高考数学二轮复习寒假作业二十七小题限时保分练__泉州一模试题节选注意命题点分布理39.doc

寒假作业(二十七) 小题限时保分练——泉州一模试题节选(注意命
题点分布)
(时间：40分钟 满分：80分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知i 为虚数单位，则复数z ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋i 2 2 017
在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
解析：选A 因为z ＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 017＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 016×
1＋i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 1 008×1＋i 2＝i 1 008×1＋i 2＝1＋i
2
＝
22＋2
2
i ，所以复数z 对应的点位于第一象限，故选A. 2．设x >0，集合M ＝{x 2
，log 4x }，N ＝{2x
，a }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0,1,2,4} B ．{0,1,2} C ．{1,4}
D ．{0,1,4}
解析：选B 因为M ∩N ＝{1}，所以1∈M,1∈N ，所以x 2
＝1或log 4x ＝1，又因为x >0，所以x ＝1或x ＝4.当x ＝1时，M ＝{1,0}，N ＝{2，a }，此时a ＝1，满足M ∩N ＝{1}，所以M ∪N ＝{0,1,2}；当x ＝4时，M ＝{16,1}，N ＝{16，a }，此时不满足M ∩N ＝{1}．综上可知M ∪N ＝{0,1，2}．
3．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56，136上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 13(x ＋1)≤1”不发生的概
率为( )
A.8
9 B.23 C.13
D.19
解析：选D 由－1≤log 13(x ＋1)≤1，得1
3≤x ＋1≤3，
解得－2
3
≤x ≤2，
由几何概型的概率计算公式得所求概率
P ＝1－2－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－23136－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－56＝1－89＝19.
4．已知圆C 的方程为(x －3)2
＋(y －4)2
＝16，过直线l ：6x ＋8y －5a ＝0(a >0)上的任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为25，则直线l 在y 轴上的截距为( )
A ．－252
B.252 C ．－554
D.554
解析：选D 设直线l 与切线的交点为D ，当切线长最小时，CD 最短，此时CD 的长即为圆心到直线l 的距离d .d
＝
5
2
＋42
＝6，所以|18＋32－5a |36＋64
＝6，解得a ＝－2或a
＝22，又a >0，所以a ＝22，所以直线l 的方程为6x ＋8y －110＝0，直线l 在y 轴上的截距为554
. 5.函数f (x )＝33sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是图象的最高点，点C 是图象的最低点，且△ABC 是正三角形，则f (1)＋
f (2)＋f (3)的值为( )
A.92
B.9
3
2
C ．93＋1
D.
3＋2
解析：选D 因为△ABC 是正三角形，所以∠A ＝60°，所以|AC |·sin 60°＝33－(－33)＝63，故|AC |＝12，所以|AB |＝|AC |＝2πω＝12，解得ω＝π6，所以f (x )＝33sin
π6
x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＝33×⎝
⎛
sin π
6
＋
⎭
⎪
⎫sin 2π6＋sin 3π6＝
3
＋
2
.
6．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是( )
A ．145
B ．148
C ．278
D ．285
解析：选C 第1次循环，S ＝53，a ＝45； 第2次循环，S ＝53＋45，a ＝40； 第3次循环，S ＝53＋45＋40，a ＝35； 第4次循环，S ＝53＋45＋40＋35，a ＝30； 第5次循环，S ＝53＋45＋40＋35＋30，a ＝25； 第6次循环，S ＝53＋45＋…＋30＋25，a ＝20； 第7次循环，S ＝53＋45＋…＋25＋20，a ＝15； 第8次循环，S ＝53＋45＋…＋20＋15，a ＝10； 第9次循环，S ＝53＋45＋…＋15＋10，a ＝5； 第10次循环，S ＝53＋45＋…＋10＋5，a ＝0； 第11次循环，S ＝53＋45＋…＋10＋5＋0，a ＝－5，
退出循环，故输出的S ＝53＋45＋…＋10＋5＋0＝53＋45＋5
2
×9＝278.
7．若点P 是曲线y ＝32x 2－2ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －5
2的距离的最小值为
( )
A. 2
B.33
2
C.32
2
D. 5
解析：选C 对y ＝32x 2－2ln x 求导，得y ′＝3x －2
x .设在点P 0(x 0，y 0)(x 0>0)处时，点
P 到直线y ＝x －5
2的距离最小，则⎩⎪⎨⎪⎧
y 0
＝3
2x 2
－2ln x 0
，3x 0
－2
x 0
＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝1，y 0＝3
2(负值舍去)，
即P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.点P 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到直线x －y －52＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1－32－5212
＋－2
＝32
2
，于是点P 到直线y ＝x －52的距离的最小值为32
2
.
8．一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，若这个几何体的外接球的表面积等于100π，则该几何体的体积为( )
A ．36 3 B.983 C.1163
D.1283
解析：选 D 由三视图得几何体的直观图如图所示，在三棱锥
E ­ABC 中，平面EAC ⊥平面ABC ，△AEC 与△ABC 都是以AC 为底边的等
腰三角形，取AC 的中点D ，连接ED ，BD ，则ED ⊥平面ABC ，BD ⊥AC ，结合三视图知AD ＝CD ＝BD ＝m ，DE ＝2m ，设F 为三棱锥E ­ABC 外接球
的球心，则F 在线段DE 上，连接AF ，设外接球的半径为r ，则(2m －r )2＋m 2＝r 2
，得r ＝54
m ，
又外接球的表面积为100π，所以4π⎝ ⎛⎭
⎪⎫54m 2
＝100π，所以m ＝4(负值舍去)，所以该几何体
的体积V ＝13×12×4×8×8＝128
3
.
9．若y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且满足：①f (x )是偶函数；②f (x ＋2)是偶函数；③当0<x ≤2时，f (x )＝log 2 017x ，当x ＝0时，f (x )＝0，则方程f (x )＝－2 017在区间(1,10)内的所有实数根之和为( )
A ．0
B ．10
C ．12
D ．24
解析：选D 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，因为f (x ＋2)是偶函数，所以
f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，即f (x )＝f (－x ＋4)，所以f (－x ＋4)＝f (－x )，所以函数f (x )的周
期为4，且其图象关于直线x ＝2n (n ∈Z)对称，根据以上性质结合已知条件画出f (x )的图象，如图，由图象知方程f (x )＝－2 017在区间(1,10)内有四个实数根，其中两个关于直线x ＝4对称，另两个关于直线x ＝8对称，故它们的和等于2×(4＋8)＝24.
10．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2
b
2＝1(a >0，b >0)，过焦点F (0，c )作直线交双曲线C 的两条渐
近线于A ，B 两点，若B 为FA 的中点，且|OA |＝c ，则双曲线的离心率为( )
A. 3 B ．2 C ．2 3
D ．4 3
解析：选B 如图所示，因为|OF |＝c ，|OA |＝c ，所以|OF |＝|OA |，
又B 为FA 的中点，所以可得∠BOF ＝∠BOA ＝2∠AOx ＝2∠BOx ， 又因为∠BOF ＋∠BOx ＝90°， 所以3∠BOx ＝90°，
所以∠BOx ＝30°，所以a
b ＝tan 30°＝
33，所以b
a
＝3，
所以e ＝c
a ＝
1＋b 2
a
2＝2. 11.如图，三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，AA 1＝AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的点，AB 1，DF 交于点E ，且AB 1⊥DF ，则下面结论中不正确的为( )
A ．CE 与BC 1异面且垂直
B ．AB 1⊥
C 1F
C ．△C 1DF 为直角三角形
D ．DF 的长为
63
解析：选D A 中，连接CB 1，易知BC 1⊥CB 1，BC 1⊥AC ， 又CB 1∩AC ＝C ，所以BC 1⊥平面AB 1C .
又CE ⊂平面AB 1C ，且BC 1与平面AB 1C 的交点不在CE 上，故CE 与BC 1异面且垂直，故A 正确；
B 中，AB 1⊥DF ，易知
C 1
D ⊥AB 1，又DF ∩C 1D ＝D ，所以AB 1⊥平面C 1DF .又C 1F ⊂平面C 1DF ，故AB 1⊥C 1F ，故B 正确；
C 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，则侧棱AA 1⊥C 1
D ，又C 1D ⊥A 1B 1，AA 1∩A 1B 1＝A 1，所以C 1D ⊥平面ABB 1A 1.又DF ⊂平面ABB 1A 1，故C 1D ⊥DF ，故△C 1DF 为直角三角形，故C 正确；
D 中，设B 1F ＝x ，由已知可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，由AB 1⊥
DF ，D 为A 1B 1的中点，得DE ＝12
h .又1×2＝h 12＋
2
2
＝3h ，所以h ＝
63，DE ＝66
.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭
⎪⎫662
＝33.由面积相等得33× x 2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫222
＝22x ，所以x ＝1(负值舍去)，则DF ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＋12
＝62，故D 不正确．
12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足条件f (x ＋4)＝－f (x )，且函数y ＝f (x ＋2)是
偶函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a >12，当x ∈[－2,0)时，f (x )的最小值为3，则a 的值等于( )
A ．e 2
B ．e
C ．2
D ．1
解析：选A ∵f (x ＋4)＝－f (x )，
∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，故函数y ＝f (x )是周期为8的函数，由函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，即f (x ＋4)＝f (－x )，于是f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，
∴f (x )在(0,2]上的最大值为－3.
当x ∈(0,2]时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a >12，∴0<1
a <2.
当0<x <1a
时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1a 上单调递增；当1a
<x ≤2时，f ′(x )<0，∴f (x )
在⎝ ⎛⎦
⎥⎤1a
，2上单调递减，∴f (x )在x ＝1a
处取得最大值－3，即f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a
＝－3，解得a
＝e 2
.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分)
13．已知菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝150°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，2CE ＝3EB ，
DC ＝λDF (λ∈R ，且λ≠0)，若AE uuu r ·AF uuu r ＝42
5
(1－3)，则λ的值为________．
解析：根据题意作出示意图如图，
由题意得BC uuu r ＝AD uuu r ，DC uuu r ＝AB uuu r
， AE uuu r ＝AB uuu r ＋BE uuu r ＝AB uuu r ＋25
AD uuu r ，
AF uuu r ＝AD uuu r ＋DF uuu r ＝AD uuu r ＋1λ
AB uuu r
(λ≠0)．
∵四边形ABCD 为菱形，且边长为4，∠BAD ＝150°，
∴AE uuu r ·AF uuu r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB uuu r ＋25 AD uuu r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1λAB uuu r ＋AD uuu r
＝16λ
＋AB uuu r ·AD uuu r ＋
25λ
AB uuu
r ·AD uuu r ＋25
×16 ＝16λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋25λ×4×4×⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32＋325
＝16λ－83－1635λ＋325＝425(1－3)，∴λ＝8. 答案：8
14．某学校有5个班级的同学一起到某工厂参加社会实践活动，该工厂有5个车间供学生选择，每个班级任选一个车间进行实践学习，则恰有2个班级选择甲车间，1个班级选择乙车间的方案有________种．
解析：先从5个班级中任选2个班级到甲车间有C 2
5种选法；再从剩下的3个班级中选1个班级到乙车间有C 1
3种选法；剩下的2个班级，每个班级有3种选法，共有3×3＝9种选法．所以总共的方案有C 2
5×C 13×9＝270种．
答案：270
15．已知数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *
)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为______________．
解析：∵点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *
)在直线4x －y ＋1＝0上， ∴4a n －a n ＋1＋1＝0，
即a n ＋1＝4a n ＋1，a n ＋1＋13＝4⎝ ⎛
⎭⎪⎫a n ＋13，
又a 1＝3，∴a 1＋13＝10
3
，
∴数列⎩
⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是以10
3为首项，4为公比的等比数列．
故a n ＋13＝103·4n －1
，即a n ＝103·4n －1－13.
答案：a n ＝103·4n －1－1
3
16．甲、乙两位打字员在两台电脑上各自输入A ，B 两种类型的文件的部分文字才能使这两种类型的文件成为成品．已知A 文件需要甲输入0.5小时，乙输入0.2小时；B 文件需要甲输入0.3小时，乙输入0.6小时．在一个工作日内，甲至多只能输入6小时，乙至多只能输入8小时．A 文件每份利润为60元，B 文件每份利润为80元，则甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是________元．
解析：设一个工作日内完成A 文件x 份，B 文件y 份， 则x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
0.5x ＋0.3y ≤6，0.2x ＋0.6y ≤8，
x ∈N ，y ∈N ，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋3y ≤60，x ＋3y ≤40，x ∈N ，y ∈N ，
设甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的利润为z (元)，则z
＝60x ＋80y .画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然直线z ＝60x ＋80y 过点A 时z 取得最大值，
由方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
5x ＋3y ＝60，x ＋3y ＝40
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝5，y ＝35
3，
∵x ，y ∈N ，则最优解为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝6，y ＝10
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5，y ＝11
或⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝12，
经验算，当x ＝4，y ＝12时，z 取得最大值，z max ＝60×4＋80×12＝1 200. 故甲、乙两位打字员在一个工作日内获得的最大利润是1 200元． 答案：1 200。