新课标高考数学复习 推理与证明练习

2009届新课标高考数学复习 推理与证明练习
一、考点介绍
（1）合情推理与演绎推理
① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.
② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. ③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. （2）直接证明与间接证明
① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点. （3）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
二、高考真题
〖解析〗 〖答案〗 【考题分类】
（一）选择题（共1题）
1.（2008海南宁夏卷理6文7）已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（ ） A.（0，
1
1
a ） B. （0，
1
2a ） C. （0，
3
1a ） D. （0，
3
2a ） 〖解析〗22222(1)120()0i i i i i a x a x a x a x x a -<⇒-<⇒-
<，所以解集为2(0,)i
a ， 又
123
222
a a a <<，因此选B. 〖答案〗B
2. (2008海南宁夏5)．右面的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A ．c x >
B ．x c >
C ．c b >
D ．b c >
〖解析〗：变量x 的作用是保留3个数中的最大值，所以第二个条件结构的判断框内语句为“c x >”，
满足“是”则交换两个变量的数值后输出x 的值结束程序，满足“否”直接输出x 的值结束程序。

〖答案〗A
3. (2008年江苏9)．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为
01111=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程：
( ▲ )011=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+y a p x 。

【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填
11c b -．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y
c p
+= ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫
⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，显然直线AB 与CP 的交点F
满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 【答案】
11c b
- 4 (2008年江苏10)．将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为
【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －
1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为26
2
n n -+．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
………………
【答案】26
2
n n -+
5. (2007年山东理6) 给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=，
()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-。

下列函数中不满足其中任何一个等式的是
（A ）()3x f x = （B ） ()sin f x x = （C ）2()log f x x = （D ） ()tan f x x = 【解析】：依据指、对数函数的性质可以发现A ，C 满足其中的一个等式，而D 满足
()()
()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-，B 不满足其中任何一个等式.
【答案】:B
6. (2007年山东理9) 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是（ ）
（1）:2p m <-或6m >；2
:3q y x mx m =+++有两个不同的零点。

（2）()
:
1;()
f x p f x -= :()q y f x =是偶函数。

（3）:cos cos ;p αβ= :t a n t a n q α
β=。

（4）:;p A B A ⋂= :U U q C B C A ⊆。

（A ）(1),(2) （B ） (2),(3) （C ）(3),(4) （D ） (1),(4) 【解析】：（2）由
()
1()
f x f x -=可得()()f x f x -=，但()y f x =的定义域不一定关于原点对称；（3）αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件。

【答案】: D.
7. (2007山东理16)．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线
10mx ny ++=上,其中0mn >,则
12
m n
+的最小值为_______. 【解析】：函数l o g (3)1(0,a y x a a =+
->≠的图象恒过定点(2,
1A --，
(2)(1)10m n -⋅+-⋅+=，21m n +=，,0m n >，
12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+= 【答案】: 8
8.(2007年广东文10).图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A 、 B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 A ．18 B ．17 C ．16 D ．15
【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B 选项,但对于C,D 选项则难以作出选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决.设A B →的件数为1x (规定:当
10x <时,则B 调整了1||x 件给A,下同!),B C →的件数为2x ,C D →的件数为3
x ,
D A
→的件数为
4
x ,依题意可得
415040x x +-=,125045x x +-=,235054x x +-=,345061x x +-=,从而215
x x =+,
311
x x =+,
4110
x x =-,故调动件次
11111()|||5||1||10|f x x x x x =+++++-,画出图像(或绝对值的几何意义)可得最小值
为16,故选(C).
【答案】:C
9. (2007海南宁夏11)．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表
123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）
Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >>
Ｄ．231s s s >>
甲的成绩
环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩
环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6 丙的成绩
环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4
【解析】：
(78910)5
8.5,20
x +++⨯=
=甲
2222
2
1
5[(7
8.5)(88.5)
(9
8.5)
(108.5)]
1.25,
20
s ⨯-+-+-+-=
= (710)6(89)4
8.5,
20
x +⨯++⨯=
=乙 2
222
22
6[(7
8.5)
(108.5)]4[(88.5)(98.5)]
1.45,
20
s ⨯-+-+⨯-+-=
= (710)4(89)6
8.5,20
x +⨯++⨯=
=丙
2222
23
4[(7
8.5)
(108.5)]6[(88.5)(98.5)]
1.05,
20
s ⨯-+-+⨯-+-=
= 22213213.s s s s s s >>>>2由得
【答案】：B
10 (2007年上海理15)、已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若
()2
f k k
≥成立，则()()2
11f k k +≥+成立，下列命题成立的是 A 、若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2
f k k ≥成立； B 、若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k <成立；
C 、若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2
f k k <成立； D 、若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2
f k k ≥成立。

【答案】D
【解析】 对A ，当k=1或2时，不一定有()2
f k k ≥成立；对B ，应有()2
f k k ≥成立；
对C ，只能得出：对于任意的7k ≥，均有()2
f k k ≥成立，不能得出：任意的7k <，均有
()2f k k <成立；对D ，()42516,f =≥∴对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。

故选
D 。

12（2008江苏卷21D ）设a ，b ，c 为正实数，求证：
3
33111
a b c
++≥． 证明：因为,,a b c 为正实数，由平均不等式可得
33333111a b c c
++≥ 即 3331113
a b c a b c ++≥ 所以3331113
abc abc a b c abc
+++≥
+， 而
323abc abc abc abc
+≥=
所以
333
111
a b c +++abc ≥ 13.（2008江苏卷18）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。

（1） 求实数b 的取值范围；
（2） 求圆C 的方程；问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论 解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法． （Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；
令()2
20f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0．
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2
x 20y Dx Ey F ++++=
令y ＝0 得20x Dx F ++=这与2
2x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．
令x ＝0 得2
y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为2
2
2(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于 ，将该点的坐标代入圆C 的方程，
并变形为22
000002(1)0x y x y b y ++-+-= （*）
为使（*）式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有010y -=， 结合（*）式得
2
20
0020x y x y ++-=，解得0000
02 11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，－，
或，， 经检验知，点(0,1),(2,0)-均在圆C 上，因此圆C 过定点。

14.（2008上海春卷19）已知函数()
2()log 21x
f x =+.
（1）求证：函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；
（2）记1()-f x 为函数()f x 的反函数. 若关于x 的方程1()()f x m f x -=+在[1,2]上有解，求m 的取值范围.
[证明]（1）任取12x x <，则
()()11
2
21222221
()()log 21log 21log 21
x x x x f x f x +-=+-+=+，
1212,02121x x x x <∴<+<+，
112
222121
01,log 02121
x x x
x ++∴<<<++， 12()()f x f x ∴
<，即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分
[解]（2）
()12()log 21(0)x f x x -=->， …… 9分
[解法一] 1
()()m f x f x -∴=-
=()()
22log 21log 21x x
--+
22212log log 12121x x
x -⎛
⎫==- ⎪++⎝⎭
， …… 11分
当12x ≤≤时，
222123,152133215
x x ≤≤∴≤-≤++， m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. …… 14分
[解法二] 解方程()()
22log 21log 21x x
m -=++，得
221log 12m m x ⎛⎫
+= ⎪-⎝⎭
， …… 11分
22112,1log 212m m x ⎛⎫
+≤≤∴≤≤ ⎪
-⎝⎭
， 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
.
m ∴的取值范围是2213log ,log 35⎡⎤
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦. …… 14分
15.（2008福建卷文20）已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a
，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1.
本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力. 解法一：
（Ⅰ）由已知得a n +1=a n +1、即a n +1-a n =1，又a 1=1, 所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列. 故a n =1+(a -1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n =n 从而b n +1-b n =2n . b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+···+（b 2-b 1）+b 1
=2n -1
+2n -2
+···+2+1＝2
121--n =2n
-1.
因为b n ·b n +2-b 21
+n =(2n -1)(2n +2-1)-(2n -1-1)2
=(22n +2-2n +2-2n +1)-(22n +2-2-2n +1-1) =-5·2n +4·2n
=-2n ＜0,
所以b n ·b n +2＜b 21+n , 解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为b 2=1,
b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1)- b 21+n
=2n +1·b n -1-2n ·b n +1-2n ·2n +1
＝2n （b n +1-2n +1） =2n （b n +2n -2n +1） =2n （b n -2n ） =… =2n （b 1-2） =-2n 〈0，
所以b n -b n +2<b 2n +1 16 (2007
年广东理21)已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，
'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()
'()
n n n n f a a a f a +=-
（n=1,2,……） （1）求,αβ的值；
（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >a ； （3）记ln
n n n a b a a
β
-=-（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n 。

解析：（1）∵2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x)=0的两个根()αβ>，
∴αβ； （2）'()21f x x =+，21
115
(21)(21)12442121
n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-
+-=-=-++ =5114
(21)4
212n n a a ++
-
+，∵11a =，
∴有基本不等式可知20a ≥>
（当且仅当1a 时取等号）
，∴20a >
同，样3a
，……，n a α=（n=1,2,……），
（3）1()()(1)2121
n n n n n n n n a a a a a a a a αββ
ββα+----=--
=++++，而1αβ+=-，即1αβ+=-，
21()21n n n a a a ββ+--=+，同理21()21n n n a a a αα+--=+，12n n b b +=
，又11ln 1b βα-===-
2(2n n S =-17 (2008年海南宁夏21)设函数1
()()f x ax a b x b
=+
∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （1）求()f x 的解析式：
（2）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（3）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，
并求出此定值． 解：（1）2
1
()()
f x a x b '=-
+， 于是2
121210(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩
，，解得11a b =⎧⎨=-⎩，，或94
8.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，
因a b ∈Z ，，故1()1f x x x =+
-． （2）证明：已知函数1y x =，21
y x
=都是奇函数．
所以函数1
()g x x x =+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而
1
()111
f x x x =-++-．可知，函数()
g x 的图像按向量(11)=，a 平移，即得到函数()
f x 的图像，故函数()f x 的图像是以点(11)
，为中心的中心对称图形． （3）证明：在曲线上任取一点00011x x x ⎛⎫
+ ⎪-⎝⎭
，．
由02
01
()1(1)f x x '=-
-知，过此点的切线方程为
2000200111()1(1)x x y x x x x ⎡⎤-+-=--⎢⎥--⎣⎦
． 令1x =得001
1x y x +=
-，切线与直线1x =交点为00111x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭
，．
令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(2121)x x --，．
直线1x =与直线y x =的交点为(11)
，． 从而所围三角形的面积为
000001112
12112222121
x x x x x +---=-=--．
所以，所围三角形的面积为定值2．
三、名校试题
１．考点一 合情推理与演绎推理
１．(安徽省皖南八校2008届第三次联考卷3．设m ，n 为两条不同直线αβ，为两个不同平面，则下列命题正确的是 ( )
A ．m ∥n ，m ∥α，n ∥β，则α∥β
B ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β
C ．m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n
D ．m ∥n ，m ⊥α，α∥β，则n ∥β
〖解析〗 对于A 项两个平面也可以相交，如m,n 都是与交线平行时,条件符合；对于C 项,
与平面平行的直线之间可以是相交,也可以是异面；D 项中的直线n 也可以在平面β内. 〖答案〗B
2．(安徽省皖南八校2008届第三次联考卷15．如图，给出的“三角形数阵”中，每一列数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比都相等，则该数阵中位于第63行第8列的数是____________．
〖解析〗易知第一列的数是首项为1,公差为
1
2
的等差数列,所
以第63行第一个数是1+6212⨯=32,第63行又是以32为首项,公比为1
2
的等比数列,所以第8个数是327
1
()2
⨯=14
. 〖答案〗
14
考点二. 证明与推理 1
广东省实验中学
2008
年高三第三次模拟考试
21、已知函数
),2,(12131)(2
3-≥∈+++=
b R b a bx ax x x f 且、当]2,2[-∈x 时，总有0)(≤'x f . （1）求函数f (x )的解析式；
（2）设函数)(6)(3)(2R m x mx x f x g ∈-+-=，求证：当]1,0[∈x 时，1|)(|≤'x g 的充要条件是31≤≤m . 解：（1）由条件，得b ax x b x a x x f ++=+⋅+⋅=
'2222
1
331)(，……………1分 当]2,2[-∈x 时，总有0)(≤'x f ，所以有
⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+-⇔⎪⎩⎪⎨
⎧≤'≤-'.
022,
022.0)2(,0)2(b a b a f f
由①+②得，2024-≤⇒≤+b b ，
又b ≥－2，∴b =－2，…………………………………………………………4分 把b =－2代入①和②得
.0.
0,
0.0222,0222=⇒⎩⎨⎧≤≥⇒⎪⎩⎪⎨
⎧≤-+≤--a a a a a 因此123
1)(3
+-=
x x x f .…………………………………………………7分 （2）36)123
1(3)(2
323-+-=-++--=mx x x mx x x x g ，
mx x x g 23)(2+-='是关于x 的二次函数，……………………………9分
① ②
当]1,0[∈x 时，⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
≤=
'≤≤≤+-='⇔≤';13|)3(|,
130,1|23||)1(|1|)(|2
m m g m m g x g 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤='>≤+-=';10|)0(|,
13,1|23||)1(|g m m g 或⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤='<≤+-='.
10|)0(|,03,
1|23||)1(|g m m g 解得，31≤≤m . 因此，当]1,0[∈x 时，1|)(|≤'x g 的充要条件是31≤≤m ……14 2 江苏省盐城中学2008年高三上学期第二次调研测试题19 函数
2233()[(log )(log )](log )(log )a x a x f x k x a x a =+--，2()(3)(log log )a x g x k x a =-+， (其中1a >)，设log log a x t x a =+.
（Ⅰ）当(1,)(,)x a a ∈⋃+∞时,试将()f x 表示成t 的函数()h t ,并探究函数()h t 是否有极值；
(7分)
（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，若存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立，试求k 的范围. (9分) 解：（Ⅰ）∵2222(log )(log )(log log )22a x a x x a x a t +=+-=-,
3323(log )(log )(log log )[(log log )3]3a x a x a x x a x a x a t t +=++-=-,
∴3
2
()32,(2)h t t kt t k t =-++-> ……………………………………………… (3分) ∴2()323h t t kt '=-++
设12,t t 是()0h t '=的两根，则120t t <，∴()0h t '=在定义域内至多有一解,
欲使()h t 在定义域内有极值，只需2
()3230h t t kt '=-++=在(2,)+∞内有解，且()h t '的值在根的左右两侧异号，∴(2)0h '>得9
4
k >
………………………………………… (6分)
综上：当9
4
k >时()h t 在定义域内有且仅有一个极值， 当9
4
k ≤
时()h t 在定义域内无极值……… (7分) （Ⅱ）∵存在0(1,)x ∈+∞，使00()()f x g x >成立等价于()()f x g x -的最大值大于0………..(9分)
∵log log a x t x a =+，∴322()2,(2)m t t kt k t k t =-++-≥, ∴22()320m t t kt k '=-++=得12,3
k
t k t ==-. 当2k >时，max ()()0m t m k =>得2k >；
当02k <≤时，max ()(2)0m t m =>得
1
22
k <≤…………………………… (12分) 当0k =时，max ()(2)0m t m =<不成立 …………………………………………… (13分)
当60k -≤<时，max ()(2)0m t m =>得6k -≤<； 当6k <-时，max ()()03
k m t m =->得6k <-；
综上得：k <
或k >……………………………………………… (16分) 3. 已知函数x x x f +=2
)(.
（Ⅰ）数列N n a a f a a a n
i i
n n n ∈<+'=>∑=+对任意的若
满足21
11),(,0:}{111，恒成立，试求a 1的取值范围；
（II ）数列为数列记满足k n
n n n n S b c N n a f b b b ,11
),)((,1:}{11+=
∈==++ }{n c 的前k 项和，T k 为数列}{n c 的前k 项积，
∑-<+n
i k
k k T S T 1107
.
解：（I ）12)(+≠'x x f ， …………1分 1211+=∴+a a n )1(211+=++n n a a
…………3分
1112)1(1,1,01-+=+∴+>+n n n a a a a 为等比数列
,)2
1(11111
1-+=+∴
n n a a
…………4分
.21
112
11111)2121211(1111111
121≤+=-⨯+<+++++=+--∑a a a a n n
i n 31≥∴a
…………6分
（II ）证明：)1()(1+==+n n n n b b b f b
111+=+=
∴n n n n b b b c 1
1232211
++-
⋅=n n n b b b b b b b T
1
1
11),1(11+-
-∴
+=∴++n n n n n n b b b b b b
1
1
1+-
=
∴n n n b b c
…………10分
1
1211
11111++-
=-+++=
∴k k k k b b b b b S
由)1(1+=+k k k b b b 显然212
11
1,0k
k k k n b b b b b <∴
>>++即知
6,2,1321===b b b 又。

224213121
161
616161211111-++++<+++==+∴+=+=∑∑k k n
k k n
k k k k b b b b T S T
1076
1161
216
161616121132=-+<+++++-k
…………14分
4江苏省盐城中学2008年高三上学期第二次调研测试题20 已知a 为实数，数列{}n a 满足
1a a =，当2n ≥时，111
13(3)4(3)
n n n n n a a a a a ----->⎧=⎨
-≤⎩，
（Ⅰ）{}100100100a a S =n 当时，求数列的前项的和；(5分)
（Ⅱ）证明：对于数列{}n a ，一定存在*
k N ∈，使03k a <≤；(5分)
（Ⅲ）令2(1)n n n n a b =--，当23a <<时，求证：1
20.12n
i
i a
b =+<∑(6分) 20. 解:（Ⅰ）100a =当时，由题意知数列{}n a 的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,从而
100S =
(100+97+94++4+1)+(3+1++3+1)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅共34项共66项
……(3分)
=
(1001)3466(31)1717132184922
+⨯++⨯=+=. ……………………………(5分)
（Ⅱ）证明：①若103a <≤,则题意成立……………………………………………(6分)
②若13a >,此时数列{}n a 的前若干项满足13n n a a --=,即13(1)n a a n =--. 设(]*
13,33,(1,)a k k k k N ∈+≥∈,则当1n k =+时,(]1130,3k a a k +=-∈.
从而此时命题成立……………………………………………………………(8分) ③若10a ≤,由题意得2143a a =->,则由②的结论知此时命题也成立. 综上所述,原命题成立…………………………………………………………(10分) （Ⅲ）当23a <<时，因为()
4n a n a a ⎧=⎨
-⎩为奇数(n 为偶数)
,
所以2(1)n n n n a b =--=()
2(1)4()
2(1)
n n
n n a a
⎧
⎪--⎪
⎨
-⎪⎪--⎩n 为奇数n 为偶数……………………………(11分)
因为n b >0,所以只要证明当3n ≥时不等式成立即可.
而2121212212212422(42)
2121(21)(21)
k k k k k k k k
a
a a a
b b -+----⋅++-+=+=+-+- 21212121412141222224
22122
k k k k k k k k a a a -+-+---⋅+⋅++<<=+-…………………………………(13分) ①当*2(2)n k k N k =∈≥且时,
2212222321
3
4444
()33222
k k
i i k i i a a a a a b b b b ⨯⨯⨯==-+++=++<
++++⋅⋅⋅+∑∑ 1411(1())424(4)1314
k a --=++⨯-11(4)(1())4444312312k a a -+⨯-+=+<+
20.12
a +=……(15分)
②当*
21(2)n k k N k =-∈≥且时,由于n b >0,所以
2121
1
k k
i i i i b b -==<∑∑<
20.12
a
+ 综上所述,原不等式成立………………………………………………………(16分)
考点三 数学归纳法
(天津市十二区县重点中学)
已知函数
||1
21)(x e x
x f -=为自然对数（其中e
（Ⅰ）判断)(x f 的奇偶性；
（Ⅱ）在)0,(-∞上求函数)(x f 的极值；
（Ⅲ）用数学归纳法证明：当0>x 时，对任意正整数n 都有n
x n x
f -⋅<2!)1(
解：（Ⅰ） )(1)(1)(||1
2|
|1
2
x f e x
e x x
f x x ==-=----是偶函数)(x f ∴。

……3分 (Ⅱ)当0<x 时，x e x
x f 1
21
)(=
)12(1
)1(12)(1
421213+-=-+-='x e x
x e x e x x f x x x ………5分
令0)(='x f 有5.0-=x ，
当x 变化时)(),(x f x f '的变化情况如下表: 由表可知：
当2
-
=x 时)(x f 取极大值24-e . ………7分
(Ⅲ)当0>x 时x
x e x x f e x
x f --=∴=21
2)1(,1)( ………8分
考虑到：0>x 时，不等式n
x
n x
f -⋅<2!)1(等价于x n n x
e n x x n e
x ⋅<⇔⋅<--!!22 (1)
所以只要用数学归纳法证明不等式（1）对一切*
∈N n 都成立即可………9分
（i ）当1=n 时，设)0(,)(>-=x x e x g x
是增函数时，)(,01)(0x g e x g x x ∴>-='> ， ………10分
故01)0()(>=>g x g ，即)0(,>>x x e x
所以，当1=n 时，不等式（1）都成立 ………11分
（ii ）假设)(*
∈=N k k n 时，不等式（1）都成立，即x
k
e k x ⋅<!
当1+=k n 时设)0(,)!1()(1>-⋅+=+x x e k x h k x
有0)!)(1()1()!1()(>-⋅+=+-⋅+='k x k x x e k k x k e k x h ………12分 故)0(,)!1()(1>-⋅+=+x x e k x h k x 为增函数，
所以，0)!1()0()(>+=>k h x h ，即x k e k x ⋅+<+)!1(1， ………13分 这说明当1+=k n 时不等式（1）也都成立， 根据(i)(ii)可知不等式（1）对一切*
∈N n 都成立，
故原不等式对一切*
∈N n 都成立. ………14分 2 (湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)已知函数0)1(,ln 2)(=--=f x x
b
ax x f ． （Ⅰ）若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若函数f (x )的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且211
()11
n n a f n a n +'=-+-+，已知
a 1 = 4，求证：a n ≥ 2n + 2； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较n
a a a a ++
++++++11
111111321 与52的大小，并说明你的理由．
解：(1)x x a ax x f b a b a f ln 2)(,0)1(--=∴=⇒=-=，x x
a a x f 2
)(2-+='∴． 要使函数f (x )在定义域),0(+∞内为单调函数，则在),0(+∞内)(x f '恒大于0或恒小于0，
当02
)(0<-='=x
x f a 时，在),0(+∞内恒成立；
当时，0>a 要使01)11()(2≥-+-='a a a x a x f 恒成立，则01
≥-a a ，解得1≥a ，
当时，
0<a 02
)(2≤-+='x x
a a x f 恒成立， 所以a 的取值范围为[)(]0,,1∞-⋃+∞．
根据题意得：2
)11()(,1,02,0)1(-='∴==-+='x
x f a a a f 得即，
于是121)()1
1(2
221+-=+--=+-'=+n n n n n na a n n a n a f a ，
用数学归纳法证明如下： 当时，1=n 21241+⨯≥=a ，不等式成立；
假设当k n =时，不等式22+≥k a k 成立，即22≥-k a k 也成立，
当1+=k n 时，2)1(25412)22(1)2(1++>+=+⨯+≥+-=+k k k k a a a k k k ， 所以当1+=k n ，不等式也成立，
综上得对所有*
N n ∈时，都有22+≥n a n ．
(3) 由(2)得121]222)1(2[1)22(1111+=++-+-≥++-=----n n n n n a n n a n a a a ， 于是)1(211+≥+-n n a a )2(≥n ，
所以)1(21)1(21),1(2112312+≥++≥++≥+-n n a a a a a a ，
累乘得：)2(11
2111),1(2
11
111
≥+⋅≤++≥+--n a a a a n n n n 则
，
所以52)2
11(52)2121211(1111111112121<-=+++++≤++++++-n n n a a a a ．
四、考点预测
推理与证明在高考中一是出现在小题中,判断一些命题的真假、充要条件之间的关系，出现在大题当中测是以证明形式出现，可以是代数方面的，也可以是几何方面的，特别是代数推理题越来越受命题者的重视，另外数学归纳法证明是理科常考方法之一。

1设集合A={x |
4
x
x -＜0}，B={x |0＜x ＜3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 由
04
x
x <-得04x <<，{|04}A x x =<<，所以B A ⊂，可知若“m A ∈”推不出 “m B ∈”；若“m ∈B ”则 “m ∈A ”，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”必要而不充分条件．故选B 项．
【答案】B
2. 设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是 ( ) A ．若m ∥α,n ∥α,则m ∥n B ．若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 【解析】A 错，还可能相交或异面；B 错，直线m 、n 必须相交；C 错，垂直于交线才垂直于β，故选D 【答案】D
3．已知函数)0()2ln()(>+-=x x x x f ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，2
1
1=a ，且n n n S S f a -=+)(1*)(N n ∈．
（Ⅰ）求)(x f 的最大值； （Ⅱ）证明：10<<n S ； （Ⅲ）探究：数列}{n a 是否单调？
（Ⅰ）∵)0()2ln()(>+-=x x x x f ，∴20<<x ． ∵121)(/+--=
x x f =
2
1
--x x ，（2分） ∴当10<<x 时，0)(/>x f ，)(x f 在)1,0(上单调递增； 当21<<x 时，0)(/<x f ，)(x f 在)2,1(上单调递减． ∴在区间)2,0(内，1)1()(max ==f x f ．（2分） （Ⅱ）用数学归纳法证明： ① 当1=n 时， ∵2
1
11=
=a S ，∴101<<S ，10<<n S 成立； ② 假设当k n =时，10<<k S 成立．
当1+=k n 时，由n n n S S f a -=+)(1及n n n S S a -=++11，得)(1k k S f S =+，（2分） 由(Ⅰ) 知，)(x f 在)1,0(上单调递增，所以)1()()0(f S f f k <<， 而02ln )0(>=f ，11)12ln()1(=+-=f ， 故101<<+k S ． ∴当1+=k n 时，10<<n S 也成立．
由①、②知，10<<n S 对任意*N n ∈都成立．（4分） （Ⅲ）数列}{n a 单调递减．（1分） 理由如下：
当1=n 时，=-12a a ,0ln 2
3ln 2
1)2
12ln()2ln(11<-=--=--e S S ∴12a a <；
当2≥n 时，由n n n S S f a -=+)(1得)2ln(1n n S a -=+． ∵)2ln()2ln(11-+---=-n n n n S S a a 1
22ln ---=n n S S ，（2分）
又由 (Ⅱ) 知，10<<n S ，∴221<-<n S ，
∴0)2ln(1>-=+n n S a ，即01>-+n n S S *)(N n ∈ ∴)2*(22211≥∈<-<-<-n N n S S n n 且， ∴022ln 1
<---n n S S ，∴n n a a <+1．（3分）
综上，数列}{n a 单调递减．
4．（本小题满分14分）已知函数).0()
1ln(1)(>++=
x x
x x f
（Ⅰ）试判断函数),0()(+∞在x f 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若1
)(+>
x k
x f 恒成立，求整数k 的最大值； （Ⅲ）求证：（1+1×2）（1+2×3）…[1+n （n+1）]>e 2n －
3. ．解：（I ）)]1ln(1
1
[1)]1ln(11[1)(22+++-=+--+='x x x x x x x x f …………（2分） .0)(,0)1ln(,01
1
,0,02<'∴>+>+>∴>x f x x x x
),0()(∞∴在x f 上是减函数.……………………………………………………（4分）
（II ）.)]1ln(1)[1()(,1)(恒成立即恒成立k x
x x x h x k x f >+++=+>
即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………（6分）
).0)(1ln(1)(,)
1ln(1)(>+--=+--=
'x x x x g x x x x h 记
则),0()(,01
)(+∞∴>+=
'在x g x x
x g 上单调递增， 又.02ln 22)3(,03ln 1)2(>-=<-=g g
0)(=∴x g 存在唯一实根a ，且满足).1ln(1),3,2(++=∈a a a 当.0)(,0)(00)(,0)(<'<<<>'>>x h x g a x x h x g a x 时，，当时， ∴)4,3(1)]
1ln(1)[1()(min )(∈+=+++=
=a a a a a h h x
故正整数k 的最大值是3 ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知
)0(1
3
)1ln(1>+>++x x x x
∴x
x x x x 3
2132113)1ln(->+-=-+>
+ ………………11分 令*))(1(N n n n x ∈+=，则
)
1(3
2)]1(1ln[+-
>++n n n n
∴ln(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
3
213
32)111(32]
)
1(1
323211[32])
1(32[)3132()2132(->++-=+--=+++⨯+⨯-=+-++⨯-+⨯-
>n n n n n n n n n n ∴（1+1×2）（1+2×3）…[1+n （n+1）]>e 2n
－3
………………14分
5 设数列{}n a 满足212,a t a t ==，前n 项和为n S ，且
*21(1)0()n n n S t S tS n N ++-++=∈.
（Ⅰ）证明数列{}n a 为等比数列并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当
1
22
t <<时，比较22n n --与n t t n --的大小； （Ⅲ）若122t <<,2
21n n n a b a =+，求证：212
11
122n n
n
b b b -+++<-． 解：（Ⅰ）由21(1)0n n n S t S tS ++-++=，
得12(1)n n n t S S tS +++=+，即21n n a ta ++=, 而2
12,a t a t
==
∴数列{}n a 是以t 为首项，t 为公比的等比数列.∴n n a t =.
（Ⅱ）∵n n 1(t t )(22)(2)[1(
)]2n n n n
n t t -----=--且1
22
t << 11142t << ∴n t 20n -<且1
1()02n t
-< ∴
1(2)[1(
)]02n n n
t t
--< ∴n t t n --<22n n -- （Ⅲ）∵
11()2
n n
n t t b -=+ ∴21212
111
2(
)(222)(2
22)n n n
b b b ---+++
<+++++++ 112(21)122(12)2n n n n n -+-+=-+-=-+<-
∴212
11
122n n
n
b b b -++
+<-
6
已知数列{}n a 中，()1142
2*31n n n a a a n N a +-==
∈-，。

⑴求证：数列321n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
是等比数列；
⑵求
{}
n a 的通项公式n a ；⑶设
{}
n a 的前n 项和为n S ，求证：
()()()111
1
122221*2
1
2
n n n
n n n n n S
n N +-+-+⋅--+⋅-<≤
∈-。

．证明：⑴因14231n n n a a a +-=
-，故11321266232214231
1
n n
n n
n n n n a a a a a a a a ++---+
-
==⋅---+-。

显然2
3
n a ≠
，因此数列321n n a a ⎧⎫-⎨
⎬
-⎩⎭
是以1132
41a a -=-为首项，以2为公比的等比数列； ⑵由⑴知11
324221
n n n n a a -+-=⋅=-，解得11
2223n n n a ++-=-； ⑶
因
为
()()
1
11
2
1
1
2
1123n n
n
n n n
n n
n
n n
n n
n a +++
+
+
+
---=+=+
>+
=+-
-
⋅
-⋅
⋅
-
-
+
-
-
，所以
()111111221111121212121n n
n k k n n k n n S n ++++=+⋅--⎛
⎫>+-=+-=
⎪----⎝
⎭∑。

又
11
14
1123
2n n n a ++=+
≤+
=- 1112n -+（当且仅当1n =时取等号），故()1
11
11221
11212122n n n
n k n k n S n -----=+⋅--⎛⎫≤+=+= ⎪-⎝
⎭∑。

综上可得()()()1111
122221*21
2n n n
n n n n n S
n N +-+-+⋅--+⋅-<≤
∈-。

（亦可用数学归纳法）。