《试卷3份集锦》怀化市2020高考数学复习检测试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．24π
B ．28π
C ．32π
D ．36π
3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，111
3
A F A A =
，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）
A ．γβα>>
B ．αβγ>>
C ．αγβ>>
D ．γαβ>>
4．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边
长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}
120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ）
A ．8
B ．7
C ．4
D ．3
6． “1
cos 22α=-
”是“3
k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
7．若集合{}(2)0A x x x =->，{}
10B x x =->，则A B =
A ．{}10x x x ><或
B ．{}
12x x <<
C ．{|2}x x >
D ．{}
1x x >
8．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）
A ．1
2
-
B ．2-
C ．1- 或
12
D ．1 或 12
-
10．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组0
40x x y bx ay c ≥⎧⎪
+≤⎨⎪++≥⎩
，则目
标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值
D ．无最大值，无最小值
12．盒子中有编号为1，2，3
，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．
235
B ．
835
C ．
635
D ．
37
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数2,0()2,0x f x x x
≥⎧⎪
=⎨<⎪⎩，则使得不等式(())0f f a >成立的a 的取值范围为_________.
14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12
n
n S a =
-，则7=S __________. 15．点P 是△ABC 所在平面内一点且,PB PC AP +=在△ABC 内任取一点，则此点取自△PBC 内的概率是____
16．已知集合{}1,4A =，{}5,7B a =-.若{}4A B ⋂=，则实数a 的值是______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知抛物线2:2G y px =，焦点为F ，直线l 交抛物线G 于,A B 两点，交抛物线G 的准线于点C ，如图所示，当直线l 经过焦点F 时，点F 恰好是AC 的中点，且83
BC =
.
（1）求抛物线G 的方程；
（2）点O 是原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，当直线l 的纵截距为1时，有数列{}n a 满足
()2
112n 1,16,42n a k a k a -==-=+，设数列1n n a a ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为n S ，已知存在正整数m 使得
20201m S m ≤<+，求m 的值.
18．已知,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 的对边，且cos 2cos a A b B
=-． （Ⅰ）求
a c
． （Ⅱ）若4b =，1
cos 4
C =
，求ABC 的面积．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求cos 23C π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的值． 19．（6分）每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)； 日平均气温（℃） 6 4 2 2-
5-
网上预约订单数
100
135
150
185
210
（1）经数据分析，一天内平均气温C x 。

与该出租车公司网约订单数y （份）成线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程，并预测日平均气温为7C -︒时,该出租车公司的网约订单数；
（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于5C -︒，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.
附：回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1
1
2
2
1
1
2
()()ˆˆˆ,()
n n
i i
i
i
i i n
n
i i
i
i x x y y x y nx y
b
a
y bx x x x
nx ====---⋅==
=---∑∑∑∑ 20．（6分）已知函数()123f x x x =--+. （1）求不等式
()1f x <的解集；
（2）若存在实数x ，使得不等式()2
30m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.
21．（6分）秉持“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，为推动新能源汽车产业迅速发展，有必要调查研究新能源汽车市场的生产与销售.下图是我国某地区2016年至2019年新能源汽车的销量（单位：万台）按季度（一年四个季度）统计制成的频率分布直方图.
（1）求直方图中a 的值，并估计销量的中位数；
（2）请根据频率分布直方图估计新能源汽车平均每个季度的销售量（同一组数据用该组中间值代表），并以此预计2020年的销售量.
22．（8分）如图为某大江的一段支流，岸线1l与2l近似满足1l∥2l，宽度为7km．圆O为江中的一个半径为2km的小岛，小镇A位于岸线1l上，且满足岸线1l OA
⊥，3
OA km
=．现计划建造一条自小镇A经小岛O至对岸2l的水上通道ABC（图中粗线部分折线段，B在A右侧），为保护小岛，BC段设计成与
圆O相切．设0
2
ABC
π
πθθ
⎛⎫
∠=-<<
⎪
⎝⎭
．
（1）试将通道ABC的长L表示成θ的函数，并指出定义域；
（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？
23．（8分）设数列{}n a的前n项和n S满足2n n
S na n
=+，n∈
+
N，
2
2
a=，
（1）证明：数列{}n a是等差数列，并求其通项公式﹔
（2）设
11
n
n n n n
b
a a a a
++
=
+12
1
n n
T b b b
=+++<.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【解析】
【分析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.
【详解】
输入10
n=，1
n=不成立，n是偶数成立，则
10
5
2
n==，011
i=+=；
1
n=不成立，n是偶数不成立，则35116
n=⨯+=，112
i=+=；
1
n=不成立，n是偶数成立，则
16
8
2
n==，213
i=+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则8
42n =
=，314i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则4
22n ==，415i =+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则2
12
n ==，516i =+=；
1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】
由三视图可知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形，侧棱长为4，利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径，根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半径，即可求解球的表面积. 【详解】 由三视图可知，
几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是底边为23，高为1的等腰三角形， 侧棱长为4，如图：
由底面边长可知，底面三角形的顶角为120，
由正弦定理可得23
24sin120
AD =
=，解得2AD =，
三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心， 所以222222OA =
+=
该几何体外接球的表面积为：(2
4232S ππ=⋅=.
故选：C 【点睛】
本题考查了多面体的内切球与外接球问题，由三视图求几何体的表面积，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.
3．D 【解析】 【分析】
过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【详解】
解：因为1AB AC ==，12
BC AA ==，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1F ，0，
22)3，1(2O ，12
，0)，(0E ，0，
2
)2，1(1B ，1，2)， 111(,,2)22OB =，112
(,,)22OE =--，
1122(,,)22OF =-，12(1,1,)EB =，2
(1,0,)EF =，
设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，
则111·2022112·0
222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩
，取1x =，得()1,1,0m →=-，
同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--， 平面OEF 的法向量272(,,3)22
p =-
，平面1EFB 的法向量2
(,2,3)2q =--． ∴461
cos 61||||
m n m n α=
=，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 4．B
【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是
错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为
，
即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案
是正确的，应选答案B 。

点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题 解决问题的能力。

5．D 【解析】 【分析】 转化条件得{}0,1A B =，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解.
【详解】
由题意得()(){}{
}
12012B x x x x x =+-<=-<<，
∴{}0,1A B =，∴集合A B 的真子集的个数为2213-=个.
故选：D. 【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】
先求出满足1
cos 22
α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-
得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1
cos 22α=-”是“3
k παπ=+，
k Z ∈”的必要不充分条件．
故选：B ． 【点睛】
本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断． 7．C 【解析】
【分析】
解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B ={|2}x x >.
【详解】
因为{|2A x x =>或0}x <，{}
1B x x =>，所以A B ={|2}x x >，故选C.
【点睛】
本题考查集合的交运算，属于容易题. 8．B 【解析】 【分析】
分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】
因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】
由132a a a ，，成等差数列得3122a =a +a ，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q 的方程. 【详解】
由题意3122a =a +a ，∴2a 1q 2=a 1q+a 1，∴2q 2=q+1，∴q=1或q=1-2
故选：D ． 【点睛】
本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练． 10．A 【解析】 【分析】
结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】
由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=，所以a b ⊥；而
当a b ⊥，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=，解得2m =或2m =-.所以 “2m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识. 11．B 【解析】 【分析】
判断直线0bx ay c ++=与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况. 【详解】
由0a b c ++=，a b c >>，所以可得0,0a c ><.
1112,22222c c c c
a b a a c b c a c c a a a a
>⇒>--⇒
>->⇒-->⇒<-∴-<<-⇒<-<， 所以由0b c
bx ay c y x a a
++=⇒=--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：
由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值. 故选：B 【点睛】
本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用. 12．B 【解析】 【分析】
由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有3
7C 种，由古典概型的概率公式即得解. 【详解】
由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1
1
42C C ，所有的情况有3
7C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：
114237835
C C P C ==
故选：B 【点睛】
本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．[
)0,+∞ 【解析】 【分析】
分0a ≥，0a <两种情况代入讨论即可求解. 【详解】
2,0
()2,0x f x x x
≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，
当0a ≥时，()()()220f f a f ==>，0a ∴≥符合；
当0a <时，()()20f
f a f a a ⎛⎫==< ⎪⎝⎭
，0a ∴<不满足(())0f f a >.
故答案为：[)0,+∞ 【点睛】
本题主要考查了分段函数的计算，考查了分类讨论的思想. 14．-254 【解析】 【分析】
利用1(2)n n n a S S n -=-≥代入即可得到122(2)(2)n n S S n --=-≥，即{2}n S -是等比数列，再利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】
由已知12n n S a =
-
，得12n n S a =-，即112
n n n S
S S --=-，所以122(2)(2)n n S S n --=-≥ 又1
112
S a =
-，即12S =-，124S -=-，所以{2}n S -是以-4为首项，2为公比的等比数 列，所以1
242n n S --=-⨯，即1
22n n S +=-，所以8
722254S =-=-。

故答案为：254- 【点睛】
本题考查已知n S 与n a 的关系求n S ，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题. 15．
13
【解析】 【分析】
设D 是BC 中点，根据已知条件判断出,,A P D 三点共线且P 是线段AD 靠近D 的三等分点，由此求得
1
3
PBC ABC
S S
=
，结合几何概型求得点取自三角形PBC 的概率. 【详解】
设D 是BC 中点，因为PB PC AP +=，所以2PD AP =，所以A P D 、、三点共线且点P 是线段AD 靠近D 的三等分点， 故
13PBC ABC
S S
=
，所以此点取自PBC 内的概率是13
． 故答案为：
13
【点睛】
本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题. 16．9 【解析】 【分析】
根据集合交集的定义即得.
【详解】
集合{}1,4A =，{}5,7B a =-，{}4A B ⋂=，
∴54a -=，则a 的值是9.
故答案为：9 【点睛】
本题考查集合的交集，是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）2
4y x =（2）2019m =
【解析】 【分析】
(1) 设出直线的方程，再与抛物线联立方程组，进而求得点,A B 的坐标，结合弦长即可求得抛物线的方程；
(2) 设直线的方程，运用韦达定理可得214k k +=，可得1,n n a a +之间的关系，再运用1111
1
n n n a a a +=-
+进行裂项，可求得2020S ，解不等式求得m 的值. 【详解】
解：（1）设过抛物线焦点的直线方程为()2
p y k x =-
， 与抛物线方程联立得：22
2
2
2
(2)04k p k x k p p x -++=，
设2
112221(,),(,),4
p A x y B x y y y =，
所以2223(
,),(),326P P A kP B P k P p =，
83k BC ∴===， 2P =∴，
所以抛物线方程为2
4y x =
（2）设直线方程为()2(1)
1,4x m y x m y y x =-⎧=-∴⎨=⎩
，
21212440,4,4y my m y y m y y m ∴-+==+=，
12
2112
4y y k k x x +=
+=，
221116(42)4,(1)n n n n n n n a a a a a a a ++∴-++=-+=+，
11111(1)1
n n n n n a a a a a +∴
==-++， 11
1()11
n n n n a a a a ∴
=--++， 20201223202020212021
1111111
2020(
...)20201S a a a a a a a =-+-++-=-+ 由111,(1)1n n n a a a a +==+>得2019m =. 【点睛】
本题考查了直线与抛物线的关系，考查了韦达定理和运用裂项法求数列的和，考查了运算能力，属于中档题. 18．（Ⅰ）12
；（Ⅱ
（Ⅲ
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；（Ⅱ）由余弦定理可求a ，然后结合三角形的面积公式可求；（Ⅲ）结合二倍角公式及和角余弦公式即可求解． 【详解】 （Ⅰ）因为
cos sin 2cos sin a A A b B B
==-， 所以2sin sin cos sin cos A A B B A -=，
所以2sin sin cos sin cos sin()sin A A B B A A B C =+=+=， 由正弦定理可得，
sin 1
sin 2
a A c C ==； （Ⅱ）由余弦定理可得，22
116448a a a
+-=，
整理可得，232160a a +-=， 解可得，2a =，
因为sin 4
C =
，
所以11sin 2422ABC S ab C ∆==⨯⨯=；
（Ⅲ
）由于1sin 22sin cos 24C C C ==，2
7cos22cos 18C C =-=-．
所以117cos(2)cos22()3228C C C π+==⨯-． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和角余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
19．（1）ˆ9.5165.5y x =-+，232；（2）
3
5
【解析】 【分析】
(1) 根据公式代入求解；
(2) 先列出基本事件空间Ω，再列出要求的事件，最后求概率即可. 【详解】
解：（1）由表格可求出5
5
21
1
1,156,
20,5780,85n n i i
i i i x y x y
x y x =======⋅==∑∑代入公式求出9.5b =-，
所以165.5a y bx =-=，所以ˆ9.5165.5y
x =-+ 当7x =-时，ˆ(9.5)(7)165.5232y
=-⨯-+=. 所以可预测日平均气温为7C -︒时该出租车公司的网约订单数约为232份.
（2）记这5天中气温不高于5C -︒的三天分别为,,A B C ，另外两天分别记为,D E ，则在这5天中任意选取2天有,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ，共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有, , , , , AD AE BD BE CD CE ，共6个基本事件， 所以所求概率63105
P ==，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为3
5.
【点睛】
考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题. 20．（1）()(),62,-∞--+∞；
（2）()1,4-. 【解析】 【分析】
（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1x ≥三段求解不等式
()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；
（2）求出函数()y f x =的最大值()max f x ，由题意得出()2
max 3m m f x -<，解此不等式即可得出实数
m 的取值范围.
【详解】
()7,3
12335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪
=--+=---<<⎨⎪--≥⎩
.
（1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-； 当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<； 当1x ≥时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1x ≥. 综上所述，不等式
()1f x <的解集()(),62,-∞--+∞；
（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()()34f x f ≤-=；
当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则()()()13f f x f <<-，即()84f x -<<； 当1x ≥时，函数()7f x x =--单调递减，则()()18f x f ≤-=-. 综上所述，函数()y f x =的最大值为()()max 34f x f =-=， 由题知，()2
max 34m m f x -<=，解得14-<<m .
因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
21．（1）0.1125a =，中位数为16；（2）新能源汽车平均每个季度的销售量为17万台，以此预计2020年的销售量约为17万台. 【解析】 【分析】
（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可计算出a 的值，利用中位数左边的矩形面积之和为
0.5可求得销量的中位数的值；
（2）利用每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积，相加可得出销量的平均数，由此可预计2020年的销售量. 【详解】
（1）由于频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，
则()0.01250.0750.025241a +++⨯⨯=，解得0.1125a =， 由于()0.01250.112540.5+⨯=，因此，销量的中位数为16； （2）由频率分布直方图可知，新能源汽车平均每个季度的销售量为100.05140.45180.3220.1260.117⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（万台）， 由此预测2020年的销售量为17万台. 【点睛】
本题考查利用频率分布直方图求参数、中位数以及平均数的计算，考查计算能力，属于基础题. 22．（1）93cos ()sin L θθθ-=，定义域是0,2πθ⎛⎫
⎪⎝⎭
．（2）62百万
【解析】 【分析】
（1）以A 为原点，直线1l 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，设(0)AB a a =>，利用直线与圆相切得到
23cos sin a θ
θ
-=
，再代入L AB BC =+这一关系中，即可得答案；
（2）利用导数求函数的最小值，即可得答案； 【详解】
以A 为原点，直线1l 为x 轴建立如图所示的直角坐标系．
设(0)AB a a =>，则(,0)B a ，(0,3)O ，2:7l y =． 因为02ABC ππθθ⎛⎫
∠=-<<
⎪⎝
⎭
， 所以直线BC 的方程为tan ()y x a θ=⋅-， 即tan tan 0x y a θθ⋅--=，
因为圆O 与BC 2
21tan θ
=+，
即
3cos sin 2cos cos a θθθθ+=，从而得23cos sin a θ
θ
-=，
在直线BC 的方程中，令7y =，得77cos tan sin C x a a θθθ
=+=+， 所以2
17cos 71tan cos sin sin B C BC x θθθθθ=+-=⋅=， 所以793cos sin sin L AB BC a θθθ
-=+=+
= 当0a =时，2
cos 3θ=，设锐角0θ满足02cos 3
θ=，则02πθθ<<，
所以L 关于θ的函数是93cos ()sin L θθθ-=
，定义域是0,2πθ⎛⎫
⎪⎝
⎭．
（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即L 最小．
20223sin (93cos )cos 39cos ()sin sin 2L θθθθπθθθθθ---⎛⎫
'==<< ⎪⎝⎭
令()0L θ'=，得1cos 3θ=，设锐角1θ，满足112cos 33θ=<，得10,2πθθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭．
列表：
所以1θθ=时，1
min 1
1
9393cos [()]sin 3
L θθθ-⨯-=
=
=，所以建造此通道的最少费用至少为元． 【点睛】
本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
23．（1）证明见解析，n a n
=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由2n n S na n =+，()11211n
n S n a n +
+=+++作差得到
()1110n n n a na +--+=，进一步得到
()21110n n na n a ++-++=，再作差即可得到112n n n a a a +++=，从而使问题得到解决；
（2）n b ===.
【详解】
（1）2n n S na n =+，()11211n n S n a n ++=+++， 两式相减：()1110n n n a na +--+=①
用1n +换n ，得()21110n n na n a ++-++=②
②—①，得2120n n n na na na ++-+=，即112n n n a a a +++=， 所以数列{}n a 是等差数列，又1121S a =+， ∴11a =，22a =，公差1d =，所以n a n =. （II
）n b =
=
=
=
=
12111223
1n n T b b b n n =++
+=-
+-++
-=-<+ 【点睛】
本题考查由n S 与n a 的关系求通项以及裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道容易题.
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．等比数列{}n a 中，11
,28
a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4
B ．4
C ．14
±
D ．
14
2．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：2
4y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m
=+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．
1
4
B ．
15
C ．
13
D ．
18
3．ABC ∆
中，BC =D 为BC 的中点，4
BAD π
∠=，1AD =，则AC =（ ）
A
．B
．C
．6D ．2
4．已知双曲线22
22:10,0()x y C a b a b
-=>>的左、右顶点分别为12A A 、，点P 是双曲线C 上与12A A 、不
重合的动点，若123PA PA k k =， 则双曲线的离心率为( ) A
B
C ．4
D ．2
5．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2
π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π
个单位后得
到的函数图象关于直线x ＝2
π
对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3
π) B ．f(x)＝sin(2x －3
π) C ．f(x)＝sin(2x ＋
6
π) D ．f(x)＝sin(2x －
6
π) 6．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3
n n
b a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ）
A ．3-
B ．13
- C ．1
D ．3
7．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则1
2
z z 等于（ ） A ．345
i
+-
B ．
345
i
+ C ．34i -+
D ．
345
i
-+ 8．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区
间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h 的频率分别为（ ）
A ．300，0.25
B ．300，0.35
C ．60，0.25
D ．60，0.35
9．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，22PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π
B ．
32
π C ．12π
D ．24π
10．若23455
012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）
A ．
54
B ．
58
C ．
516
D ．
532
11．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2
2()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A ．134
B ．866
C ．300
D ．500
12．已知双曲线()222
2:10,0x y C a b a b
-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()
27,8
B ．()
25,7
C ．()
25,8
D ．()
27,7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211n n n S a n a -+=+，且25a =.若2
n
n S m >，则实数m 的取值范围为________.
14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()2
2211x y a a
+=＞上，其中A （0，
1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为
27
8
，则实数a 的值为_____． 15．如图，在菱形ABCD 中，AB=3，o 60BAD ∠=，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，2,2CE EB CF FD ==，若线段EF 上存在一点M ，使得5
6
AM xAB AD =+
()x R ∈，则x =____________，AM BD ⋅=____________．
（本题第1空2分，第2空3分）
16．在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为 ______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 2sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 和圆C 的普通方程；
（2）已知直线l 上一点(3,2)M ，若直线l 与圆C 交于不同两点,A B ，求
11MA MB
+的取值范围. 18．已知函数2
1()ln 2f x mx x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
. （Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1m 时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.
19．（6分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若(,)m a b c =-，()sin sin ,sin sin n A B B C =-+，(1,2)p =，且m n ⊥.
（1）求角C 的值； （2）求n p ⋅的最大值.
20．（6分）如图，在三棱柱111
ABC A B C
-中，AC BC
⊥，1
AB BB
⊥，
1
AC BC BB
==，D为AB的中点，且1
CD DA
⊥.
（1）求证：1
BB⊥平面ABC；
（2）求锐二面角11
C DA C
--的余弦值.
21．（6分）已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）经过点(0,1)3A、B、C为椭圆上不同的三点，且满足0
OA OB OC
++=，O为坐标原点．
（1）若直线AB、OC的斜率都存在，求证：AB OC
k k⋅为定值；
（2）求AB的取值范围．
22．（8分）设数阵1112
2122
a a
A
a a
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，其中11
a、
12
a、
21
a、{}
22
1,2,,6
a∈．设
{}{}
12
,,,1,2,,6
l
S e e e
=⊆，其中
12l
e e e
<<<，l N*
∈且6
l≤．定义变换kϕ为“对于数阵的每一行，若其中有k或k
-，则将这一行中每个数都乘以1
-；若其中没有k且没有k
-，则这一行中所有数均保持不变”（1
k e
=、
2
e、、
l
e）．()0
S
A
ϕ表示“将
A经过
1
e
ϕ变换得到
1
A，再将
1
A经过
2
e
ϕ变换得到
2
A、
，以此类推，最后将1l A-经过
l
e
ϕ变换得到
l
A”，记数阵
l
A中四个数的和为()0
S
T A．
（1）若0
12
15
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，写出0A经过2ϕ变换后得到的数阵1A；
（2）若0
13
36
A
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，{}
1,3
S=，求()0
S
T A的值；
（3）对任意确定的一个数阵0A，证明：()0
S
T A 的所有可能取值的和不超过4-．
23．（8分）已知向量()
1
cos,1,3sin,
2
a x
b x
⎛⎫
=-=-
⎪
⎭
，函数()()2
f x a b a
=+⋅-．
（1）求函数()
f x的最小正周期及单调递增区间；
（2）在ABC
∆中，三内角,,
A B C的对边分别为,,
a b c，已知函数()
f x的图像经过点
1
,
2
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，,,
b a c成
等差数列，且9AB AC ⋅=，求a 的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
利用等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝ ，即可得出．
【详解】
设4a 与8a 的等比中项是x ．
由等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝，6x a ∴=± ．
∴4a 与8a 的等比中项5
61
248
x a =±=±⨯=±．
故选A ． 【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】
设()11,B x y ，()22,D x y ，联立直线与抛物线方程，消去x 、列出韦达定理，再由直线x my =与抛物线的交点求出A 点坐标，最后根据||3||BD OA =，得到方程，即可求出参数的值； 【详解】
解：设()11,B x y ，()22,D x y ，由2
4x my m y x
=+⎧⎨
=⎩，得2
440y my m --=， ∵216160m m ∆=+>，解得1m <-或0m >，∴124y y m +=，124y y m =-.
又由24x my y x
=⎧⎨=⎩，得2
40y my -=，∴0y =或4y m =，∴()24,4A m m ，
∵||3||BD OA =，
∴)()
()
2
2
421
2(191616m y y m m +-=+，
又∵
()()2
2
212121241616y y y y y y m m -=+-=+， ∴代入解得18
m =. 故选：D 【点睛】
本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】
在ABD ∆
中，由正弦定理得sin 10B =
；进而得cos cos 45
ADC B π⎛⎫
∠=+= ⎪⎝⎭，在ADC ∆中，由余弦定理可得AC . 【详解】
在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4AD BD B π=
，得sin B =，又BD AD >，所以B
为锐角，所以cos B =
cos cos 4ADC B π⎛⎫
∴∠=+= ⎪⎝⎭
在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，
2AC ∴=.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力. 4．D 【解析】 【分析】
设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ，根据12
3PA PA k k =可得2
22
33y x a =-①，再根据又22
00221x y a b
-=②，由①②可得(
)()
22
2222033b a x
a b a -=-，化简可得2c a =，即可求出离心率．
【详解】
解：设()00,P x y ，()1,0A a -，()2,0A a ， ∵123PA PA k k =，
∴
0000·3y y x a x a
=+-，即22
20033y x a =-，① 又2200
221x y a b
-=，②， 由①②可得(
)()
22
2
2220
33b a x
a b a -=-，
∵0x a ≠±， ∴2230b a -=，
∴22223b a c a ==-， ∴2c a =， 即2e =， 故选：D ．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题． 5．D 【解析】 【分析】
由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2
x π=对称，得到22
3
π
π
ϕ⨯
+-
2
k π
π=+
，
由此求得满足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【详解】
分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线π
x 2
=
对称，得到πππ
2φk π232
⨯
+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案. 详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，
所以
2π
πω
=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π
6
个单位后，
得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线π
x 2
=
对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即π
φk π,k Z 6
=-∈，
取k 0=，得πφ6=-，满足π
φ2
<，
所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，故选D. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到sin(2)3
y x π
ϕ=+-，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
6．D 【解析】 【分析】
在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329
f x x =-函数的的单调性可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】
因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即
329n b n =
-，因为函数()3
29
f x x =-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且53
31b ==，所以数列{}n b 的最大值是3.
故选:D. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易. 7．A 【解析】 【分析】
先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22z i =-+，再利用复数的除法求解1
2
z z . 【详解】
因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+，。