3-2 约束和约束反力
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牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
圆柱铰链 固定铰支座
光滑圆柱铰链 第3章
牛 顿 定
第3章
牛
YR
顿
Y
定
X
律
固定铰支座
X
与 达 约束力通过柱铰中心轴
-
拉 原 理
光滑圆柱铰链 第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
-
光滑圆柱铰链 第3章
牛
顿
定
律
与
滚珠(柱)轴承
这是定常、双面、几何约束。
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
例2
设质点被限制在某个球心位于坐标原点的 球面上运动，球半径随时间变化 r f (t) 。
z
r
y
x
约束 x2 y2 z2 f 2 (t) 是非定常、双面、 几何约束。
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
例3
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-
齿轮啮合 第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
-
齿轮啮合 第3章
牛 顿 定 律 与 达
拉 原
啮合角 = 20º
理
-
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光滑接触面约束 第3章
牛
法线
顿
N
定
N
律
切线
与
达
拉 约束力沿接触面公法线方向 原 理
-
光滑接触面约束 第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
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-
-
光滑圆柱铰链 第3章
第2节
约束和约束反力
2019年10月14日
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
约束
约束：对质点系运动预加的强制性限制， 其数学表达式为
f (t, r1, ..., rN , v1, ..., vN ) 0 可简记为 f (t, ri , vi ) 0
约束的形式和机理是千差万别的
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-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
几何约束和微分约束
如约束表达式中不包含速度，则称其为几何
约束；否则称为微分约束。
y
y
A
o r
l
B
x
O
C
A
x
xA2
y
2 A
r2,
yB
0
xB xA
2
y
2 A
l2
vA 0 x r 0
返回
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
单面约束和双面约束
如约束表达式为等式，则称为双面约束或等 式约束，约束表达式又称约束方程；否则称 为单面约束或不等式约束。
x
l 刚性杆
y
A
x
l 柔索
y
A
xA2 yA2 l2 0
xA2 yA2 l2 0
对于单面约束，质点的运动可以分阶段考虑 （无约束阶段和双面约束阶段）。
设两个质点用长为 l 的绳相连。
z
r1
r2
y
x
则约束
(r1
r2
)2
l 2是单面、定常、几何约束。
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
约束与力
牛顿力学观点
力是改变运动的唯一原因。 约束都可以用力代替，这个力称为约束
反力（简称约束力）。 因为约束力依赖于物体的受力和运动情 况，是被动力。 不依赖于物体的受力和运动情况，按给 定规律变化的力称为主动力，也称给定 力，例如重力。 分析力学观点
如约束表达式中不显含时间 t ，则称其为定 常约束；否则称为非定常约束。
x
l
y
A
xA2
y
2 A
l2
0
x
l(t)
yA
xA2 yA2 l2 (t) 0
返回
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
例1
设一个质点被限制在某个平面内运动。
z
y
x
若取z轴垂直于该平面，则约束方程为 z = const
由刚性杆连接的两个质点：刚性约束 圆盘在粗糙平面上纯滚动：摩擦约束 导弹运动方向瞄准目标： 控制约束
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
约束的分类
–双面约束 单面约束
– 微分约束 几何约束
– 完整约束 非完整约束
–定常约束 非定常约束
理论力学主要研究受双面、定常、完整约束 的非自由质系。
-
约束和力都是改变运动的原因。 在力的作用下，物体在约束限制的范围
内运动 。
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
典型约束的约束力
几种典型约束的约束力分析 柔性约束 光滑接触面 齿轮啮合 光滑圆柱铰链 光滑球形铰链
柔索约束 第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 约束反力为拉力，作用线沿柔索 原 理
达
拉 原 理
-
光滑圆柱铰链 第3章
牛 顿 定 律 与 达
N
拉 原 理
辊轴支座约束
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-
光滑球形铰链 第3章
牛
顿
Z
定
律
与
达
X
Y
拉
原 理
约束力通过球铰中心
-
Z
Y X
止推轴承
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-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
受力分析
研究质系的动力学（含静力学）问题时， 首先要弄清楚有哪些力作用，即受力分析。 受力分析的基本步骤是：
例5
P1
P2
C
A
B
P1 NCy
C NCx
NAy
A NAx
C NCx
NCy
P2
NBy
B NBx
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
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-
完整约束和非完整约束
几何约束和可以积分成为几何约束的微分约
束，称为完整约束，不可积的微分约束称为
非完整约束。
T
y
O
C
A
x
v
M
vA 0 x r 积分 x r
yM yT yM xM xT xM
返回
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
定常约束和非定常约束
确定研究对象，取出隔离体 画出所有主动力 画出约束反力 正确进行受力分析及画好受力图的要点
熟知各种约束的性质及其约束反力方向 正确运用作用力与反作用力的关系 应画出所受的全部外力，不能遗漏
例4
第3章 C
牛
顿
定
律
A
与
达
-
拉 原 理
N Ay
T
C
A N Ax Q
B
B
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
圆柱铰链 固定铰支座
光滑圆柱铰链 第3章
牛 顿 定
第3章
牛
YR
顿
Y
定
X
律
固定铰支座
X
与 达 约束力通过柱铰中心轴
-
拉 原 理
光滑圆柱铰链 第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
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光滑圆柱铰链 第3章
牛
顿
定
律
与
滚珠(柱)轴承
这是定常、双面、几何约束。
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第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
例2
设质点被限制在某个球心位于坐标原点的 球面上运动，球半径随时间变化 r f (t) 。
z
r
y
x
约束 x2 y2 z2 f 2 (t) 是非定常、双面、 几何约束。
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第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
例3
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齿轮啮合 第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
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齿轮啮合 第3章
牛 顿 定 律 与 达
拉 原
啮合角 = 20º
理
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牛
法线
顿
N
定
N
律
切线
与
达
拉 约束力沿接触面公法线方向 原 理
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光滑圆柱铰链 第3章
第2节
约束和约束反力
2019年10月14日
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第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
约束
约束：对质点系运动预加的强制性限制， 其数学表达式为
f (t, r1, ..., rN , v1, ..., vN ) 0 可简记为 f (t, ri , vi ) 0
约束的形式和机理是千差万别的
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第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
几何约束和微分约束
如约束表达式中不包含速度，则称其为几何
约束；否则称为微分约束。
y
y
A
o r
l
B
x
O
C
A
x
xA2
y
2 A
r2,
yB
0
xB xA
2
y
2 A
l2
vA 0 x r 0
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第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
单面约束和双面约束
如约束表达式为等式，则称为双面约束或等 式约束，约束表达式又称约束方程；否则称 为单面约束或不等式约束。
x
l 刚性杆
y
A
x
l 柔索
y
A
xA2 yA2 l2 0
xA2 yA2 l2 0
对于单面约束，质点的运动可以分阶段考虑 （无约束阶段和双面约束阶段）。
设两个质点用长为 l 的绳相连。
z
r1
r2
y
x
则约束
(r1
r2
)2
l 2是单面、定常、几何约束。
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牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
约束与力
牛顿力学观点
力是改变运动的唯一原因。 约束都可以用力代替，这个力称为约束
反力（简称约束力）。 因为约束力依赖于物体的受力和运动情 况，是被动力。 不依赖于物体的受力和运动情况，按给 定规律变化的力称为主动力，也称给定 力，例如重力。 分析力学观点
如约束表达式中不显含时间 t ，则称其为定 常约束；否则称为非定常约束。
x
l
y
A
xA2
y
2 A
l2
0
x
l(t)
yA
xA2 yA2 l2 (t) 0
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牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
例1
设一个质点被限制在某个平面内运动。
z
y
x
若取z轴垂直于该平面，则约束方程为 z = const
由刚性杆连接的两个质点：刚性约束 圆盘在粗糙平面上纯滚动：摩擦约束 导弹运动方向瞄准目标： 控制约束
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
约束的分类
–双面约束 单面约束
– 微分约束 几何约束
– 完整约束 非完整约束
–定常约束 非定常约束
理论力学主要研究受双面、定常、完整约束 的非自由质系。
-
约束和力都是改变运动的原因。 在力的作用下，物体在约束限制的范围
内运动 。
-
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
典型约束的约束力
几种典型约束的约束力分析 柔性约束 光滑接触面 齿轮啮合 光滑圆柱铰链 光滑球形铰链
柔索约束 第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 约束反力为拉力，作用线沿柔索 原 理
达
拉 原 理
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光滑圆柱铰链 第3章
牛 顿 定 律 与 达
N
拉 原 理
辊轴支座约束
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光滑球形铰链 第3章
牛
顿
Z
定
律
与
达
X
Y
拉
原 理
约束力通过球铰中心
-
Z
Y X
止推轴承
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第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
受力分析
研究质系的动力学（含静力学）问题时， 首先要弄清楚有哪些力作用，即受力分析。 受力分析的基本步骤是：
例5
P1
P2
C
A
B
P1 NCy
C NCx
NAy
A NAx
C NCx
NCy
P2
NBy
B NBx
第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
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完整约束和非完整约束
几何约束和可以积分成为几何约束的微分约
束，称为完整约束，不可积的微分约束称为
非完整约束。
T
y
O
C
A
x
v
M
vA 0 x r 积分 x r
yM yT yM xM xT xM
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第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理
定常约束和非定常约束
确定研究对象，取出隔离体 画出所有主动力 画出约束反力 正确进行受力分析及画好受力图的要点
熟知各种约束的性质及其约束反力方向 正确运用作用力与反作用力的关系 应画出所受的全部外力，不能遗漏
例4
第3章 C
牛
顿
定
律
A
与
达
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拉 原 理
N Ay
T
C
A N Ax Q
B
B
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第3章
牛 顿 定 律 与 达 拉 原 理