案：y=e-xsinx解析：原方程的通解为=e-x(∫cosxdx+C)=e-x(sinx+C)?由y(0)=0得C=0，故所求解为y=e-xsinx．知识模块：常微分方程14．微分方程y’’+2y’+5y=0的通解为_________．正确答案：y=e-x(C1cosx+C2sin2x)解析：由题干可知，方程y’’+2y’+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0．解得则原方程的通解为y=e-x(C1cosx+C2sin2x)．知识模块：常微分方程15．若函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex，则f(x)=___________.正确答案：ex解析：由已知，特征方程为r2+r一2=0，特征根为r1=1，r2=一2，该齐次微分方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x．再由f’’(x)+f(x)=2ex，解得2C1ex一3C2e-2x=2ex，可知C1=1，C2=0．故f(x)=ex．知识模块：常微分方程16．微分方程xy’+2y=xlnx满足的解为____________．正确答案：解析：原方程可等价为知识模块：常微分方程17．微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y｜x=1=1的解为___________．正确答案：x=y2解析：对原微分方程变形可得此方程为一阶线性微分方程，所以又y=1时x=1，解得C=0，因此x=y2．知识模块：常微分方程18．微分方程xy’+y=0满足条件y(1)=1的解是y=____________．正确答案：解析：由，两边积分，得ln｜y｜=一In｜x｜+C，代入条件y(1)=1，得C=0．所以知识模块：常微分方程19．三阶常系数线性齐次微分方程y’’’一2y’’+y’一2y=0的通解为y=___________．正确答案：C1e2x+C2cosx+C3sinx解析：微分方程对应的特征方程为λ3一2λ2+λ一2=0．解上述方程可得其特征值为2，±i，于是其中一组特解为e2x,cosx，sinx．因此通解为y=C1e2c+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常数．知识模块：常微分方程20．微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0的通解是y=___________．正确答案：x(一e-x+C)解析：微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0，可变形为所以其通解为知识模块：常微分方程21．微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足的通解为____________．正确答案：解析：知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷19.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷19一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 微分方程y〞－4y＝χ＋2的通解为( )．（A）(C1＋C2χ)e2χ－（B）(C1＋C2χ)e-2χ－（C）C1e-2χ＋C2e2χ－（D）C1e-2χ＋C2e2χ－2 设y(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，则( )．（A）等于1（B）等于2（C）等于0（D）不存在3 二阶常系数非齐次线性微分方程y〞－2y′－3y＝(2χ＋1)e－χ的特解形式为( )．（A）(aχ＋b)e－χ（B）χ2e－χ（C）χ2(aχ＋b)e－χ（D）χ(aχ＋b)e－χ二、填空题4 微分方程χy′＝＋y的通解为_______．5 设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e-4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_______，该微分方程的通解为_______．6 以y＝C1e-2χ＋C2eχ＋cosχ为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为_______．7 设y〞－3y′＋ay＝－5e-χ的特解形式为Aχe-χ，则其通解为_______．8 设f(χ)可导，且∫01[f(χ)＋χ(χt)]dt＝1，则f(χ)＝_______．9 设y＝y(χ)满足△y＝△χ＋o(△χ)，且有y(1)＝1，则∫02y(χ)dχ＝_______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10 设y＝y(χ)二阶可导，且y′≠0，χ＝χ(y)是y＝y(χ)的反函数． (1)将χ＝χ(y)所满足的微分方程＝0变换为y＝y(χ)所满足的微分方程； (2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝的解．11 设函数f(χ，y)可微，＝－f(χ，y)，f(0，)＝1，且＝e coty，求f(χ，y)．12 设函数f(χ)(χ≥0)可微，且f(χ)＞0．将曲线y＝f(χ)，χ＝1，χ＝a(a＞1)及χ轴所围成平面图形绕χ轴旋转一周得旋转体体积为[a2f(a)－f(1)]．若f(1)＝，求：(1)f(χ)； (2)f(χ)的极值．13 设函数f(χ)满足χf′(χ)－2f(χ)＝－χ，且由曲线y＝f(χ)，χ＝1及χ轴(χ≥0)所围成的平面图形为D．若D绕χ轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：(1)曲线y＝f(χ)；(2)曲线在原点处的切线与曲线及直线χ＝1所围成的平面图形的面积．14 位于上半平面的上凹曲线y＝y(χ)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(χ，y)处的曲率与及1＋y′2之积成反比，比例系数为k＝，求y＝y(χ)．15 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．16 设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(χ，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(χ，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．17 用变量代换χ＝sint将方程(1－χ2)－4y＝0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．18 用变量代换χ＝lnt将方程＋e2χy＝0化为y关于t的方程，并求原方程的通解．19 设y＝y(χ)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(χ，y)处的曲率为，又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y＝χ＋1，求该曲线方程，并求函数y(χ)的极值．20 飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从χ轴上(χ0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(χ0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v． (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程．21 细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．22 某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为．设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过．问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?23 在t＝0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．24 某人的食量是2500卡／天(1卡＝4．1868焦)，其中1200卡／天用于基本的新陈代谢．在健身运动中，他所消耗的为16卡／千克／天乘以他的体重．假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化．25 一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?26 质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t＝10s时，速度等于50cm／s．外力为39．2cm／s2，问运动开始1min后的速度是多少?27 设非负函数f(χ)当χ≥0时连续可微，且f(0)＝1．由y＝f(χ)，χ轴，y轴及过点(χ，0)且垂直于χ轴的直线围成的图形的面积与y＝f(χ)在[0，χ]上弧的长度相等，求f(χ)．28 设函数f(χ)二阶连续可导，f(0)＝1且有f′(χ)＋3∫0χf′(t)dt＋2χ∫01f(tχ)dt＋e－χ＝0，求f(χ)．29 早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：常微分方程2．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：常微分方程3．已知函数y=y(x)在任意点x处的增量[*]且当△x→0时，a是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于A．2πB．πC．eπ/4D．πeπ/4正确答案：D 涉及知识点：常微分方程4．函数y=C1ex +C2e-2x +xex 满足的一个微分方程是A．y”-y’-2y=3xexB．y”-y’-2y=3exC．y”+y’-2y=3xexD．y”+y’-2y=3ex正确答案：D 涉及知识点：常微分方程5．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为A．y* =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y* =ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：常微分方程填空题6．微分方程y”-4y=e2x的通解为________.正确答案：C1e2x+C2e-2x+x/4e2x 涉及知识点：常微分方程7．二阶常系数非齐次线性微分方程y”-4y’+3y=2e2x的通解为y=_________．正确答案：C1ex+C2e3x+2ex 涉及知识点：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二模拟题2018年(1)_真题-无答案

考研数学二模拟题2018年(1)(总分100,考试时间90分钟)一、填空题1.2. 设f(x)连续，且，则f(7)=______．3.4. 设f(x)连续，则5. 设函数f(x)连续，．若φ(1)=1，φ"(1)=5，则f(1)=______．6. 由曲线y=xex与直线y=ex所围成图形的面积S=______．二、选择题1. 设，其中f(x)连续，s＞0，t＞0，则I的值A. 依赖于s，t．B. 依赖于s，t，x．C. 依赖于t，x，不依赖于s．D. 依赖于s，不依赖于t．2. 设函数记，0≤x≤2，则A．B．C．D．3. 设f(x)连续，，则F"(x)等于A.f(x4)．**(x4)．**(x4)．**(x2)．4. 已知设，则F(x)为A．B．C．D．5. 设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是A．B．C．D．6. 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则是A. 连续的奇函数．B. 连续的偶函数．C. 在x=0间断的奇函数．D. 在x=0间断的偶函数．7. 设函数y=f(x)在区间[-1，3]上的图形如图所示．则函数的图形为A．B．C．D．8. 设函数，则A. x=π是函数F(x)的跳跃间断点．B. x=π是函数F(x)的可去间断点．C. F(x)在x=π处连续但不可导．D. F(x)在x=π处可导．9. 曲线y=x(x-1)(2-x)与x轴所围图形面积可表示为A．B．C．D．10. 由曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为A．B．C．D．11. 曲线与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为A．B．π．C．D．π2．12. 设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m(m为常数)，由曲线y=g(x)，y=f(x)，x=a及x=b所围平面图形绕直线y=m旋转而成的旋转体体积为A．B．C．D．13. 如图所示，x轴上的一线密度为常数μ，长度为l的细杆，若质量为m的质点到杆右端的距离为a，已知引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为A．B．C．D．三、解答题1. 设x≥-1，求2. 设，其中x＞0，求．3. 设xOy平面上有正方形D{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直线l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形D位于直线l左下方部分的面积(如图)，试求．4. 设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)，若，求f(x)．5. 设求函数的表达式．设6. 证明f(x)是以π为周期的周期函数；7. 求f(x)的值域．8. 设f(x)是区间上的单调、可导函数，且满足其中f-1是f的反函数，求f(x)．9. 设函数，求f"(x)，并求f(x)的最小值．10. 如图所示，设曲线方程为，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0，证明：11. 设D是由曲线y=sinx+1与三条直线x=0，x=π，y=0围成的曲边梯形，求D绕Ox轴旋转一周所生成的旋转体的体积．12. 设抛物线y=ax2+bx+c过原点，当0≤x≤1时y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为．试确定a，b，c的值，使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小．13. 过点P(1，0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．14. 曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积．15. 设平面图形A由x2+y2≤2x与y≥x所确定，求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积．16. 求曲线y=3-|x2-1|与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转所得的旋转体体积．17. 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成α角的平面截此柱体，得一楔形体(如图)，求此楔形体的体积V．18. 设曲线y=ax2(a＞0，x≥0)与y=1-x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形(如图)．问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最大?最大体积是多少?设D是位于曲线(a＞1，0≤x＜+∞)下方、x轴上方的无界区域．19. 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；20. 当a为何值时，V(a)最小?并求此最小值．。

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷16.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷16一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）y=C1x2+C2x+C3．（B）x2+y2=C．（C）y=ln(C1x)+ln(C1sinx)．（D）y=C1sin2x+C2cos2x．2 设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y"+p(x)y'+q(x)y=0的两个特解，则C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为（A）y1(x)y2'(x)－y2(x)y1'(x)=0．（B）y1(x)y2'(x)－y2(x)y1'(x)≠0．（C）y1(x)y2'(x)+y2(x)y1'(x)=0．（D）y1(x)y2'(x)+y2(x)y1'(x)≠0．二、填空题3 已知(x－1)y"－xy'+y=0的一个解是y1=x，又知y=e x－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y"－xy'+y=(x－1)2的解，则此方程的通解是y=________．4 微分方程y"+6y'+9y=0的通解y=________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5 求解下列方程： (Ⅰ)求方程xy"=y'lny'的通解； (Ⅱ)求yy"=2(y'2－y')满足初始条件y(0)=1，y'(0)=2的特解．6 设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．7 求下列方程的通解：(Ⅰ) y"－3y'=2－6x； (Ⅱ)y"+y=cosxcos2x．8 设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点，求L的方程．9 设热水瓶内热水温度为T，室内温度为T0，t为时间(以小时为单位)．根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与T－T0成正比．又设T0=20％，当t=0时，T=100℃，并知24小时后水瓶内温度为50℃，问几小时后瓶内温度为95℃?10 要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．11 求下列方程的通解：(Ⅰ) y'=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y； (Ⅱ) xy'=+y．12 求解二阶微分方程的初值问题13 求微分方程xy"－y'=x2的通解。

考研数学二(线性代数)-试卷18

考研数学二（线性代数）-试卷18(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.设A为n阶方阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解向量，A *是A的伴随矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * x=0的解均是Ax=0的解B.Ax=0的解均是A * x=0的解√C.Ax=0与A * x=0没有非零公共解D.Ax=0与A * x=0恰好有一个非零公共解解析：解析：由题设知n一r(A)≥2，从而有r(A)≤n一2，故A * =0，任意n维向量均是A * x=0的解，故正确选项是(B)．3.设向量组(I)α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示，则 ( )（分数：2.00）A.当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关B.当r＜s时，向量组(I)必线性相关C.当r＞5时，向量组(II)必线性相关D.当r＞s时，向量组(I)必线性相关√解析：解析：利用“若向量组(I)线性无关，且可由向量组(Ⅱ)线性表示，则r≤s”的逆否命题即知．4.设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0和(Ⅱ)A n+1x=0，现有命题①(I)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(I)的解；③(I)的解不一定是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不一定是(I)的解．其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.①④B.①②√C.②③D.③④解析：解析：当A n x=0时，易知A n+1 x=A(A n x)=0，故(I)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误．当A n+1 x=0时，假设A n x≠0，则有x，Ax，…，A n x均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，…，A n x是线性无关的．由于x，Ax，…，A n x均为n维向量，而n+1个n维向量都是线性相关的，矛盾．故假设不成立，因此必有A n x=0．可知(Ⅱ)的解必是(I)的解，故②正确，④错误．故选(B)．5.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.α1，α2，…，αs均不为零向量B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余向量线性表出√D.α1，α2，…，αs中任意s一1个向量均线性无关解析：解析：用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相关，和向量组线性无关矛盾，(A)，(B)，(D)都是向量组线性无关的必要条件，但不充分．6.n维向量组α1，α2，…，αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A.存在一组全为零的数k 1，k 2，…，k s，使 k 1α1 +k 1α2+…+k sαs =0B.α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性无关C.α1，α2，…，αs中任意一个向量都不能由其余向量线性表出√D.存在一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，使 k 1α1 +k 1α2+…+k sαs =0解析：解析：可用反证法证明之：必要性：假设有一向量，如αs可由α1，α2，…，αs一1线性表出，则α1，α2，…，αs线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出；充分性：假设α1，α2，…，αs线性相关←→至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故α1，α2，…，αs线性无关．(A)对任何向量组都有0α1 +0α2+…+0αs =0的结论．(B)必要但不充分，如α1 =[0，1，0] T，α2 =[1，1，0] T，α3 =[1，0，0] T任两个线性无关，但α1，α2，α3线性相关．(D)必要但不充分．如上例α1 +α2 +α3≠0，但α1，α2，α3线性相关．7.设有两个n维向量组(I)α1，α2，…，αs，(Ⅱ)β1，β2，…，βs，若存在两组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，λ1，λ2，…，λs，使(k 1 +λ1 )α1 +(k 2 +λ2 )α2+…+(k s +λs )αs +(k 1一λ1 )β1 +…+(k s一λs )βs =0，则 ( )（分数：2.00）A.α1 +β1，…，αs +，α1一β1，…，αs一βs线性相关√B.α1，…，αs及β1，…，βs均线性无关C.α1，αs及β1，…，βs均线性相关D.α1 +β1，…，αs +βs，α1一β1，…，αs一βs线性无关解析：解析：存在不全为0的k 1，k 2，…，k s，λ1，λ2，…，λs使得 (k 1 +λ1 )α1 +(k 2 +λ2 )α2+…+(k s +λs )αs +(k 1一λ1 )β1 +(k 2一λ2 )β2+…+(k s一λs )βs =0，整理得k 1(α1+β1)+k 2(α2+β2)+…+k s(αs+βs)+λ1(α1一β1)+λ2(α2一β2)+…+λs (αs一βs )=0，从而得α1 +β1，…，αs +βs，α1一β1，…，αs一βs线性相关．8.已知向量组(I)α1，α2，α3，α4线性无关，则与(I)等价的向量组是 ( )（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3 +α4，α4一α1B.α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1C.α1 +α2，α2一α3，α3 +α4，α4一α1D.α1 +α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1√解析：解析：因(A)α1 +α2一(α2 +α3 )+(α3 +α4 )一(α4一α1 )=0； (B)(α1一α2 )+(α2一α3 )+(α3一α4 )+(α4一α1 )=0； (C)(α1 +α2 )一(α2一α3 )一(α3 +α4 )+(α4一α1 )=0，故均线性相关，而故α1 +α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关，两向量组等价．故α1 +α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关，两向量组等价．9.设向量组α2，α3，α4线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 ( )（分数：2.00）A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1√D.α1 +α2 +α3，2α1—3α2 +22α3，3α1 +5α2—5α3解析：解析：因(A)α1 +α2一(α2 +α3 )+α3一α1 =0，(B)α1 +α2 +α2 +α3一(α1 +2α2 +α3 )=0，(D)一19(α1 +α2 +α3 )+2(2α1一3α2 +22α3 )+5(3α1 +5α2—5α3 )=0，故(A)，(B)，(D)的向量组均线性相关，由排除法知(C)向量组线性无关．对(C)，若存在数k 1，k 2，k 3使得 k 1 (α1 +2α2 )+k 2 (2α2 +3α3 )+k 2 (3α3 +α1 )=0，整理得：(k 1 +k 3 )α1 +(2k 1 +2k2 )α2 +(3k 2 +3k3 )α3 =0．因α1，α2，α3线性无关，得10.若向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则 ( )（分数：2.00）A.α必可由β，γ，δ线性表出B.β必可由α，γ，δ线性表出C.δ必可由α，β，γ线性表出√D.δ必不可由α，β，γ线性表出解析：解析：因α，β，γ线性无关，故α，β线性无关，而α，β，δ线性相关，故δ必可由α，β线性表出(且表出法唯一)．二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设A是4×3矩阵，且r(A)=2，而r(AB)= 1。

考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1989年)微分方程y〞－y＝eχ＋1的一个特解应具有形式(式中a，b 为常数) 【】A．aeχ＋bB．aχeχ＋bC．aeχ＋bχD．aχeχ＋bχ正确答案：B解析：y〞－y＝eχ＋1的特解应为方程y〞－y＝eχ和y〞－y＝1的特解之和，而特征方程为r2－1＝0，解得r＝±1 因此y－y＝eχ的特解应为y1*＝aχeχ，y〞－y＝1的特解应为y2*＝b 则原方程特解应具有形式y＝aχeχ＋b 知识模块：常微分方程2．(1998年)已知函数y＝f(χ)在任意点χ处的增量△y＝＋α，其中α是比△χ(△χ→0)的高阶无穷小，且y(0)＝π，则y(1)＝【】A．B．2πC．πD．正确答案：A解析：由于△y与△χ＋α，其α是比△χ(△χ→0)高阶的无穷小，则解此变量可分离方程得y＝Cearctanχ，再由y(0)＝π得C＝π故y＝兀earctanχ，y(1)＝π知识模块：常微分方程3．(2000年)具有特解y1＝e－χ，y2＝2χe－χ，y3＝3eχ的三阶常系数齐次线性微分方程是【】A．y〞′－y〞－y′＋y＝0B．y〞′＋y〞－y′－y＝0C．y〞′－6y〞＋11y′－6y＝0D．y〞′－2y〞－y′＋2y＝0正确答案：B解析：由本题所给三个特解可知，所求方程的特征方程的根为λ1＝1，λ2＝－1(二重)，故特征方程是(λ－1)(λ＋1)2＝0，展开得λ3＋λ2－λ－1＝0 从而，微分方程应为y′〞＋y′－y＝0，则应选B．知识模块：常微分方程4．(2002年)设y＝y(χ)是二阶常系数微分方程y〞＋py′＋qy＝e3χ满足初始条件y(0)＝y′(0)＝0的特解，则当χ→0时，函数的极限．【】A．不存在B．等于1C．等于2D．等于3正确答案：C解析：由于y(χ)是方程y〞＋py′＋qy＝e3χ满足初始条件y(0)＝y′(0)＝0的特解，在方程y〞＋py′＋qy＝e3χ中，令χ＝0 得y〞(0)＋Py′(0)＋qy(0)＝e0＝1 即y〞(0)＝1 所以应选C．知识模块：常微分方程5．(2003年)已知y＝是微分方程y′＝的解，则φ()的表达式为【】A．B．C．D．正确答案：A解析：将y＝代入方程y′＝得故应选A．知识模块：常微分方程填空题6．(1994年)微分方程ydχ＋(χ2－4χ)dy＝0的通解为_______．正确答案：(χ－4)y4＝Cχ．解析：该方程是一个变量可分离方程，即(χ－4)y4＝Cχ知识模块：常微分方程7．(1995年)微分方程y〞＋y＝－2χ的通解为_______．正确答案：y＝－2χ＋C1cosχ＋C2sinχ．解析：特征方程为r2＋1＝0，解得r1＝i，r2＝－I 齐次通解为＝C1cos χ＋C2sinχ易观察出非齐次一个特解为y*＝－2χ则原方程通解为y＝C1>cosχ＋C2sinχ－2χ知识模块：常微分方程8．(1996年)微分方程y〞＋2y′＋5y＝0的通解为_______．正确答案：y＝e－χ(C1cos2χ＋C2sin2χ)．解析：特征方程为r2＋2r＋5＝0，r1，2＝－1±2i 故通解为y＝C1e－χcos2χ＋C2e－χsin2χ．知识模块：常微分方程9．(1999年)微分方程y〞－4y＝e2χ的通解为________．正确答案：y＝C1e－2χ＋(C2＋χ)e2χ(C1，C2为任意常数)．解析：特征方程为r2－4＝0，r1，2＝±2 齐次通解为＝1e－2χ＋C2e2χ设非齐次方程特解为y*Aχe2χ代入原方程得A＝，故原方程通解为知识模块：常微分方程10．(2001年)过点(，0)且满足关系式y′arcsinχ＋＝1的曲线方程为_______·正确答案：yarcsinχ＝χ－．解析：由y′arcsinχ＋＝1 知(yarcsinχ)′＝1 则yarcsinχ＝χ＋C 由因此yarcsinχ＝χ－知识模块：常微分方程11．(2002年)微分方程yy〞＋y′2＝0满足初始条件的特解是_______．正确答案：y2＝χ＋1或y＝解析：令y′＝P，则，y〞＝，代入原方程得则所求的特解为y2＝χ＋1．知识模块：常微分方程12．(2004年)微分方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0满足的特解为_______．正确答案：解析：方程(y＋χ3)dχ－2χdy＝0可改写为设方程为一阶线性方程，则其通解为由知C＝1，则所求特解为y＝知识模块：常微分方程13．(2005年)微分方程χy′＋2y＝χlnχ满足y(1)＝－的解为_______．正确答案：解析：方程χy＋2y＝χlnχ是一阶线性方程，方程两端同除以χ得：y′＋＝lnχ，则通解为由y(1)＝－得，C＝0，则知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(矩阵的特征值和特征向量)模拟试卷18(题后含答案及解析)

考研数学二（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷18(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，一1，2，4，那么不可逆矩阵是( )A．A—E。

B．2A—E。

C．A+2E。

D．A一4E。

正确答案：C解析：因为A*的特征值是1，一1，2，4，所以｜A*｜=一8，又｜A*｜=｜A｜4－1，因此｜A｜3=一8，于是｜A｜=一2。

那么，矩阵A的特征值是：一2，2，一1，一。

因此，A一E的特征值是一3，1，一2，一。

因为特征值非零，故矩阵A—E可逆。

同理可知，矩阵A＋2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E 不可逆。

所以应选C。

知识模块：矩阵的特征值和特征向量2．已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )A．必是A的二重特征值。

B．至少是A的二重特征值。

C．至多是A的二重特征值。

D．一重、二重、三重特征值都有可能。

正确答案：B解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数小于或等于特征值的重数。

r(A)=l，即r(OE—A)=1，(OE—A)x=0必有两个线性无关的特征向量，故λ=0的重数大于等于2。

至少是二重特征值，也可能是三重。

例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值。

所以应选B。

知识模块：矩阵的特征值和特征向量3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1≠0。

B．λ2≠0。

C．λ1=0。

D．λ2=0。

正确答案：B解析：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。

因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ2=0。

当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)，故应选B。

考研数学二(线性方程组)模拟试卷18

考研数学二（线性方程组）模拟试卷18(总分：62.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A是m×n阶矩阵，下列命题正确的是( )．（分数：2.00）A.若方程组AX＝0只有零解，则方程组AX＝b有唯一解B.若方程组AX＝0有非零解，则方程组AX＝b有无穷多个解C.若方程组AX＝b无解，则方程组AX＝0一定有非零解D.若方程组AX＝b有无穷多个解，则方程组AX＝0一定有非零解√解析：解析：方程组只有零解，而无解，故A项不对；方程组有非零解，而无解，故B项不对；方程组无解，但＝0 只有零解，故C项不对；若AX＝b有无穷多个解，则r(A)＝)＜n，从而r(A)＜n，故方程组AX＝0一定有非零解，选D．3.设A是m×n阶矩阵，则下列命题正确的是( )．（分数：2.00）A.若m＜n，则方程组AX＝b一定有无穷多个解B.若m＞n，则方程组AX＝b一定有唯一解C.若r(A)＝n，则方程组AX＝b一定有唯一解D.若r(A)＝m，则方程组AX＝b一定有解√解析：解析：因为若r(A)＝m(即A为行满秩矩阵)，则r()＝m，于是r(A)＝，即方程组AX＝b一定有解，选D．4.设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A＝(α1，α2，α3，α4 )，AX＝0的通解为X＝k(0，－1，3，0) T，则A * X＝0的基础解系为( )．（分数：2.00）A.α1，α3B.α2，α3，α4C.α1，α2，α4√D.α3，α4解析：解析：因为AX＝0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)＝3，于是r(A * )＝1．因为A * A＝｜A｜E＝O，所以α1，α2，α3，α4为A * X＝0的一组解，又因为－α2＋3α3＝0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α3线性无关，即为A * X＝0的一个基础解系，应选C．5.设向量组α1，α2，α3为方程组AX＝0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX＝0的基础解系的是( )．（分数：2.00）A.α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1B.α1＋α2，α2＋α3，α1＋2α2＋α3C.α1＋2α2，2α2＋3α3，3α3＋α1√D.α1＋α2＋α3，2α1－3α2＋22α3，3α1＋5α2－5α3解析：解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX＝0的解向量组，容易验证四组中只有选项C组线性无关，所以选C．6.设α1，α2为齐次线性方程组AX＝0的基础解系，β1，β2为非齐次线性方程组AX＝b的两个不同解，则方程组AX＝b的通解为( )．（分数：2.00）A.k 1α1＋k 2 (α1－α2 )＋B.k 1α1＋k 2 (β1－β2 )＋C.k 1α1＋k 2 (β1＋β2 )＋D.k 1α1＋k 2 (α1＋α2 )＋√解析：解析：选D，因为α1，α1＋α2为方程组AX＝0的两个线性无关解，也是基础解系，而为方程组AX＝b的一个特解，根据非齐次线性方程组通解结构，选D．二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设A＝＜0)，且AX＝0有非零解，则A * X＝0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：X＝1，C 1为任意常数)）解析：解析：因为AX＝0有非零解，所以｜A｜＝0，而｜A｜＝＝－(a＋4)(a－6)且a＜0，所以a ＝－4．因为r(A)＝2，所以r(A * )＝1．因为A * A＝｜A｜E＝O，所以A的列向量组为A * X＝0的解，故A * X＝0的通解为X＝(C 1，C 1为任意常数)．8.设A为n阶矩阵，A的各行元素之和为0且r(A)＝n－1，则方程组AX＝0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*](其中k为任意常数)）解析：解析：k(1，1，…，1) T，其中k为任意常数．因为A的各行元素之和为零，所以＝0，又因为r(A)＝n－1，所以为方程组AX＝0的基础解系，从而通解为(其中k为任意常数)．9.设A为，2阶矩阵，且｜A｜＝0，A ki≠0，则AX＝0的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：C(A k1，A k2…，A ki，…，A kn ) T (C为任意常数)）解析：解析：因为｜A｜＝0，所以r(A)＜n，又因为A ki≠0，所以r(A *)≥1，从而r(A)＝n－1，AX＝0的基础解系含有一个线性无关的解向量，又AA *＝｜A｜E＝O，所以A *的列向量为方程组AX＝0的解向量，故AX—O的通解为C(A k1，A k2…，A ki，…，A kn ) T (C为任意常数)．10.设η1，…，ηs是非齐次线性方程组AX＝b的一组解，则k 1η1＋…＋k sηs为方程组AX＝b 的解的充分必要条件是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：k 1＋k 2…＋k s＝1）解析：解析：k 1＋k 2＋…k s＝1．显然k 1η1＋k 2η2＋…＋k sηs为方程组AX＝b的解的充分必要条件是A(k 1η2＋k 2η2＋…＋k sηs )＝b，因为Aη1＝Aη2＝…＝Aηs＝b，所以(k 1＋k 2＋…＋k s )b＝b，注意到b≠0，所以k 1＋k 2＋…＋k s＝1，即k 1η1＋k 2η2＋…＋k s ηs为方程组AX＝b的解的充分必要条件是是k 1＋k 2…＋k s＝1．11.设B≠O为三阶矩阵，且矩阵B k＝ 1，｜B｜＝ 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）填空项1:__________________ （正确答案：0．）解析：解析：令A因为B的列向量为方程组的解且B≠0，所以AB＝O且方程组有非零解，故｜A｜＝0，解得k＝1．因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2＜3，故｜B｜＝0．12.设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX＝b的三个解向量，r(A)＝3，且α1＋α2＝，α2＋α3＝，则方程组AX＝b的通解为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：因为r(A)＝3，所以方程组AX＝b的通解为kξ＋η，其中ξ＝α3－α1＝(α2＋α3 )－(α1＋α2 )＝，η＝于是方程组的通解为13.a＝ 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：－1）解析：解析：因为方程组无解，所以r(A)＜r( )≤3，于是r(A)＜3，即｜A｜＝0．由｜A｜＝3＋2a－a 2＝0，得a＝－1或a＝3．当a一3时，因为A＝r(A)＝r( )＝2＜3，所以方程组有无穷多个解；当a＝－1时，因为)，所以方程组无解，于是a＝－1．14.设方程组 a 1，a 2，a 3，a 4满足的条件是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0）解析：解析：因为原方程组有解，所以r(A)＝，于是a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0．三、解答题(总题数：17，分数：34.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(常微分方程)模拟试卷8(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）模拟试卷8(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．微分方程y’’-4y=e2x+x的特解形式为( )．A．ae2x+bx+cB．ax2e2x+bx+cC．axe2x+bx2+cxD．axe2x+bx+c正确答案：D解析：y’’-4y=0的特征方程为λ2-4=0，特征值为λ1=-2，λ2=2．y’’-4y=e2x 的特解形式为y=axe2x，y’’-4y=x的特解形式为y2=bx+C，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，选(D)．知识模块：常微分方程2．设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=ex，y2=2xex，y3=3e-x，则该微分方程为( )．A．y’’’-y’’-y’+y=0B．y’’’+y’’-y’-y=0C．y’’’+2y’’-y’-2y=0D．y’’’-2y”-y’+2y=0正确答案：A解析：由y1=ex，y2=2xe-x，y3=3e-x为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1，λ3=-1，其特征方程为(λ-1)2(λ+1)=0，即λ3-λ2-λ+1=0，所求的微分方程为y’’’-y’’-y’+y=0，选(A)．知识模块：常微分方程3．设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )．A．C[φ1(x)+φ2(x)]B．C[φ1(x)-φ2(x)]C．C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)D．[φ1(x)-φ2(x)]+Cφ2(x)正确答案：C解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)-φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)-φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．知识模块：常微分方程填空题4．yy’’=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的解为______正确答案：±x解析：令y’=p，则，解得In(1+p2)=lny2+lnC1，则1+p2=C1y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’=+C2=±x，由y(0)=1得C2=0，所以特解为知识模块：常微分方程5．微分方程y’’+4y=4x-8的通解为_______正确答案：C1cosx+C2sin2x+x-2．解析：微分方程两个特征值为λ1=-2i，λ2=2i，则微分方程的通解为y=C1cosx+C2sin2x+x-2．知识模块：常微分方程6．设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y’’-6y’+9y=e3x，则y(x)=________正确答案：解析：由题意得y(0)=0，y’(0)=2，y’’-6y’+9y=e3x的特征方程为λ2-6λ+9=0，特征值为λ1=λ2=3，令y’’-6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x，代人得a=故通解为y=(C1+C2x)e3x+由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，则y(x)=2xe3x+ 知识模块：常微分方程7．微分方程2y’’=3y2满足初始条件y(-2)=1，y’(-2)=1的特解为_________正确答案：解析：令y’=p，则y’’=，解得p2=y3+C1，由y(-2)=1，y’(-2)=1，得C1=0，所以y’=，再由y(-2)=1，得C2=0，所求特解为= 知识模块：常微分方程8．微分方程xy’=的通解为________正确答案：ln｜x｜+C解析：由xy’= 知识模块：常微分方程9．设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+y’+qy=Q(x)有特解y=3e-4x+x2+3x+2，则Q(x)=______，该微分方程的通解为_______正确答案：-12x2-34x-19，C1e-4x+C2e2+x2+3x+2解析：显然λ=-4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=-12，即特征方程为λ2+λ-12=0，特征值为λ1=-4，λ2=3．因为x2+3x+2为特征方程y’’+y’-12y=Q(x)的一个特解，所以Q(x)=2+2x+3-12(x2+3x+2)=-12x2-34x-19，且通解为y=C1e-4x+C2e2+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)．知识模块：常微分方程10．以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为______正确答案：-sinx-3cosx，y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．解析：特征值为λ1=-2，λ2=1，特征方程为λ2+λ-2=0，设所求的微分方程为y’’+y’-2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为y’’+y’-2y=-sinx-3cosx．知识模块：常微分方程11．设y’’-3y’+ay=-5e-x的特解形式为Axe-x，则其通解为______正确答案：y=C1e-x+C2e4x+xe-x解析：因为方程有特解Axe-x，所以-1为特征值，即(-1)2-3×(-1)+a=0a=-4，所以特征方程为λ2-3λ-4=0λ1=-1，λ2=4，齐次方程y’’-3y’+ay=0的通解为y=C1e-x+C2e4x，再把Axe-x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C1e-x+C2e4x+xe-x 知识模块：常微分方程12．设f(x)可导，且[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=________正确答案：e-x解析：由整理得f(x)+f(u)du=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x 知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二(选择题)模拟试卷18(题后含答案及解析)

考研数学二（选择题）模拟试卷18(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)=，则( )A．x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点．B．x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C．x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D．x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点正确答案：D解析：由f(x)的表达式可知x=0，x=1为其间断点．故x=1是第一类间断点，x=0是第二类间断点，选(D)．知识模块：函数、极限、连续2．函数的间断点及类型是( )A．x=1为第一类间断点，x=一1为第二类间断点B．x=±1均为第一类间断点C．x=1为第二类间断点，x=一1为第一类间断点D．x=±1均为第二类间断点正确答案：B解析：分别就｜x｜=1，｜x｜＜1，｜x｜＞1时求极限得出f(x)的分段表达式在｜x｜=1处，因所以，x=±1均为f(x)的第一类间断点。

故选B。

知识模块：函数、极限、连续3．设则( )A．f(x)在点x=1处连续，在点x=一1处间断B．f(x)在点x=1处间断，在点x=一1处连续C．f(x)在点x=1，x=一1处均连续D．f(x)在点x=1，x=一1处均间断正确答案：B解析：由函数连续定义可知所以f(x)在x=1处间断。

为有界量，，则所以f(x)在x=一1处连续。

故选B。

知识模块：函数、极限、连续4．f(x)=2x+3x-2，当x→0时( )．A．f(x)～xB．f(x)是x的同阶但非等价的无穷小C．f(x)是x的高阶无穷小D．f(x)是x的低阶无穷小正确答案：B解析：因为=ln2+ln3=ln6，所以f(x)是x的同阶而非等价的无穷小，选(B)．知识模块：函数、极限、连续5．设f(x)是不恒为零的奇函数，且f’(0)存在，则g(x)=( )．A．在x=0处无极限B．x=0为其可去间断点C．x=0为其跳跃间断点D．x=0为其第二类间断点正确答案：B解析：因为f’(0)存在，所以f(x)在x=0处连续，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然x=0为g(x)的间断点，因为，所以x=0为g(x)的可去间断点，选(B) 知识模块：高等数学部分6．设f(x0)≠0，f(x)在x=x0连续，则f(x)在x0可导是｜f(x)｜在x0可导的( )条件．A．充分非必要B．充分必要C．必要非充分D．既非充分也非必要正确答案：B解析：由f(x0)≠0=>f(x0)＞0或f(x0)＜0，因f(x)在点x0处连续，则f(x)在x0某邻域是保号的，且δ＞0，当｜x－x0｜＜δ时，因此应选B．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算7．已知为某函数的全微分，则a等于A．－1．B．0C．1D．2正确答案：D 涉及知识点：多元函数微分学8．设线性方程组AX=β有3个不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)=n－2，n是未知数个数，则( )正确．A．对任何数c1，c2，c3，c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解；B．2γ1－3γ2+γ3是导出组AX=0的解；C．γ1，γ2，γ3线性相关；D．γ1－γ2，γ2－γ3是AX=0的基础解系．正确答案：B解析：Aγi=β，因此A(2γ1－3γ2+γ3)=2β－3β+β=0，即2γ1－3γ2+γ3是AX=0的解，B正确．c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解c1+c2+c3=1，A缺少此条件．当r(A)=n－2时，AX=0的基础解系包含两个解，此时AX=β存在3个线性无关的解，因此不能断定γ1，γ2，γ3线性相关．C不成立．γ1－γ2，γ2－γ3都是AX=0的解，但从条件得不出它们线性无关，因此D不成立．知识模块：线性方程组9．设常数α＞0，，则A．I1＞I2．B．I1＜I2．C．I1=I2．D．I1与I2的大小与α的取值有关．正确答案：A解析：当0＜x＜时cosx＞sinx，又0＜x＜－x，所以I1－I2＞0．故选A．知识模块：一元函数积分概念、计算及应用10．设g(x)=∫0xf(μ)dμ，其中f(x)=则g(x)在区间(0，2)内( )A．无界。

考研数学二(填空题)高频考点模拟试卷18(题后含答案及解析)

考研数学二（填空题）高频考点模拟试卷18(题后含答案及解析) 题型有：1.1．已知Dn=，若Dn=anDn－1+kDn－2，则k=________．正确答案：1解析：从而k=1．知识模块：行列式2．设＝4，则a＝_______，b＝_______．正确答案：a＝±；b＝1解析：利用洛必达法则可得当a＝0时，又当a≠0时故且b＝1 且b＝1．知识模块：极限、连续与求极限的方法3．=______。

正确答案：1解析：利用等价无穷小量替换将极限式进行化简，即知识模块：函数、极限、连续4．曲线的斜渐近线为________．正确答案：y=2x-4解析：曲线的斜渐近线为y=2x-4．知识模块：高等数学5．曲线上对应点t=2处的切线方程为________．正确答案：y=3x－7解析：t=2时(x，y)=(5，8)，切线方程为y－8=3(x－5)，即y=3x－7．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算6．若f(t)=，则f’(t)=____________．正确答案：(2t+1)e2t解析：f(t)= 知识模块：一元函数微分学7．已知α1，α2，α3线性无关，α1+α2，aα2－α3，α1－α2+α3线性相关，则a=________．正确答案：2解析：记β1=α1+α2，β2=aα2－α3，β3=α1－α2+α3，则β1，β2，β3线性相关=0 a－2=0 => a=2．知识模块：向量组的线性关系与秩8．∫0π=________.正确答案：解析：知识模块：高等数学9．=_______正确答案：解析：因为ln(x+)为奇函数，所以x2ln(x+)为奇函数，知识模块：高等数学部分10．设z=z(x，y)是由方程确定的隐函数，则在点(0，一1，1)的全微分dz=______。

正确答案：2dx+dy解析：方程两边微分，有将x=0，y=一1，z=1代入上式，得，即有dz=2dx+dy。

知识模块：多元函数微积分学11．计算下列n阶行列式：(1)＝_______；(2)＝_______．正确答案：(1)(χ1)(χ－2)…(χ－n＋1)．(2)(－1)n-1(n－1)χn-2．涉及知识点：行列式12．设z=f(xy)+yφ(x+y)，f，φ具有二阶连续导数，则=________。

考研数学二(行列式)模拟试卷18(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式）模拟试卷18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设多项式，则x2的系数和常数项分别为( )A．6，-6B．-6，6C．6，6D．-6，-6正确答案：D解析：本题考查行列式的概念，不需要计算行列式，由定义的一般项的构成可得到要求的结果．由行列式的定义知，主对角线元素的乘积就是x4的项，即x·2x(-x)·3x=-6x4．当x=0时行列式的值就是常数项，经计算f(0)=-6，故选D．知识模块：行列式2．设多项式则方程f(x)=0的根的个数为( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：本题考查行列式的概念、性质、计算公式和代数基本定理，方程的根与次数的关系．不需要计算行列式，根据定义的一般项的构成能看出多项式的次数即可．由于由行列式的定义知f(x)是一个二次多项式，所以f(x)=0的根有两个．故选B．知识模块：行列式3．行列式等于( )A．(ad-bc)2B．-(ad-bc)2C．a2d2-b2c2D．b2c2-a2d2正确答案：B解析：本题考查行列式的性质与计算，所涉及的知识点：是行列式的性质；行列式的计算公式；行列式按一行(列)展开定理、拉普拉斯定理．解法1：用行列式的性质与公式计算行列式：解法2：用行列式的性质与按一行(列)展开定理计算行列式：解法3：用行列式的性质与拉普拉斯定理计算行列式：知识模块：行列式4．设A为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，α，β是线性无关的3维列向量，且A的秩r(A)=2，Aα=β，Aβ=α，则｜A+3E｜为( )A．0B．6C．18D．24正确答案：D解析：本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式．先用特征值与特征向量的定义和r(A)求出抽象矩阵的特征值，再根据特征值与该矩阵行列式的关系计算行列式．由于r(A)=2，所以λ=0是A的一个特征值，由Aα=β，Aβ=α，可得A(α+β)=α+β，A(α-β)=-(α-β)，而α，β线性无关，所以α+β≠0，α-β≠0，所以1，-1是A的另两个特征值，因此A的特征值为0，1，-1，于是A+3E的特征值是3，4，2，故｜A+3E｜=3×4×2=24．知识模块：行列式填空题5．行列式=_____________________________正确答案：x2y2解析：本题考查行列式的性质和按1列(或1行)展开定理．该行列式的特点是主对角线两侧的元素相同，但主对角线上的元素不同．所以不能用叠加法，由行列式的展开定理．将行列式加上1行和1列．使其将该行列式两侧相同的元素消成零，化成“个”字行列式，再用行列式的性质将个字行列式化成三角形行列式可求其值．注意到当x=0或y=0时，D=0，而当xy≠0时，有知识模块：行列式6．设则行列式第1列各元素的代数余子式之和A11+A21+A31+A41=_________________．正确答案：0解析：本题主要考查行列式代数余子式的概念．根据行列式代数余子式的定义知：D的第1列元素的代数余子式与第1列元素无关，所以，所求A11+A21+A31+A41的值相当于将行列式D的第1列用I代替而得的行列式的值．根据行列式按1行(列)展开定理得知识模块：行列式7．设A，B均为n阶方阵，且｜A｜=2，｜B｜=-3则=__________________．正确答案：解析：本题考查方阵行列式的有关性质和计算公式．熟练掌握方阵行列式的有关性质、公式和运算是解题的关键．知识模块：行列式8．设α1，α2，α3是3维列向量，令A=(α1，α2，α3)，B=(α3+3α1，α2，4α1)，且｜A｜=-1，则｜B｜=_____________．正确答案：4解析：本题考查行列式的性质、向量组与矩阵的关系和向量组线性组合的概念，灵活运用上述关系计算行列式．解法1：用行列式的性质计算行列式．｜B｜=4｜α3+3α1，α2，α1｜=4｜α3，α2，α1｜=-4｜α1，α2，α3｜=-4×(-1)=4解法2：用向量组线性组合计算行列式．由于两边取行列式知识模块：行列式9．设A为3阶方阵，｜A｜=2，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行和第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________________．正确答案：-8解析：本题考查方阵行列式的计算，涉及的知识点是矩阵初等变换与初等矩阵的关系．要求考生熟练运用矩阵初等变换与初等方阵的关系计算行列式．由于B=E(1，2)A，所以AB*=E(1，2)AA*=｜A｜E(1，2)，故｜BA*｜=｜｜A｜E(1，2)｜=｜A｜3｜E(1，2)｜=-23=-8．知识模块：行列式10．设A，B为3阶方阵，且｜A｜=1，｜B｜=2，｜A-1+B｜=2，则｜A+B-1｜=__________________．正确答案：1解析：本题考查方阵行列式的计算，涉及的知识点是逆矩阵的有关性质、要求考生运用应用矩阵与其逆矩阵的关系计算行列式．知识模块：行列式11．设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT是A 的转置矩阵，若a11，a12，a13是3个相等的正数，则a11=______________________．正确答案：解析：本题考查行列式按行(列)展开定理、矩阵与其伴随矩阵的行列式的关系．要求考生应用行列式的性质，展开定理、矩阵与其伴随矩阵的行列式的关系计算行列式．由｜AT｜=｜A*｜和｜A*｜=｜A｜3-1=｜A｜2，得｜A｜2=｜A｜，即｜A｜(｜A｜-1)=0，从而｜A｜=0或｜A｜=1．将｜A｜按第一行展开，再由A*=AT知aij=Aij得｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a211+a212+a213=3a211＞0，于是得｜A｜=1，即3a211=1，故a11=．知识模块：行列式12．设3阶矩阵A的特征值为2，-2，1，B=A2-A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式｜B｜=___________________．正确答案：21解析：本题考查用方阵的特征值与特征向量以及相似矩阵的理论计算行列式．所涉及的知识点是：若λ是A的特征值，则φ(λ)是φ(A)的特征值；特征值的积等于该矩阵的行列式的值．设3阶矩阵A的特征值为2，-2，1，而由B=A2-A+E知B的特征值为3，7，1，所以｜B｜=21．故应填21．知识模块：行列式13．设n阶实对称矩阵A满足A2+2A=O，若r(A)=k(0＜k＜n)，则｜A+3E｜=_______________．正确答案：3n-k(0＜k＜n)．解析：本题考查用特征值计算抽象矩阵的行列式．先用特征值与特征向量的定义求出抽象矩阵的特征值，再由r(A)=k(0＜k＜n)确定A的特征值的重数，最后根据特征值与该矩阵行列式的关系计算行列式．由A2+2A=O知，A的特征值为-2或0，又r(A)=k(0＜k＜n)，且A是n阶实对称矩阵，则故｜A+3E｜=3n-k．知识模块：行列式解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二二次型模拟试卷18_真题-无答案

考研数学二（二次型）模拟试卷18(总分56,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22-4x32-4x1x2-2x2x3的标准形为A. 2y12-y22-3y32B. -2y12-y22-3y32C. -2y12+y22D. 2y12+y22+3y322. 填空题1. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换化成了标准形f=y12+2y22，其中P为正交矩阵，则α=_____，β=________．2. 若二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32+2λx1x2-2x1x3+4x2x3为正定二次型，则λ的取值范围是_____．3. 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2的秩为_______．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3，写出f的矩阵A，求出A的特征值，并指出曲面f(x1，x2，x3)=1的名称．2. 设矩阵A=相似于对角矩阵．(1)求a的值；(2)求一个正交变换．将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx 化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．3. 设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否为正定矩阵?4. 已知二次型f(x1，x2，x3)=x12-2x22+bx32-4x1x2+4x1x3+2ax2x3(a＞0)经正交变换化成了标准形f=2y12+2y22-7y32．求a、b的值和正交矩阵P．5. 设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B 为正定矩阵．6. 设有n元实二次型f(x1，x2，x3)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中a(i=1，2，…，n)为实数．试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f为正定二次型．7. 设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A=(aij)n×n为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．8. 设矩阵An×n正定，证明：存在正定阵B，使A=B2．9. 设λ1、λn分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、Xn分别为对应于λ1和λn 的特征向量，记f(X)=，X∈Rn，X≠0证明：λ1≤f(X)≤λn，minf(X)=λ1=f(X1)，maxf(X)=λn=f(Xn)．10. 求二元函数f(x，y)=(x2+y2≠0)的最大值，并求最大值点．11. 求三元函数f(x1，x2，x3)=3x12+2x22+3x32+2x1x3在x12+x22+x32=1条件下的最大及最小值，并求出最大值点及最小值点．12. 设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．13. 设n阶矩阵A正定，X=(x1，x2，…，xn)T，证明：二次型f(x1，x2，…，xn)=为正定二次型．14. 设实对称矩阵A满足A2-3A+2E=O，证明：A为正定矩阵．15. 设A是n阶实对称矩阵．证明：(1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有｜xTAx｜≤cxTx．(2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵．(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．16. 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj．(1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A-1；(2)二次型g(x)=xTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．17. 设A、B为同阶正定矩阵．且AB=BA．证明：AB为正定矩阵．18. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型f的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12．(1)求a、b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形．并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．19. 已知矩阵B=相似于对角矩阵A．(1)求a的值；(2)利用正交变换将二次型XTBX化为标准形，并写出所用的正交变换；(3)指出曲面XTBX=1表示何种曲面．20. 已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值．其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．21. 设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵．(1)计算PTDP，其中P=，(Ek为k阶单位矩阵)；(2)利用(1)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明你的结论．22. 已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22，且Q的第3列为(Ⅰ)求矩阵A；(Ⅱ)证明A+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵．。

考研数学二一元函数微分学-试卷18_真题-无答案

考研数学二（一元函数微分学）-试卷18(总分62,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1. 设，则( )A. f(x)在x=x0处必可导，且f"(x0)=aB. f(x)在x=x0处连续，但未必可导C. f(x)在x=x0处有极限，但未必连续D. 以上结论都不对2. 设f(x)可导且则当△x→0时，f(x)在x0点处的微分dy是( )A. 与△x等价的无穷小。

B. 与△x同阶的无穷小。

C. 比△x低阶的无穷小。

D. 比△x高阶的无穷小。

3. 设函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=一1处取得增量△x=一0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f"(1)等于( )A. 一1B. 0．1C. 1D. 0．54. 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0,f""(x)＞0，△x为自变量x在点x0处的增量，△y 与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( )A. 0＜dy＜△yB. 0＜△y＜dyC. △y＜dy＜0D. dy＜△y＜05. 设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h"(1)=1，g"(1)=2，则g(1)等于( )A. ln3—1B. 一ln3—1C. 一ln2—1D. ln2—16. 设g(x)可微，=( )A. 一ln2—1B. ln2—1C. 一ln2—2D. ln2—27. =( )A.B.C. In(1+lnx)一In(1+2x)D. In(1+lnx)一21n(1+2x)8. 设f(x)=(x一a)(x一b)(x—c)(x一d)，其中a，b，c，d互不相等，且f"(k)=(k一a)(k一b)(k一c)，则k的值等于( )A. aB. bC. cD. d9. 对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f"(0)=1，则f"(1)=( )A. 0B. 1C. 2D. 以上都不正确10. 设函数f(x)在(一∞，+∞)存在二阶导数，且f(x)=f(一x)，当x＜0时有f"(x)＜0，f""(x)＞0，则当x＞0时，有( )A. f"(x)＜0，f""(x)＞0B. f"(x)＞0，f""(x)＜0C. f"(x)＞0，f""(x)＞0D. f"(x)＜0，f""(x)＜011. 已知函数f(x)具有任意阶导数，且f"(x)=f2(x)，则当n为大于2的正整数时，f(x)的n阶导数是( )A. n![f(x)]n+1B. n[f(x)n+1C. f(x)]2nD. n![f(x)]2n12. 设函数f(x)在闭区间[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内可导，则( )A. 当f（A）f（B）＜0，存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0B. 对任何ξ∈(a，b)，有C. 当f（A）=f（B）时，存在ξ∈(a，b)，使f"(ξ)=0。

考研数学二(二次型)模拟试卷18

考研数学二（二次型）模拟试卷18(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.二次型f(x 1，x 2，x 3 )=2x 12 +x 22 -4x 32 -4x 1 x 2 -2x 2 x 3的标准形为（分数：2.00）A.2y 12 -y 22 -3y 32√B.-2y 12 -y 22 -3y 32C.-2y 12 +y 22D.2y 12 +y 22 +3y 32解析：解析：f既不正定(因f(0，0，1)=-4＜0)，也不负定(因f(1．0，0)=2＞0)，故(D)、(B)都不对，又f的秩为3，故(C)不对，只有(A)正确．或用配方法．二、填空题(总题数：3，分数：6.00)3.设二次型f(x 1，x 2，x 3 )=x 12 +x 22 +x 32 +2ax 1 x 2 +2βx 2 x 3 +2x 1 x 3经正交变换化成了标准形f=y 12 +2y 22，其中P为正交矩阵，则α= 1，β= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：0）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：解析：α=β=0，A= 的秩=f的秩=2，｜A｜=0，α=β，又0=｜E-A｜=-2α2，α=β=0．4.若二次型f(x 1，x 2，x 3 )=x 12 +4x 22 +4x 32 +2λx 1 x 2 -2x 1 x 3 +4x 2 x 3为正定二次型，则λ的取值范围是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：-2＜λ＜1）解析：解析：由A= 的各阶顺序主子式均大于0，即△ 1 =1＞0，△ 2 = 4-λ2＞0，△ 3 =｜A｜=-4(λ+2)(λ-1)＞0，-2＜λ＜1．5.二次型f(x 1，x 2，x 3 )=(x 1 +x 2 ) 2 +(x 2 -x 3 ) 2 +(x 3 +x 1 ) 2的秩为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f的矩阵2．三、解答题(总题数：23，分数：46.00)6.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷18
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设φ1(χ)，φ2(χ)，φ3(χ)为二阶非齐次线性方程y〞＋a1(χ)y′＋a2(χ)y＝f(χ)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．
（A）C1[φ1(χ)＋φ2(χ)]＋C2φ3(χ)
（B）C1[φ1(χ)－φ2(χ)]＋C2φ3(χ)
（C）C1[φ1(χ)＋φ2(χ)]＋C2[φ1(χ)－φ3(χ)]
（D）C1φ1(χ)＋C2φ2(χ)＋C3φ3(χ)，其中C1＋C2＋C3＝1
2 微分方程y〞－y＝eχ＋1的一个特解应具有形式(式中a，b为常数)( )．
（A）aeχ＋b
（B）aχeχ＋b
（C）aeχ＋bχ
（D）aχeχ＋bχ
3 在下列微分方程中以y＝C1eχ＋C2cos2χ＋C3sin2χ(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )．
（A）y″′＋y〞－4y′－4y＝0
（B）y″′＋y〞＋4y′＋4y＝0
（C）y″′－y〞－4y′＋4y＝0
（D）y″′－y〞＋4y′－4y＝0
二、填空题
4 微分方程y′－χe-y＋＝0的通解为_______．
5 微分方程yy〞－2(y′)2＝0的通解为_______．
6 微分方程χy′＝＋y(χ＞0)的通解为_______．
7 以y＝C1eχ＋eχ(C2cosχ＋C3sinχ)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为
_______．
8 设y(χ)为微分方程y〞－4y′＋4y＝0满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝2的特解，则∫01y()dχ＝_______．
9 设函数φ(u)可导且φ(0)＝1，二元函数z＝φ(χ＋y)eχy满足＝0，则φ(u)＝_______
三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

10 设A从原点出发，以固定速度v0沿y轴正向行驶，B从(χ0，0)出发(χ0＜0)，以始终指向点A的固定速度v1朝A追去，求B的轨迹方程．
11 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v0(m／s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kχ(kg.s2／m2)，在垂直方向的比例系数为k y(kg.s2／m2)．设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．
12 设函数y＝y(χ)满足△y＝△χ＋o(△χ)，且y(0)＝0，求函数y＝y(χ)．
13 设f(χ)在(－∞，＋∞)上有定义，且对任意实数a，b，都有等式f(a＋b)＝e a f(b)＋
e b f(a)成立，又f′(0)＝1，求f(χ)．
14 设当u＞0时f(u)一阶连续可导，且f(1)＝0，又二元函数z＝f(eχ－e y)满足
＝1，求f(u)．
15 求微分方程χy＝χ2＋y2满足条件y｜χ＝e＝2e的特解．
16 微分方程χ＝y(lny－lnχ)的通解．
17 求微分方程的通解．
18 求微分方程χy′＋(1－χ)y＝e2χ(χ＞0)的满足y(χ)＝1的特解．
19 求微分方程y＋ycosχ＝(lnχ)e－sinχ的通解．
20 求微分方程χ－2y＝χlnχ的满足初始条件y(1)＝0的特解．
21 求微分方程(1－χ2)y〞－χy′＝0的满足初始条件y(0)＝0，y′(0)＝1的特解．
22 已知微分方程y′＋y＝f(χ)，其中f(χ)＝，求该微分方程的解y ＝y(χ)满足y(0)＝0．
23 解方程(3χ2＋2)y〞＝6χy′，已知其解与eχ－1(χ→0)为等价无穷小．
24 求微分方程yy〞＋(y′)2＝0的满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝的特解．
25 设函数y＝y(χ)满足微分方程y〞－3y′＋2y＝2eχ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线y＝χ2－χ＋1在该点的切线重合，求函数y＝y(χ)．
26 求微分方程y〞－y＝4cosχ＋eχ的通解．
27 设连续函数f(χ)满足：∫01[f(χ)＋χf(χt)]dt与χ无关，求f(χ)．
28 设f(χ)二阶可导，且∫0χf(t)dt＋∫0χtf(χ－t)dt＝χ，求f(χ)．
29 设u＝f(ln)满足，求f(t)的表达式．。