20-21版：§3.2 第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题（步步高）

①
∵A→D＝(0,2,0)是平面 PAB 的法向量，
又C→E＝(－1，y－1，z)，CE∥平面 PAB， ∴C→E⊥A→D，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0. ∴y＝1，代入①得 z＝21，∴E 是 PD 的中点， ∴存在点 E，当点 E 为 PD 中点时，CE∥平面 PAB.
核心素养之逻辑推理
1.若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反.( √ )
2.两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线
垂直.( × )
3.若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行.
(√ ) 4.若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则l1⊥l2.( √ )
素养 提升
(1)求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为 向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐 标有关的等式. (2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通 过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生逻辑推理的思维品质.
3 随堂演练
PART THREE
1.已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ
等于
A.1
√B.2C.3D源自4解析 由 l1∥l2，得 v1∥v2，得1λ＝24＝36，故 λ＝2.
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2.已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面
2 题型探究
PART TWO
一、求平面的法向量
例 1 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点.AB＝AP＝1，AD＝ 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量.
解 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以 A 为坐标原点，A→B的方向为 x 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，
则 D(0， 3，0)，E0， 23，12，B(1,0,0)，C(1， 3，0)，
于是A→E＝0， 23，21，A→C＝(1， 3，0).
设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，
则nn··AA→→CE＝＝00，，
x＋ 3y＝0，
即
23y＋12z＝0，
所以zx＝＝－－
3y， 3y，
令 y＝－1，则 x＝z＝ 3.
设Q(0,1，z)， 则O→P＝－12，－21，21，B→D1＝(－1，－1,1)，
∵B→D1＝2O→P，∴O→P∥B→D1，
∴OP∥BD1.
A→P＝－1，0，12，B→Q＝(－1,0，z)， 当 z＝12时，A→P＝B→Q，
即AP∥BQ， 又AP∩OP＝P，BQ∩BD1＝B， 则有平面PAO∥平面D1BQ， ∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量
1.用向量表示直线的位置
条件 形式
直线l上一点A
表示直线l方向的向量a(即直线的 方向向量 ) 在直线l上取 A→B＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t， 使得 A→P＝_t_A→_B__
作用
定位置 定点
点A和向量a可以确定直线的_位__置___ 可以具体表示出l上的任意_一__点___
第三章 §3.2 立体几何中的向量方法
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解空间点、线、面的向量表示. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量. 3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.
内容索引
NEI RONG SUO YIN
知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练
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5.已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β， 则λ的值是
A.－130
√B.6
C.－6
D.130
解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行. ∴24＝3λ＝－ －12，∴λ＝6.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)平面的法向量. (2)利用向量方法解决空间中的平行问题. 2.方法归纳：定义法、数形结合. 3.常见误区：法向量的坐标求解是易错点.
A.xOy平行
√C.yOz平行
B.xOz平行 D.yOz相交
解析 因为A→B＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以 AB∥平面 yOz.
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3.若A(1,0，－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是
√A.(2,2,6)
B.(－1,1,3)
C.(3,1,1)
跟踪训练 2 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，PB 与底面所成的 角为 45°，底面 ABCD 为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1， 问在棱 PD 上是否存在一点 E，使 CE∥平面 PAB？若存在，求出点 E 的位置； 若不存在，请说明理由.
由nn··PP→ →CD＝ ＝00， ， 即x＋3y－3yz＝ －0z＝，0，
所以xz＝＝0，3y， 令 y＝1，则 z＝ 3. 所以平面 PCD 的一个法向量为(0,1， 3).
反思 感悟
求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量. (2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两 个值，就是平面的一个法向量. (3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一 定要注意这个坐标不为0.
故平面ABC的一个法向量为n＝(3,3,1).
二、利用空间向量证明平行问题
例2 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则 D(0,0,0) ， A(2,0,0) ， C(0,2,0) ， C1(0,2,2) ， E(2,2,1) ， F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1).
(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；
(2)找出(求出)平面内的两个 不共线 的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；
(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
n·a＝0，
n·b＝0；
(4)解方程组，取其中的 一组解 ，即得平面的一个法向量.
知识点三 用空间向量处理平行关系
D.(－3,0,1)
解析 ∵A，B 在直线 l 上，∴A→B＝(1,1,3)，与A→B共线的向量(2,2,6)可以是直 线 l 的一个方向向量.
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4.若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为 1，12，2 ， 则m为
A.－4
B.－6
√C.－8
D.8
解析 ∵l∥α，平面 α 的法向量为1，12，2， ∴(2，m,1)·1，12，2＝0. ∴2＋12m＋2＝0.∴m＝－8.
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则
线线平行
l∥m⇔ a∥b ⇔a＝kb(k∈R)
线面平行 面面平行
l∥α⇔a⊥μ⇔__a__·_μ_＝___0___ α∥β⇔μ∥v⇔____μ_＝___k_v__(_k_∈__R__)____
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
跟 踪 训 练 1 已 知 △ABC 的三 个 顶 点的 坐 标 分别 为 A(2 ， 1,0) ， B(0,2,3) ， C(1,1,3)，试求出平面ABC的一个法向量.
解 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z). ∵A(2,1,0)，B(0,2,3)，C(1,1,3)， ∴A→B＝(－2,1,3)，B→C＝(1，－1,0). 则有nn··AB→→BC＝＝00，， 即－ x－2yx＝＋0y＋ ，3z＝0， 解得xx＝ ＝3y.z， 令 z＝1，则 x＝y＝3.
2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为μ，则能使l∥α的是 A.a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B.a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C.a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)
反思 感悟
证明线面、面面平行问题的方法 (1)用向量法证明线面平行：①是证明直线的方向向量与平面内的 某一向量是共线向量且直线不在平面内；②是证明直线的方向向 量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；③是证 明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. (2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明 ―C―1B→1 ＝(2,0,0)，设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量. 由 n2⊥F→C1，n2⊥―C―1B→1 ，
得nn22··FC→→C1B1＝1＝22yx2＋ 2＝z02＝，0，
解得xz22＝＝－0，2y2.
令z2＝2，得y2＝－1， 所以n2＝(0，－1,2). 因为n1＝n2，即n1∥n2， 所以平面ADE∥平面B1C1F.
所以平面 ACE 的一个法向量为 n＝( 3，－1， 3).
延伸探究 本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？
解 如图所示，建立空间直角坐标系， 则 P(0,0,1)，C(1， 3，0)，所以P→C＝(1， 3，－1)， 即直线 PC 的一个方向向量为(1， 3，－1). 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z). 因为 D(0， 3，0)，所以P→D＝(0， 3，－1).
2.用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定：
条件
平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O
形式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得 O→P＝xa＋yb
(2)通过平面α上的一个定点A和法向量来确定：
平面的法向量
直线l⊥α，直线l的 方向向量 ，叫做平面α的法向量
设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
即nn11··AD→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
得xz11＝＝－0，2y1.
令z1＝2，则y1＝－1， 所以n1＝(0，－1,2). 因为F→C1·n1＝－2＋2＝0， 所以F→C1⊥n1.
又因为FC1⊄平面ADE， 所以FC1∥平面ADE.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
1.若a＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量
的是 A.(0,1,2)
√B.(3,6,9)
C.(－1，－2,3)
D.(3,6,8)
解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
确定平面位置
过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
3.直线的方向向量和平面的法向量
直线的方向向量
能平移到直线上的 非零 向量a， 叫做直线l的一个方向向量
平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 方向向量n ， 叫做平面α的法向量
知识点二 平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：
解 存在点E使CE∥平面PAB. 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x 轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz， ∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)， 设E(0，y，z)， 则P→E＝(0，y，z－1)，P→D＝(0,2，－1)，
∵P→E∥P→D，∴y(－1)－2(z－1)＝0，
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
面面平行有探究
典例 如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点， 设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.
解 如图所示，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q. 设正方体的棱长为1， 则 O21，12，0，P0，0，12，A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，