(新课标)高考数学总复习 课后作业(十五)文 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题

【创新方案】（新课标）2017届高考数学总复习 课后作业（十五）
文 新人教A 版
[全盘巩固]
一、选择题
1．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )
2．函数y ＝12x 2
－ln x 的单调递减区间为( )
A ．(0,1)
B ．(0，＋∞)
C ．(1，＋∞) D．(0,2)
3．(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝(2x －x 2
)e x
，则( ) A ．f (2)是f (x )的极大值也是最大值 B ．f (2)是f (x )的极大值但不是最大值 C ．f (－2)是f (x )的极小值也是最小值 D ．f (x )没有最大值也没有最小值
4．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e D ．0
5．已知函数f (x )＝x ＋1
ax
在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是( )
A ．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0,1] C ．(0,1] D ．(－∞，0)∪[1，＋∞) 二、填空题
6．(2016·某某模拟)f (x )＝x 3
－3x ＋a 有3个不同的零点，则a 的取值X 围是________． 7．若函数f (x )＝x 3
－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值X 围是________．
8．设a ∈R ，若函数f (x )＝e x
＋ax 有大于零的极值点，则a 的取值X 围为________． 三、解答题
9．已知函数f (x )＝x －2
x
＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．
10．(2016·某某模拟)已知函数f (x )＝e x
1＋ax 2，其中a 为正实数，x ＝1
2是f (x )的一个
极值点．
(1)求a 的值；
(2)当b >1
2
时，求函数f (x )在[b ，＋∞)上的最小值．
[冲击名校]
1．(2016·某某模拟)设f (x )在定义域内可导，其图象如右图所示，则导函数f ′(x )的图象可能是( )
2．已知定义域为R 的奇函数y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，当x ≠0时，f ′(x )＋
f x x >0，若a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )
A ．a <c <b
B ．b <c <a
C ．a <b <c
D ．c <a <b
3．若不等式2y 2
－x 2
≥c (x 2
－xy )对任意满足x >y >0的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为________．
4．设函数f (x )＝3x 2
＋ax e
x
(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处
的切线方程；
(2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值X 围．
答 案 [全盘巩固]
一、选择题
1．解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2
＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，
x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．
2．解析：选A 对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为{x |x >0}，y ′＝x －1x ＝x 2
－1
x
，
令x 2－1x <0，又x >0，所以x 2
－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12
x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1)．
3．解析：选A 由题意得f ′(x )＝(2－2x )e x
＋(2x －x 2
)e x ＝(2－x 2)e x
，当－2<x <2时，
f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x <－2或x >2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所
以f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝2(2－1)e 2
>0，在x ＝－2处取得极小值f (－2)
＝2(－2－1)e －
2
<0，又当x <0时，f (x )＝(2x －x 2
)e x
<0，所以f (2)是f (x )的极大值也
是最大值．
4．解析：选B 因为f ′(x )＝1x －1＝1－x x
，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，e]
时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.
5．解析：选D 函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1
ax
2，由于f (x )在(－∞，－1)
上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a
≤x 2
在(－∞，－1)上恒成立．由
于当x <－1时，x 2
>1，则有1a
≤1，解得a ≥1或a <0.
二、填空题
6．解析：由f ′(x )＝3x 2
－3>0，解得单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，f ′(x )<0
得单调递减区间为(－1,1)．要有3个不同零点需满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
f 1<0，
f －1>0，
解得a ∈(－2,2)．
答案：(－2,2)
7．解析：因为y ′＝3x 2
－12，由y ′>0，得函数的增区间是(－∞，－2)及(2，＋∞)，由y ′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以k －1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3.
答案：(－3，－1)∪(1,3)
8．解析：∵f (x )＝e x ＋ax ，∴f ′(x )＝e x
＋a . 令f ′(x )＝0，则a ＝－e x
.
由题意知a ＝－e x
<－e 0＝－1，即a <－1. 答案：(－∞，－1) 三、解答题
9．解：由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2
x 2－a x ＝x 2－ax ＋2
x 2
.
设g (x )＝x 2
－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2
－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．
②当Δ＝0，即a ＝2 2 时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．
③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝
a －a 2－8
2
，x 2＝
a ＋a 2－8
2
，0<x 1<x 2.
所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：
此时f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，a －a 2－82上单调递增，在
a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．
10．解：f ′(x )＝ax 2－2ax ＋1e x 1＋ax
22
. (1)因为x ＝12是f (x )的一个极值点，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 因此14a －a ＋1＝0，解得a ＝4
3
.
经检验，当a ＝43时，x ＝12是f (x )的一个极值点，故所求a 的值为43
.
(2)由(1)可知，f ′(x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫43x 2－83x ＋1e x
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋43x 22
，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝32，当x 变化时，
f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：
所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.
当12<b <32时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫b ，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞上单调递增，
所以f (x )在[b ，＋∞)上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝
e e 4
； 当b ≥3
2
时，f (x )在[b ，＋∞)上单调递增，
所以f (x )在[b ，＋∞)上的最小值为f (b )＝e b
1＋ab 2＝3e
b
3＋4b
2.
[冲击名校]
1．解析：选B 由f (x )的图象可知，当x <0时，是减函数，f ′(x )<0，排除C 、D 两项，当x >0时，函数的单调性是先减后增再减．∴当x →∞时，f ′(x )<0，故选B.
2．解析：选A 构造函数h (x )＝xf (x )，∴h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，∵y ＝f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，∴h (x )是定义在实数集R 上的偶函数，当x >0时，h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )>0，此时函数h (x )单调递增．
∵a ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2)，又2>ln 2>1
2
，∴b >c >a .
3．解析：由x >y >0,2y 2－x 2≥c (x 2
－xy )得c ≤2y 2－x 2
x 2－xy ，即c ≤2－x 2y 2x 2y 2－x y
.设t ＝x y
，则t >1，
令g (t )＝2－t 2
t 2－t ＝－t 2
＋t ＋2－t t 2
－t ＝－1＋2－t
t 2－t
， g ′(t )＝
－t 2
－t －2t －12－t
t 2－t 2
＝t 2－4t ＋2t 2－t 2
，当1<t <2＋2时，g ′(t )<0，
当t >2＋2时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (2＋2)＝22－4.则c ≤22－4，即实数c 的最大值为22－4.
答案：22－4
4．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝ 6x ＋a
e x
－3x 2
＋ax e x e x 2＝－3x 2
＋6－a x ＋a
e
x
， 因为f (x )在x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，即a ＝0.
当a ＝0时，f (x )＝3x 2
e x ，
f ′(x )＝－3x 2
＋6x e x
，故f (1)＝3e ，f ′(1)＝3
e ，从而
f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3
e
(x －1)，化简得3x －e y ＝0.
(2)由(1)知f ′ (x )＝
－3x 2
＋
6－a x ＋a
e
x
， 令g (x )＝－3x 2
＋(6－a )x ＋a ，
由g (x )＝0解得x 1＝6－a －a 2
＋366，x 2＝6－a ＋a 2
＋36
6.
当x <x 1时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数； 当x 1<x <x 2时，g (x )>0，即f ′(x )>0，故f (x )为增函数； 当x >x 2时，g (x )<0，即f ′(x )<0，故f (x )为减函数．
由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，知x 2＝6－a ＋a 2
＋366≤3，解得a ≥－9
2
，
故a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－92，＋∞.。