高中数学基础讲义18空间向量-简单难度-讲义

空间向量
知识讲解
一、空间向量基本知识
1.空间向量的定义：在空间内，把具有大小和方向的量叫空间向量，可用有向线段来表示．用同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
2.零向量：起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0（不是0）．
注：在手写向量时，在字母上方加上箭头，如a，AB．
3.模：表示向量a的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作||a
4.方向：有向线段的方向表示向量的方向．
5.基线：有向线段所在的直线叫做向量的基线．
6.共线向量（平行向量）：如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
注：a平行于b记为a b
∥．
7.运算：向量的加法、减法与数乘向量运算：与平面向量类似；
二、空间向量的基本定理
共线向量定理：对空间两个向量a，b（0
b≠），a b
∥的充要条件是存在实数λ，使
→
→
=b
aλ．
共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c xa yb
=+．
空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个
唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使p xa yb zc =++．
注：表达式xa yb zc ++，叫做向量a ，b ，c 的线性表示式或线性组合．
上述定理中，a ，b ，c 叫做空间的一个基底，记作{}a b c ，，，其中a b c ，，都叫做基向量．
由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
三、空间向量内容
1.两个向量的夹角：已知两个非零向量a b ，
，在空间任取一点O ，作OA a =，OB b =，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作a b 〈〉，
．通常规定0πa b 〈〉≤，≤．在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且a b b a 〈〉=〈〉，
，．如果90a b 〈〉=，°，则称a 与b 互相垂直，记作a b ⊥．
2.两个向量的数量积：已知空间两个向量a ，b ，定义它们的数量积（或内积）为：
||||cos a b a b a b ⋅=〈〉，
数量积的性质：
1）||cos a e a a e ⋅=〈〉，
，→
e 为单位向量 ； 2）0=⋅⇔⊥→
→→→b a b a ； 3）2||a a a =⋅； 4）a b a b ⋅||≤||||． 数量积满足如下运算律：
1）()()a b a b λλ⋅=⋅； 2）a b b a ⋅=⋅； 3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．
3.空间向量的直角坐标运算：
建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i j k ，，，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ，，，这个基底叫做单位正交基底． 空间直角坐标系Oxyz ，也常说成空间直角坐标系[]O i j k ；，
，． 4.投影和坐标
投影：在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一数组()z y x ,,， 使→
→
→
→
++=k z j y i x a ，其中→
→
→
k z j y i x ,,分别叫做向量a 在i j k ，，
方向上的分量或投影， 坐标：有序实数组()z y x ,,叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标．上式可以简记作
()z y x a ,,=→
．
若： 123()a a a a =，
，，123()b b b b =，，， 则： 112233()a b a b a b a b +=+++，
，；112233()a b a b a b a b -=---，，； 123()a a a a λλλλ=，，；112233a b a b a b a b ⋅=++．
注：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
典型例题
一．选择题（共20小题）
1．（2018•浙江模拟）在三棱锥O ﹣ABC 中，若D 为BC 的中点，则AD →
=（ ） A ．1
2OA →
+1
2
OC →
﹣OB →
B ．1
2OA →
+1
2
OB →
+OC →
C ．12OB →+12
OC →
﹣OA →
D ．12OB →+12
OC →+OA →
【解答】解：如图所示， ∵D 为BC 的中点，
∴OD →
=1
2
(OB →+OC →
)，
∴AD →=OD →﹣OA →=12(OB →+OC →)﹣OA →
，
故选：C ．
2．（2017春•历城区校级期中）已知向量a ⃗
=(2，x ，3)，b ⃗
=(−4，2，y)，若a ⃗
∥b ⃗
则x +y=（ ） A ．﹣5 B ．0
C ．5
D ．﹣7
【解答】解：∵a ⃗
∥b ⃗
，∴存在实数k 使得a →
=k b ⃗
， ∵{2=−4k x =2k 3=ky
，解得k=﹣1
2，x=﹣1，y=﹣6．
则x +y=﹣7． 故选：D ．
3．（2016秋•芗城区校级期末）已知AB →
=（1，2，﹣1），CD →
=（x ，﹣2，3），若AB →
⊥CD →
，则x=（ ） A ．1 B ．7
C ．﹣1
D ．﹣4
【解答】解：AB →
=（1，2，﹣1），CD →
=（x ，﹣2，3）， 若AB →
⊥CD →
，则x ﹣4﹣3=0，解得：x=7， 故选：B ．
4．（2017春•锦江区校级期中）已知向量a →
=(−2，3，−5)与向量b →
=(4，1，z)垂直，则z 的值是（ ） A ．2 B ．1
C ．﹣1
D ．﹣2
【解答】解：∵向量a →
=(−2，3，−5)与向量b →
=(4，1，z)垂直， ∴a →⋅b →
=﹣2×4+3×1+（﹣5）×z=0， 解得z=﹣1． 故选：C ．
5．（2015秋•晋江市校级期末）若向量（1，0，x ）与向量（2，1，2）的夹角的
余弦值为2
3
，则x 为（ ）
A ．0
B ．1
C ．﹣1
D ．2
【解答】解：由题意23=√1+x 2×3
，∴1+x=√1+x 2，解得x=0 故选：A ．
6．（2014秋•宁德期末）已知向量a →
={1，﹣1，2}，b →
={﹣2，2，m }，且a →
∥b →
，则m 的值为（ ） A ．4 B ．﹣4
C ．2
D ．﹣2
【解答】解：∵a →
∥b →
， ∴存在实数λ使得a →
=λb ，
∴（1，﹣1，2）=λ（﹣2，2，m ）， ∴{1=−2λ
−1=2λ2=λm ，解得m=﹣4．
故选：B ．
7．（2014春•丰城市校级期中）空间中，若向量a →
=（5，9，m ），b →
=（1，﹣1，2），
c →
=（2，5，1）共面，则m=（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解答】解：∵向量a →
=（5，9，m ），b →
=（1，﹣1，2），c →
=（2，5，1）共面， ∴存在两个实数α、β使得a →
=αb →
+βc →
∴{5=α+2βm =2α+β9=−α+5β，解得{α=1β=2m =4
故选：C ．
8．（2014秋•从化区校级期末）若a →
=（1，λ，2），b →
=（2，﹣1，1），a →
与b →
的夹角为60°，则λ的值为（ ） A ．17或﹣1 B ．﹣17或1
C ．﹣1
D ．1
【解答】解：∵a →⋅b →
=2−λ+2=4−λ，|a →
|=√5+λ2，|b →
|=√6，cos60°=
a →⋅b
→
|a →||b →
|
．
∴12=√5+λ2⋅√6
，化为λ2+16λ﹣17=0，解得λ=﹣17或1．
故选：B ．
9．（2017秋•岳麓区校级期中）如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF →
与AB →
、CD →
的关系是（ ）
A ．EF →
=12AB →+12CD →
B ．EF →
=−12AB →+12CD →
C ．EF →=12AB →−12C
D →
D ．EF →
=−12AB →−12CD →
【解答】解：连接AF ，EF →=AF →﹣AE →=12（AB →+AC →）﹣12AD →=12AB →﹣12
（AD →
﹣AC →）
=12AB →﹣12
CD →
， 故选：C ．
10．（2015秋•涵江区校级期末）已知a →
=（﹣3，2，5），b →
=（1，5，﹣1）则 a →+b →
的值为（ ） A ．（2，8，4） B ．（1，3，6）
C ．（5，8，9）
D ．（﹣2，7，4）
【解答】解：a →
=（﹣3，2，5），b →
=（1，5，﹣1），则 a →+b →
=（﹣2，7，4）． 故选：D ．
11．（2017春•阆中市校级月考）已知点A 的坐标为A （1，1，0），向量12
AB →=（4，
0，2），则点B 的坐标为（ ） A ．（7，﹣1，4） B ．（9，1，4）
C ．（3，1，1）
D ．（1，﹣1，1）
【解答】解：设B （x ，y ，z ），
∵点A 的坐标为A （1，1，0），向量12
AB →=（4，0，2），
∴1
2（x ﹣1，y ﹣1，z ）=（4，0，2）， ∴{
1
2(x −1)=412(y −1)=01
2z =2
，解得x=9，y=1，z=4， ∴点B 的坐标为（9，1，4）． 故选：B ．
12．（2017秋•深圳月考）在空间有三个向量AB →
、BC →
、CD →
，则AB →
+BC →
+CD →
=（ ）
A ．AC →
B ．AD →
C ．B
D →
D ．0→
【解答】解：如图： AB →
+BC →
+CD →
=AC →
+CD →
=AD →
． 故选：B ．
13．（2015秋•晋安区校级期末）以下四组向量中，互相平行的是．（ ） （1）a ⃗
=(1，2，1)，b ⃗
=(1，−2，3)； （2）a ⃗
=(8，4，−6)，b ⃗
=(4，2，−3)；
（3）a ⃗
=(0，1，−1)，b ⃗
=(0，−3，3)； （4）a ⃗
=(−3，2，0)，b ⃗
=(4，−3，3)． A ．（1）（2） B ．（2）（3）
C ．（2）（4）
D ．（1）（3）
【解答】解：选项A 中，对应坐标不成比例，故此两个向量不平行； 选项B 中有：a →
=2b →
⇒a →
∥b →
， 选项C 中b →
=−3a →
⇒a →
与b →
向量平行，
选项D ，事实上对应坐标不成比例，故此两个向量不平行； 以下四组向量中，互相平行的是（2）（3） 故选：B ．
14．（2017•阳山县校级一模）已知A （2，﹣5，1），B （2，﹣2，4），C （1，﹣4，
1），则向量AB →与AC →
的夹角为（ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
【解答】解：因为A （2，﹣5，1），B （2，﹣2，4），C （1，﹣4，1）， 所以 AB →
=(0，3，3)，AC →
=(−1，1，0)，
所以AB →
⋅AC →
═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且|AB →
|=3√2，|AC →
|=√2， 所以cos ＜AB →
，AC →
＞=
AB →⋅AC
→
|AB →
||AC →
|
=3√2×√2=1
2，
∴AB →
与AC →
的夹角为60° 故选：C ．
15．（2015秋•右玉县校级期末）已知向量a →
=(3，4，−3)，b →
=(5，−3，1)，则它们的夹角是（ ） A ．0° B ．45°
C ．90°
D ．135°
【解答】解：∵a →⋅b →
=3×5﹣4×3﹣3×1=0， ∴a →
⊥b →
．
∴a →
与b →的夹角为90°． 故选：C ．
16．（2013秋•城区校级期末）设直线l 1、l 2的方向向量分别为a →
=（0，﹣3，3），
b →
=（﹣1，1，0），则直线l 1、l 2的夹角是（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120° 【解答】解：∵a →=（0，﹣3，3），b →=（﹣1，1，0），
∴a →⋅b →=0×（﹣1）+（﹣3）×1+3×0=﹣3，
|a →|=√02+(−3)2+32=3√2，
|b →|=√(−1)2+12+02=√2，
∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b →|a →||b →|=3√2×√2=﹣12， ∴由夹角的取值范围可得l 1与l 2夹角为60°．
故选：C ．
17．（2016秋•临川区校级期中）若向量a →=（1，1，2），b →=（2，﹣1，2），则cos ＜a →，b →＞=（ ）
A ．3
B ．5√618
C ．255
D ．2 【解答】解：∵向量a →=（1，1，2），b →=（2，﹣1，2），
∴cos ＜a →，b →＞=a →⋅b →|a →|⋅|b →|=√6⋅√9=5√618． 故选：B ．
18．（2016秋•莲湖区校级期中）已知向量a →=（﹣1，1，﹣1），b →=（2，0，﹣3），则a →•b →等于（ ）
A ．﹣2
B ．﹣4
C ．﹣5
D ．1 【解答】解：∵向量a →=（﹣1，1，﹣1），b →=（2，0，﹣3），
∴a →⋅b →=﹣2+0+3=1．
故选：D ．
19．（2014秋•资阳期末）已知向量a →=（1，﹣3，2），b →=（﹣2，1，1），则|2a →+b →|=（ ）
A ．50
B ．14
C ．5√2
D ．√14 【解答】解：∵2a →+b →=2（1，﹣3，2）+（﹣2，1，1）=（0，﹣5，5）．
∴|2a →+b →
|=√0+52×2=5√2．
故选：C ．
20．（2015春•安溪县校级期中）空间向量不可以做的运算是（ ）
A ．加法
B ．减法
C ．数量积
D ．除法 【解答】解：类比平面向量的运算性质，得；
空间向量可以进行加法运算，减法运算和数量积的运算，
而不能进行除法运算．
故选：D ．。