甘肃省武威市第一中学2020届高三上学期10月阶段性考试数学(文)试题 Word版含解析

武威一中2019年秋季学期阶段性考试
高三年级数学（文科）试卷
命题人：张志斌
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5U A B ===，则()U A B ⋃ð= A. {2,6}
B. {3,6}
C. {}1,3,4,5
D.
{}1,2,4,6
【答案】A 【解析】 试
题
分
析
：因为
{}{}
{13,5}3,4,51,3,4,5A B ⋃=⋃=，，所以
{}{}()1,3,4,52,6U U
A B ⋃=
=痧，选A.
【考点】集合的运算
【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算是必考考点，也是考生必定得分的题目之一. 【此处有视频，请去附件查看】
2.已知x ∈R ，则“1x <”是“21x <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充
分又不必要条件 【答案】B 【解析】
()()()()21,111,11,,11,1x x x x <∴+-<∴-<<∴-∞⊇-Q , 1x ∴< 时，21x <的必要
不充分条件，故选B.
3.已知cos 4
α=
，则()cos 2πα-=（）
A. 8
-
B. 34
-
C.
8
D.
34
【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角函数的诱导公式，化简、代入计算，即可求解 【
详
解
】
由
题
意
，
利
用诱导公式求得
()2
2
3cos 2cos212cos 124πααα-=-=-=-=⎝⎭
，故选D 。

【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简求值问题，其中解答中准确利用三角函数的诱导公式，合理代入运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

4.已知向量()()1,2,1,3a b =-=r r
，则2a b -=r r ( )
B. 2
D. 10
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量的坐标运算，可得2(3,1)a b -=-r r
，再利用向量模的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量()()1,2,1,3a b =-=r r ，所以2(2,4)(1,3)(3,1)a b -=--=-r r
，
所以2a b -==r r C ．
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算和向量的模的运算，其中解答中熟记向量的坐标运算和向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 5.已知幂函数()()
2
1
33m f x m m x
+=-+为偶函数，则m =（ ）
A. 1
B. 2
C. 1或2
D. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数为幂函数可知2331m m -+=，再由偶函数可验证m 的取值即可. 【详解】因为()()
2
1
33m f x m m x
+=-+为幂函数，
所以2331m m -+=，解得12m m ==或，
当2m =时，()3
f x x =，函数不是偶函数，舍去,
当1m =时，()2
f x x =，函数是偶函数，故选A.
【点睛】本题主要考查了幂函数，偶函数，属于中档题.
6.已知命题α：如果x ＜3，那么x ＜5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3。

关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( ) ①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题。

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题。

③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题。

A. ①③ B. ② C. ②③ D. ①②③
【答案】A 【解析】
试题分析：本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确，选A. 考点：四种命题.
7.已知命题“2,410x R ax x ∀∈++>”是假命题，则实数a 的取值范围是 A. (4,)+∞ B. (0,4] C. (,4]-∞ D. [0,4) 【答案】C 【解析】
当命题为真时，由0a >且0∆<可得4a >，故命题为假时，4a ≤，故选C ．
8.已知函数()y f x =的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的[]12,4,8x x ∈，都有
()()1212
0f x f x x x ->-恒成立；②()()4f x f x +=-；③()4y f x =+是偶函数．若
()6a f =，()11b f =，()17c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）
A. a b c <<
B. b a c <<
C. a c b <<
D.
c b a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据所给三个条件可知函数周期，对称轴，单调性，利用性质即可比较大小. 【详解】因为对任意的[]12,4,8x x ∈，都有
()()1212
0f x f x x x ->-恒成立，所以函数在
[]4,8x ∈上是增函数，由()()4f x f x +=-可得(8)()f x f x +=，即周期8T =，
因为()4y f x =+是偶函数，所以(4)(4)f x f x -+=+，即函数对称轴为4x = 所以()6a f =，()11(3)(5)b f f f ===，()17(1)(7)c f f f ===， 根据函数在[]4,8x ∈上是增函数可知b a c <<，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性，周期性，对称性，属于中档题.
9.若向量(21,)m k k =-v 与向量(4,1)n =v
共线，则m n ⋅=u r r （ ）
A. 0
B. 4
C. 9
2
-
D. 172
-
【答案】D 【解析】
因为(21,)m k k =-v 与向量(4,1)n =v
共线，所以2140k k --=，解得12
k =-
，117(2,)(4,1)22
m n ⋅=--⋅=-v v
，故选D.
10.已知函数()()2
1
x f x a a R e =-∈+是奇函数，则函数()f x 的值域为（ ）
A. ()1,1-
B. ()2,2-
C. ()3,3-
D. ()4,4-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇函数的定义可求出a ，利用指数函数性质及不等式性质可求出函数值域. 【详解】因为函数()()2
1
x f x a a R e =-
∈+是奇函数，
所以()222
()111
x x x x
e f x a a f x a e e e --=-=-=-=-++++ 即22a =，解得1a =，
所以()2
11
x
f x e =-+， 由11x e +>可知2021x
e <<+，所以2
1111
x e -<-<+， 故()f x 的值域为()1,1-.
【点睛】本题主要考查了奇函数的定义，指数函数的性质，不等式的性质，属于中档题. 11.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =-．若函数
()()g x f x a =+有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. []1,1-
B. ()1,1-
C. (][),11,-∞-+∞U
D. ()(),11,-∞-+∞U
【答案】D 【解析】 【分析】
由()g x 0=转化为y =()f x ，y a =-有两个交点，对()f x 在x 0>内求导判断其单调性和求极值，且()f x 为奇函数即可得答案.
【详解】当x 0>时，()f x x lnx =-，对()f x 求导得()11
10x f x x x
='-=-
= 的根为1，所以()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，且()f 1=1 .又因为()f x 为奇函数，所以
()f x 在()1,0-上递减，在(),1-∞-上递增，且()f 1-=1-，如图所示()f x 的图像，由()g x 0=转化为y =()f x ，y a =-有两个交点，所以1a ->或<1a -,即1a <-或1a > .
故选：D
【点睛】本题考查了函数的零点转化为两函数的交点问题，也考查了求导判断函数的单调性与极值，属于中档题. 12.已知函数()3sin()(0)6
f x x π
ωω=-
>和()2cos(2)1(||)2
g x x π
ϕϕ=++<
图象的对称
轴完全相同，若[0,]2
x π
∈，则y ＝g （x ）的值域是（ ） A. ［－1，2］ B. ［－1，3］
C. ［,0，2］
D. ［0，,3］
【答案】A 【解析】 【分析】
根据两个函数的对称轴一样得周期相同，对称轴相同依次可得ω和φ，从而得g （x ）＝2cos （2x 3
π
+
）+1，进而利用定义域求解值域即可. 【详解】∵函数()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=-> ⎪⎝
⎭和()()2cos 21()2
g x x π
ϕϕ=++<图象的
对称轴完全相同，∴ω＝2，
∴函数f （x ）＝3sin （2x 6π-），则对称轴2x 6π-=k π2π+，k ∈Z ，即x 23
k ππ
=+，k ∈Z ，
由g （x ）＝2cos （2x +φ）+1，则2x +φ＝k π，k ∈Z ，即x 22
k πϕ
=
-，k ∈Z ， ∴223ϕππ-+=，∴φ3π=，∴g （x ）＝2cos （2x 3
π
+）+1，
∵x ∈[0，2π]，∴2x 3π+∈[3π，
43π]，∴cos （2x 3π+）∈[﹣1，1
2
] ∴g （x ）∈[﹣1，2]， 故选：A ．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，涉及周期性和对称性，研究三角函数的对称性用到了整体换元的思想，属于中档题.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知()()3log ,0
01,0x x x f x a a b x >⎧=<<⎨+≤⎩
，且()25f -=，()13f -=，则
()()3f f -=____________
【答案】2 【解析】 【分析】
由()25f -=，()13f -=联立可求,a b ，根据分段函数先求()3f -，再求()()3f f -即
可.
【详解】由()25f -=，()13f -=可得2153
a b a b --⎧+=⎨+=⎩，解得1
2a =或1a =-（舍去），1b =，
所以()3
1
3()
192
f --=+=，
()()3f f -=3(9)log 92f ==.
【
点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.
14.已知{}n a 为等差数列，135156a a a ++=，246147a a a ++=，{}n a 的前n 项和为n S ，则使得n S 达到最大值时n 是__________． 【答案】20 【解析】 【分析】
先设等差数列的公差为d ，根据135156a a a ++=，246147a a a ++=，求出首项和公差，
由数列{}n a 的单调性，即可求出结果.
【详解】设等差数列的公差为d ，由135156a a a ++=，246147a a a ++=作差得3d 9=-， 所以d 3=-，所以数列{}n a 单调递减，又1351136318156a a a a d a ++=+=-=，解得
158a =，所以()583n 1613n n a =--=-，由0n a >得，613n 0->，即n 20≤，所以
200a >，210a <，所以当n 20=时，n S 取最大值.
故答案为20
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，确定出等差数列的公差，和使0n a >的最大的n ，即可求解，属于常考题型.
15.已知直线1y x =-+是函数1()x
f x e a
=-⋅的切线，则实数a =______. 【答案】2e . 【解析】
试题分析：设切点为00(,)x y ，则0
01()1x f x e a
'=-⋅=-，∴0x e a =，又∵0
011x e x a
-
⋅=-+，∴02x =， ∴2a e =.
考点：利用导数研究函数在某点上的切线方程.
16.在正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC uuu r =λAM u u u u r
+μAN u u u r ，则λ+μ=______．
【答案】
4
3
【解析】 【
分析】
根据平面向量定理，表示出AM u u u u v ，然后把AB u u u v 转化到NC u u u v ，利用NC NA AC =+u u u v u u u v u u u v ，得到AC u u u v
用AM u u u u v 和AN u u u v
表示的式子，得到λ和μ的值.
【详解】在ABC △中，M 为BC 中点，所以1122
AM AC AB =+u u u u v u u u v u u u v ，
N 为DC 中点，所以1122
NC DC AB ==u u u v u u u v u u u v
所以1111322222AM AC AB AC NC AC NA AC AC AN =+=+=++=-u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
即32AC AM AN =+u u u
v u u u u v u u u v ， 所以2233
AC AM AN =+u u u v u u u u v u u u v
而AC AM AN λμ=+u u u v u u u u v u u u u u v
所以22,33
λμ=
= 故43
λμ+=
【点睛】本题考查向量平面定理的的表示，向量的加法、减法，向量共线的表示，属于中档题.
三、解答题（共6小题70分，写出必要的解答或证明过程。

）
17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，416S =，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 21n a n =-. (2) 21
n n
T n =+ 【解析】 【分析】
（1）根据等差数列的通项及前n 项和列出方程组，求出首项公差即可（2）利用裂项相消法求出前n 项和n T .
【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ， ∵23a =，416S =，
∴13a d +=，14616a d +=， 解得11a =，2d =. ∴21n a n =-. （2）由题意知，()()1
111212122121n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，
∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+
11111
1123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
111221n ⎛⎫=
- ⎪+⎝⎭
21
n
n =
+. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，裂项求和，属于中档题. 18.已知在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A,B,C 的对应边，点D 为BC 边的中点，ABC ∆的面
积为2
3sin AD B
.
(1)求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；
(2)若6,BC AB AD ==b 。

【答案】（1）1
3
； （2【解析】 【分析】
(1)先由ABC ∆的面积为2
3sin AD B
且D 为BC 的中点，得到ABD ∆的面积；再由三角形的面积
公式和正弦定理即可求出结果；
(2)根据(1)的结果和6BC AB =，可求出sin BDA ∠和sin BAD ∠；再由余弦定理，即可求出结果.
【详解】(1)由ABC ∆的面积为23sin AD B 且D 为BC 的中点可知:ABD ∆的面积为2
6sin AD B ,
由三角形的面积公式可知:2
1sin 26sin AD AB BD B B
⋅⋅=,
由正弦定理可得:3sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=, 所以1
sin sin 3
BAD BDA ∠⋅∠=
, (2)6BC AB =Q ,又因为D 为中点，所以BC 2BD 6AB ==,即BD 3AB =,
在ABD ∆中由正弦定理可得
sin sin BD AB
BAD BDA
=∠∠,所以sin 3sin BAD BDA ∠=∠
由（1）可知1sin sin 3BAD BDA ∠⋅∠=所以1
sin ,sin 13
BDA BAD ∠=∠=,
Q ()0,BAD π∠∈ ∴ ,2
BAD π
∠=
在直角ABD ∆中13
AD BDA =∠=,所以1,3AB BD ==. BC 2BD =Q ,BC 6∴=
在ABC ∆中用余弦定理，可得
22212cos 13621633,3
b a
c ac B b =+-=+-⨯⨯⨯=∴=【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.
19.函数()sin()(0,||)2f x x π
ωϕωϕ=+><在它的某一个周期内的单调减区间是
511[,]1212ππ．将()y f x =的图象先向左平移4
π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的
12倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x （Ⅰ）求()g x 的解析式；
（Ⅱ）求()g x 在区间0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． 【答案】（1）()sin 46g x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭（2）最大值为1，最小值为12
- 【解析】 试题分析：()1根据已知及周期公式求得ω的值，然后求出ϕ的值，从而可求出()f x 的解
析式，进而得到()()2g x 的解析式；确定()
g x 的单调性，然后求出最值 解析：（1）1151,2212122T πππω=-=∴=,又5sin 21123ππϕϕ⎛⎫⋅+=∴=- ⎪⎝⎭
()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭， ()sin 46g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ （2） g(x)在0,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为增函数，在124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上为减函数，所以
()max 112g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，()min 142g x g π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,故函数在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为1和-
20.设函数()()2ln f x x ax x a R =-++∈. （1）当1a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在1,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
；（2）ln 31,33⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】
【分析】
（1）求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，
()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由()2ln 0f x x ax x =-++=，可得ln x a x x =-，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()ln x g x x x =-，利用导数可得 ()g x 的减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭，增区间为(]1,3，求得函数的极值与最值，从而可得结果.
【详解】（1）因为()()2
ln f x x ax x a =-++∈R ，所以函数()f x 的定义域为()0,∞+， 当1a =-时，()212121x x f x x x x
--+=--+='， 令()0f x '=，得12
x =
或1x =-（舍去）. 当102x <<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<， 所以()f x 的单调递增区间为10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. （2）令()2ln 0f x x ax x =-++=，1
,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ln x a x x
=-， 令()ln x g x x x =-，其中1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，
则()222
1ln ln 11x x x x x
g x x x ⋅-+-=-='，令()0g x '=，得=1x ， 当113
x ≤<时，()0g x '<，当13x <≤时，()0g x '>， ()g x ∴的单调递减区间为1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，单调递增区间为(]1,3， ()()min 11g x g ∴==， 又113ln333g ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，()ln3333g =-，且1ln33ln3333
+>-， 由于函数()f x 在1
,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，
故实数a 的取值范围是ln31,33⎛
⎤- ⎥⎝⎦
. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值以及利用导数研究函数的零点，属于中档题. 导数问题有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
21.已知函数()()ln f x x a x =+，2()2
a g x x x =+（0a ≤且a 为常数）. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；
（2）若对任意1x ≥都有()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) 1e - (2) 2a ≤-
【解析】
【分析】
（1）当0a =时，先求得函数()f x 的定义域，然后对函数求导，由此求得函数的单调区间，并求得最小值.（2）构造函数()()()F x f x g x =-，将原不等式恒成立问题，转化为()0F x ≥来求解.利用()'F x 的导数，研究函数()'F x 的单调性，求得()F x 的最小值，令这个最小大于或等于零，求得a 的取值范围.
【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，
当0a =时，()f x 的导数()1ln f x x ='+.
令()0f x '>，解得1x e >；令()0f x '<，解得10x e
<<. 从而()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1
,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 所以，当1x e =时，()f x 取得最小值1e
-. （2）令()()()()()2ln 12a F x f x g x x a x x x x =-=+-
-≥ 那么，对于任意1x ≥都有()()f x g x ≥，只须()0F x ≥即可，
()ln a F x x ax x
'=+
-，且()10F '= 记()()()ln 1a G x F x x ax x x
==+-≥' ()21a G x a x x =--' 由已知0a ≤，所以对于任意1x ≥，都有()2
10a G x a x x -'=->恒成立， 又因为()()110G F ='=，所以()F x 在[)1,+∞上单调递增，
所以，()()min 112a F x F ==-
-， 由102
a --≥，解得2a ≤-， 所以，当2a ≤-时，对任意1x ≥都有()()f x g x ≥成立.
【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的单调区间以及最值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.解决恒成立问题，可以采用分离常数法，或者构造函数法，本题中构造出函数()F x ，将问题转化为()F x 的最小值为非负数来求解.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩
（t 为参数，0απ≤<），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ
=+.
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点M 的坐标为(1,0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11||||
MA MB +的值. 【答案】（1）2
212
x y +=；（2
）【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）将直线的参数方程代入到椭圆方程中，将韦达定理和参数的几何意义相结合可得最后结果．
【详解】（1）曲线2221sin ρθ
=+，即222sin 2ρρθ+=， ∵222x y ρ=+，sin y ρθ=，
∴曲线C 的直角坐标方程为22
22x y +=，即2
212x y +=. （2）将1x tcos y tsin αα
=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=， ∴1222cos 1sin t t αα+=-+，12211sin t t α
-⋅=+， ∴1212
11MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-+===⋅⋅-⋅， ∵
12t t -=
21sin α
==+，
∴22111sin 11sin MA MB
αα
++==+【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，属于中档题.。