山西省太原市高三数学第一次模拟试题 文 新人教A版

康杰中学2013年数学（文）模拟试题
（一）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 设全集U=R ，集合
{|2},{|05}A x x B x x =≥=≤<，则集合()U C A B
⋂=（ ）
A. {|02}x x <<
B. {|02}x x <≤
C. {|02}x x ≤<
D. {|02}x x ≤≤
在复平面内，复数
341i
z i +=
-对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 已知数列{}
n a 是等差数列，且1472a a a π
++=，
则
35tan()
a a +的值为（ ）
A.
3
B. 3-
C. 3
3
D.
3
- 双曲线222
1(0)3x y a a -=>有一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为
（ ）
A. 12y x
=± B. 2y x =±
C.
33y x
=±
3y x =±函数3
y x =与2
1()2x y -=图形的交点为
（a,b ），则a 所在区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D.（3，4）
按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M 的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
一个几何体的三视图及部分数据如图所示，侧视图为等腰三角形，俯视图为正方形，则这个几何体的体积等于（ ）
A. 13
B. 23
C.
156
D. 6224 函数
1cos 2()cos x f x x -=
（ ）
A. 在[0,),(,]22πππ上递增，在
33[,),(,2]22ππ
ππ上递减
B. 在
3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减
C. 在3(,],(,2]22ππππ上递增，在
3[0,),[,)
22ππ
π上递减
D. 在33[,),(,2]22ππππ上递增，在
[0,),(,]22ππ
π上递减
下列各命题中正确的命题是（ ）
①若“,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是“若a b +不是偶数，则,a b 都不是奇数”；
②命题“2
,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2
,13x R x x ∀∈+≤”；
③“函数
22
()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；
④“平面向量a b r r
与的夹角是钝角”的充分必要条
件是“0a b ⋅<r r
”.
A. ②③
B. ①②③
C. ①②④
D. ③④ 存在两条直线
x m =±与双曲线
22
221(0,0)x y a b a b -=>>相交于A 、B 、C 、D 四点，
若四边形ABCD 为正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. （1
B. （1
C.
，+∞）
D.
+∞）
点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面，
，
AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为2
3，则这个
球的表面积为（ ）
A. 1256π
B. 8π
C. 254π
D. 2516π
设函数
1
()f x x x
=-
，
对
任
意
[1,),()()0x f mx mf x ∈+∞+<恒成立，则实数m
的取值范围是（ ） A. （-1，1）
B. ,0m R m ∈≠
C. （-∞，-1）
D. （-∞，-1）或（1，+∞）
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 曲
线y x =
在
4x π
=
处的切线的倾斜角
是 .
设向量,,a b c r r r 满足0a b c ++=r r r r
，且
0,||3,||4,||a b a c b ⋅===r r r r r
则= .
已知实数,x y 满足10
220x y x y ++≥⎧⎨
-+≥⎩
，若（-1，0）是使ax y +取得最大值的可行解，则实数a 的取值范围是 . 在
ABC
∆中
，
2
2sin ,sin()2cos sin ,2
A
A B C B C =-=则AC
AB = .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 （本小题满分12分）
已知单调递增的等比数列
{}
n a 满足：
23428
a a a ++=，且
324
2,a a a +是的等差中项.
（I ）求数列{}
n a 的通项公式；
（II ）设
12
log n n n
b a a =，求数列
{}
n b 的前
n 项和
n
S .
（本小题满分12分） 如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、
BC 的中点，
，CA=CB=CD=BD=2， （1）求证：BD ⊥
AC
C
（2）求四面体EADC 的体积.
（本小题满分12分）某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差x/℃ 10
11
13
12
8
发芽数
y /颗
23 25 30 26 16
（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m,n ，求事件“m,n 均不小于25的概率.”
（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
ˆˆˆy
bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：
1
2
21
ˆˆˆ,n
i i
i n
i i x y nx y
b
a
y bx x nx
==-==--∑∑）（参
考数据：
3
3
21
1
977,434
i i
i i i x y
x ====∑∑）
（本小题满分12分）
设椭圆C ：22
2
21(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点到直线1
x y
a b +=的距离
217d =，O 为坐标原点.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于A 、B 两点，证明点O 到直线AB 的距离为定值，并求出定值.
（本小题满分12分）已知函数
1ln ()x f x x +=
.
（1）设0a >,若函数()f x 在区间
1(,)
2a a +上存在极植，求实数a 的取值范围；
（2）如果当1x ≥时，不等式
2()1k k
f x x -≥
+恒成立，求实数k 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，圆O 的半径OC 垂直于直径AB ，弦CD 交半径OA 于E ，过D 的切线与BA 的延长线交于M.
（I ）求证：MD=ME ；
（2）设圆O 的半径为1，MD=3，求MA 及CE 的长.
（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲
已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程为12322t x y t ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数） （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换3x x y y '=⎧⎨
'=⎩
得到曲线
C '，设曲线C '上任意一点为(,)M x y ，求
23x y +的最小值。

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||2f x x a x =-+，其中0a >.
（I ）当2a =时，求不等式()21f x x ≥+的解集； （II ）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围.
高三数学（文）模拟（一）答案 1. C ∵{|2},U C A x x =<
∴()U C A B ⋂={|02},x x ≤<故选C 2. B ∵
34(34)(1)17)17
1(1)(1)222i i i i z i i i i +++-+=
===-+--+
∴点17
(,)
22-在第二象限，故选
B.
3. A ∵
1472a a a π
++=，∴
432a π
=，
∴423a π=
∴
3544tan()tan 2tan
33a a a π
+===，故选A.
4. D 抛物线焦点（2，0），则2
34a +=
∴2
1a =，∴1a =，∴双曲线方程为：2
2
13y x -=.
∴渐近线方程为3y x =±
6. B 按框图推演可得M 的值为6，故选B 。

7. A 由题知，原几何体为一四棱锥.
∴
111122S =⋅⋅=
底,高=2 ∴
1112323V =⋅⋅=
9. A 易知：①不正确，排除B,C. ②正确，故选A.
10.C 依题意，不妨设直线AC 的倾斜角为锐角，则AC 的倾斜角为45°，该直线与双曲线有两个不
同的交点，因此有tan 451
b
a >=o ，双曲线的221()112
b
e a =+>+=，∴e ∈（2，+∞）.
13. 34π 解析：2sin y x '=-,4|1
x y π='=-
∴斜率k=-1 ∴倾斜角135°.
14. 7 解析：由0a b c ++=r r r 得a b c +=-r r
，两边平
方得222
2a b a b c ++⋅=r r r r ，即22916,7b b +==r r ，∴
|b r
|=7.
23．(Ⅰ) :23(1)l y x -=-；圆22
:1C x y += 5分
(Ⅱ)曲线2
2:19x C y '+= 令3cos sin x y θθ=⎧⎨
=⎩
∴233cos 23sin 21sin()x y θθθϕ+=+=+
∴23x y +的最小值为21- 10分。