(近十年高考加一年模拟)高三数学 专题4 数列精品专题检测 理 新人教A版

专题4 数列
【2012高考试题】 一、选择题
1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25
2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是
A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项
B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0
C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*
N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*
N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列
3.【2012高考真题新课标理5】已知{}
n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=
（ ）
()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7
【答案】D
【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以
2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上
选D.
4.【2012高考真题上海理18】设25
sin
1π
n n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（ ）
A ．25
B ．50
C ．75
D ．100
5.【2012高考真题辽宁理6】在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则该数列前11项和S 11= (A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【答案】B
【解析】在等差数列中，
111111481111()
16,882
a a a a a a s ⨯++=+=∴=
=，答案为B
6.【2012高考真题四川理12】设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8
π
的等差数列，
125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则=-512
3)]([a a a f （ ）
A 、0
B 、
2116π C 、218
π D 、21316π
7.【2012高考真题湖北理7】定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的
等比数列{}n a ， {()}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)
(0,)-∞+∞上的如下函数：
①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()||f x x =； ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为
A ．① ②
B ．③ ④ C
．
①
③
D ．② ④
8.【2012高考真题福建理2】等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B.
【解析】由等差中项的性质知52
5
13=+
=
a a a ，又2,7344=-=∴=a a d a .故选B. 9.【2012高考真题安徽理4】公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则
162log a =（ ）
()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7 【答案】B
【解析】29
311771672161616432log 5a a a a a a q a =⇔=⇔=⇒=⨯=⇔=．
10.【2012高考真题全国卷理5】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列
的前100项和为
(A)
100101 (B) 99
101
(C) 99100 (D) 101100 【答案】A
二、填空题
11.【2012高考真题浙江理13】设公比为q （q ＞0）的等比数列{a n }的前n 项和为S n 。

若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则q=______________。

【答案】32
【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子． 即111233
1111132
32
a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨
+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，
解之得：3
12
q q 或=
=-(舍去)． 12.【2012高考真题四川理16】记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=，
[0.3]1-=-。

设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[
][
]()2
n n
n a
x x x n N *++=∈，现有下
列命题：
①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥时，1n x a >-；
④对某个正整数k ，若1k k x x +≥，则[]n x a =。

其中的真命题有____________。

（写出所有真命题的编号） 【答案】①③④
【解析】当5a =时，15x a == 255532x +
==，3
5
3[]
3[]22
x +==，故①正确；同样验
证可得③④正确，②错误.
13.【2012高考真题新课标理16】数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项
和为
14.【2012高考真题辽宁理14】已知等比数列｛a n ｝为递增数列，且
251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，则数列｛a n ｝的通项公式a n =______________。

【答案】2n
【解析】
2
429510111,(),,,n n a a a q a q a q a q =∴=∴=∴=
22211
2()5,2(1)5,2(1)5,2(22n n n n n n n a a a a q a q q q q q a +++=∴+=∴+===∴=解得或舍去），
15.【2012高考真题江西理12】设数列{a n },{b n }都是等差数列，若711=+b a ，
2133=+b a ，则=+55b a __________。

【答案】35
【解析】设数列}{},{n n b a 的公差分别为b d ,，则由2133=+b a ，得21)(211=+++d b b a ，即14721)(2=-=+d b ，所以7=+d b ， 所以35747)(41155=⨯+=+++=+d b b a b a 。

16.【2012高考真题北京理10】已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。

若2
1
1=
a ，32a S =，
则2a =_______。

18.【2012高考真题重庆理12】=-+∞
→n
n n n 51lim
2
.
【答案】
5
2 【解析】)
5)(5(5lim
51lim
2
2
22
n n n n n n n
n n n
n n n n ++-+++=-+∞
→∞
→
5
251151
5
1lim 55lim
2=+=++
=++=∞→∞
→n
n
n
n n n n 19.【2012高考真题上海理6】有一列正方体，棱长组成以1为首项、2
1
为公比的等比数列，
体积分别记为 ，，，
，n V V V 21，则=+++∞
→)(lim 21n n V V V 。

【答案】
7
8。

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，
8
1
为公比的等比数列，
∴1V +2V +…+n V =8
11811--
n =
)8
11(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78。

20.【2012高考真题福建理14】数列{a n }的通项公式，前n 项和为S n ，则
S 2012=___________.
三、解答题
21【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：
2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+，*N n ∈，
（1）设n n n a b b +=+11
，*N n ∈，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫
⎪⎪
⎨⎬ ⎪
⎝⎭
⎪⎪⎩⎭
是等差数列； （2）设n
n
n a b b •
=
+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +
=+11，∴11222
1n n
n n n n
n n a a b b a ++=
+⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
∴ 2
111n n n n b
b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∴ ()2
2
2
221111*n n n n n n n n b b b b n N a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是以1 为公差的等差数列。

（2）∵00n n a >b >，，∴
()
()
2
2
222
n n n n n n a b a b <a b +≤++。

∴12
2
12n n n n n
<a a b +=
≤+。

（﹡） 设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q
若1,q >则2
12=
2a a <a q
≤，∴当12log q n >时，112n n a a q >+=，与（﹡）矛盾。

【解析】（1）根据题设2
2
1n
n n n n b a b a a ++=
+和n n n a b b +=+11
，求出2
111n n n n b
b a a ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
证明2
2
111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
而得证。

（2）根据基本不等式得到12
2
12n n
n n n
<a a b +=≤+，用反证法证明等比数列{}
n a 的公比=1q 。

从而得到()1*n a a n N =∈的结论，再由1122=n n n n b b b a +=••知{}n b 是公比是1
2的等比数列。

最后用反证法求出12==2a b 。

22.【2012高考真题湖北理18】（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和.
（Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；
当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,
|||37|37, 3.
n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩
记数列{||}n a 的前n 项和为n S .
当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时， 234||||||n n S S a a a =+++
+5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-+
+-
2(2)[2(37)]311
510222
n n n n -+-=+
=-+. 当2n =时，满足此式.
综上，24,1,31110, 1.22
n n S n n n =⎧⎪
=⎨-+>⎪⎩
23.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足1221
1+-=++n n n a S ，n∈N ﹡
,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．
（1） 求a 1的值；
（2） 求数列{a n }的通项公式． （3） 证明：对一切正整数n ，有
2
3
11121<+++n a a a . 【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.
25.【2012高考真题四川理20】(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立。

（Ⅰ）求1a ，2a 的值； （Ⅱ）设10a >，数列1
10{lg }n
a a 的前n 项和为n T ，当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值。

【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前n 项和公式，以及对数运算等基础知识，考查逻辑推理能力，基本运算能力，以及方程与函数、化归与转化等数学思想
26.【2012高考真题四川理22】(本小题满分14分)
已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线2
2
n
a y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()
f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。

（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；
（Ⅱ）求对所有n 都有3
3()1()11
f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；
（Ⅲ）当01a <<时，比较
1
1
()(2)n
k f k f k =-∑与
27(1)()4(0)(1)
f f n f f -⨯-的大小，并说明理由。

【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识，考查基本运算能力、逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化由特殊到一般等数学思想
27.【2012高考真题广东理19】（本小题满分14分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足1221
1+-=++n n n a S ，n∈N ﹡
,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．
（4） 求a 1的值；
（5） 求数列{a n }的通项公式． （6） 证明：对一切正整数n ，有
2
3
11121<+++n a a a . 【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般.
30.【2012高考真题江西理17】（本小题满分12分） 已知数列{a n }的前n 项和kn n S n +-=2
2
1，*N k ∈,且S n 的最大值为8. （1）确定常数k ，求a n ； （2）求数列}229{n
n
a -的前n 项和T n 。

【答案】
31.【2012高考真题安徽理21】（本小题满分13分）
数列{}n x 满足：2*
110,()n n n x x x x c n N +==-++∈
（I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <；
（II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列。

【答案】本题考查数列的概念及其性质，不等式及其性质，充要条件的意义，数列与函数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题的能力，推理论证和运算求解能力。

【解析】（I ）必要条件
当0c <时，2
1n n n n x x x c x +=-++<⇒数列{}n x 是单调递减数列。

充分条件
数列{}n x 是单调递减数列22
121110x x x x c c x ⇒>=-++⇔<=，
得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <。

（II ）由（I ）得：0≥c ，
①当0c =时，10n a a ==，不合题意；
②当0c >时，2
2132,201x c x x c c x c c =>=-+>=⇔<<，
22
11010n n n n n x x c x x c x x c +-=->⇔<<⇔=≤<，
22211111()()()(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+-。

32.【2012高考真题天津理18】（本小题满分13分）
已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，}{n b 是等比数列，且
27,24411=+==b a b a ，
1044=-b S .
（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）记n n n n b a b a b a T 1211+++=- ，*
N n ∈，证明n
n n b a T 10212+-=+（*
N n ∈）.
【答案】
33.【2012高考真题湖南理19】（本小题满分12分）
已知数列{a n }的各项均为正数，记A （n ）=a 1+a 2+……+a n ，B （n ）=a 2+a 3+……+a n +1，C （n ）=a 3+a 4+……+a n +2，n =1,2，……
（1） 若a 1=1，a 2=5，且对任意n ∈N﹡，三个数A （n ），B （n ），C （n ）组成等差数列，求
数列{ a n }的通项公式.
（2） 证明：数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意N n *
∈，三个
数A （n ），B （n ），C （n ）组成公比为q 的等比数列.
【答案】解（１）对任意N n *
∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以 ()()()(),B n A n C n B n -=- 即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=
故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=- （Ⅱ）（１）必要性：若数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，则对任意N n *
∈，有
1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是
12)2311212(......(),()......n n n n
q a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++
23
1)
342231231
(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ 即
()()B n A n ＝()()
C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. 【解析】
【2011年高考试题】
1. (2011年高考四川卷理科8)数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且
1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a =( )
（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 答案：B
解析：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法
21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==.
2.(2011年高考全国卷理科4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，
224A n S S +-=，则k =
（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）
5
3. (2011年高考广东卷理科11)等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若
141,0k a a a =+=，则k = .
【答案】10
【解析】由题得1061031)1(12
34428
99=-=∴⎪⎩
⎪⎨⎧=++-+•+=•+
k d d d k d d
5. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升
答案：
67
66
解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a 1,a 2,，……，a 9，公差为d ，则有a 1+a 2+a 3+a 4=3,
a 7+a 8+a 9=4,即4a 5-10d =3,3a 5+9d =4,联立解得：56766a =
.即第5节竹子的容积67
66
. 5.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

【答案】2000
【解析】设树苗集中放置在第i 号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为
2[(1)(2)l i i =-+-+
21++12(19)(20)]10i i ++++-+-⨯
=2
(21210)20i i -+⨯221399
[()]2024
i =-
+⨯即1011i =或时min 2000l =.
6.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++= 解析：74. 28463737a a a a a a +=+=+=，故246823774a a a a +++=⨯=
7.(2011年高考江苏卷13)设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________
8．(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{a n }中，a 1=
1
2
，a 4=-4，则公比q=______________；12...n a a a +++=____________。

【答案】—2 2
12
1
-
-n 9. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行
9
8
18
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 【解析】（I ）当13a =时，不合题意；
当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意； 当110a =时，不合题意。

因此1232,6,18,a a a === 所以公式q=3，
故1
23.n n a -=⋅
10.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分） 已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10
（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）求数列1
2n n a -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和.
综上，数列12n n a -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为1
2n n n S -=. 11.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且
11a ，21a ，4
1
a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S （Ⅱ）记1231111...n n A S S S S =
++++，212221111...n
n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.[
【解析】（Ⅰ）
2
22141112
214
111()(3)a a a a d a a d a a a =⋅⇒=⇒+=+1d a a ⇒== 则 1111(1)(1)n a a n d a n a na na =+-=+-==，
1(1)(1)(1)
222n n n n n n n S a n d an a a --+=+=+= （Ⅱ）1231111...n n
A S S S S =++++1111...122334(1)2222
n n a a a a =++++
⨯⨯⨯+ 2121
1223a a =+
⨯⨯ 21
34
a +⨯2121
(1)(1)1
a n n a n ++
=-++
因为22n n a a =，所以2112221111...n n B a a a a -=++++
1
1()121
12n a -=⋅-21(1)2n a =-
当2n ≥时，
201221n
n n n n C C C C n =++++>+即111112
n n -<-+；
所以当0a >时，n n A B <；当0a <时，n n A B > .
12.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分）
在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a +=⋅求数列{}n b 的前n 项和n S .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知1tan tan tan(2)tan(3)n n n b a a n n +=⋅=+⋅+，1n ≥
又
tan(3)tan(2)
tan[(3)tan(2)]tan11tan(2)tan(3)
n n n n n n +-++-+=
=++⋅+
tan(3)tan(2)
tan(2)tan(3)1tan1
n n n n +-+∴+⋅+=
-
所以数列{}n b 的前n 项和为
tan(12)tan(13)tan(22)tan(23)tan(2)tan(3)tan(13)tan(12)tan(23)tan(22)tan(3)tan(2)
tan1tan1tan1
tan(2)tan 3tan1n S n n n n n
n n
=+⋅+++⋅++++⋅++-++-++-+=
+++-+-=-…………
13. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分） 已知数列{}n a 与{}n b 满足：112
3(1)0,2
n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *
n ∈N ，且
122,4a a ==．
（Ⅰ）求345,,a a a 的值；
（Ⅱ）设*
2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；
（Ⅲ）设*
242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：
4*17
()6n
k k k
S n N a =<∈∑． 【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
（Ⅰ）解:由3(1)2n n b +-=,*
n ∈N ,可得1,2,n n b n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数
, 又1120,n n n n n b a a b a +++++=
当n=1时,12320a a a ++=,由12a =,24a =,得33a =-;
当n=2时,23420a a a ++=,可得45a =-. 当n=3时,34520a a a ++=,可得54a =.
（III ）证明：由（II ）可得2121(1)k
k k a a -++=-，
于是，对任意*
2k N k ∈≥且，有
133********,()1,1,
(1)() 1.
k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-
将以上各式相加，得121(1)(1),k
k a a k -+-=-- 即1
21(1)(1)k k a k +-=-+，
此式当k=1时也成立.由④式得1
2(1)(3).k k a k +=-+
从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-
2124 3.k k k S S a k -=-=+
所以，对任意*
,2n N n ∈≥，
44342414114342414()n
n
k m m m m
k m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑
12221232(
)2222123n
m m m m m
m m m m =+-+=--++++∑ 1
23
(
)2(21)(22)(22)
n
m m m m m ==++++∑
2253232(21)(22)(23)
n
m m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)
n m m m n n =<++-+++∑ 151111113
[()()(
)]323557
2121(22)(23)
n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 15513
36221(22)(23)
7.6
n n n =+-⋅+
+++<
对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意*
,n N ∈
21212
12212n n
n n
S S S S a a a a --+++
+ 321212
41234
212(
)()(
)n n
n n
S S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)
n n n
=--+--+
+-
---- 22211121()()(
)41244(41)
44(41)
n n n
n n =-+-+-
-+-- 111().4123
n n ≤-+=-
14. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分）
已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=.
（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值
.
15. (2011年高考湖南卷理科16)对于*
∈N n ，将n 表示为
0112211022222⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=---k k k k k a a a a a n ，当0=i 时，
1=i a ，当k i ≤≤1时，i a 为0或1.记()n I 为上述表示中i a 为0的个数（例如：0211⨯=，
0122020214⨯+⨯+⨯=，故()01=I ，()24=I ），则（1）()=12I ；（2）
()=∑=127
1
2n n I .
答案：()=12I
2; ()=∑=127
1
2n n I 1093
解析：（1）由题意知0123
2020212112⨯+⨯+⨯+⨯=，所以()=12I 2；
（2）通过例举可知：()01=I
，()12=I ，()24=I ，()38=I ，()416=I ，()532=I ，
()664=I ，
()7128=I ，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三
角”中的规律： 从而
()210
127
1
2)1510631(2)654321(2
)1111111(2⨯+++++⨯++++++⨯++++++=∑=n n I
1093212)61(2)1551(2)201041(6543=⨯+⨯++⨯+++⨯++++.
评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用. 16. (2011年高考广东卷理科20)设0,b >数列{}n a 满足1
1
1=,(2)22
n n n nba a b a n a n --=≥+-,
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2) 证明：对于一切正整数n,1
112
n n n b a ++≤+
②当2,.2
n n b A ==
时
(2)
,222,2n n n
n nb b b a b b ⎧-≠⎪
=-⎨⎪=⎩
（2）当2b ≠时，（欲证1111(2)21,(1)2222
n n n n n n
n n n n n nb b b b b a nb b b ++++--=≤+≤+--只需证）
1
1
111212(2
)(2)(22)2
n n
n n n n n n n b b
b b b b ++++----+=++++-
112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=++++++
+
2
1212222()2
22
n n n n
n
n n n b b b b b b
b --=++
+++++
12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=⋅=⋅，
1
1(2) 1.22n n n n n n nb b b a b ++-∴=<+-
当1
12,2 1.2n n n b b a ++===+时
综上所述1
1 1.2
n n n b a ++≤+
17. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11(0),(,,1)n n a a a a rS n N r R r ++=≠=∈∈≠- (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若存在k N +∈，使得12,,k k k S S S ++成等差数列，试判断：对于任意的m N +∈，且2m ≥，
12,,m m m a a a ++是否成等差数列，并证明你的结论.
本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想. 解析：
（Ⅰ）由已知1n n a rS +=，可得21n n a rS ++=，两式相减可得2111()n n n n n a a r S S ra ++++-=-
即21(1)n n a r a ++=+又21a ra ra ==，所以当0r =时，数列{}n a 为：,0,,0a …，…； 当0,1r r ≠≠-时，由已知0a ≠，所以0()n a n N +≠∈ 于是由21(1)n n a r a ++=+
，可得
2
1
1()n n a r n N a +++=+∈， 23,.,.n a a a ∴…,…成等比数列，
当≥n 2时，2(1)n n a r r a -=+ 综上，数列{}n a 的通项公式为2
,1
(1), 2.
n n a n a r r a n -=⎧=⎨
+≥⎩ 18.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。

（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 设实数数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)*
11n n n S a S n N ++=∈
（Ⅰ）若122,,2a S a -成等比数列，求2S 和3a （Ⅱ）求证：对3k ≥有14
03
n n a a +≤≤≤。

解析：（Ⅰ）由题意221222112
2S a a S a S a a ⎧=-⎨==⎩，得2
222S S =-，
由2S 是等比中项知20S ≠，因此22S =-， 由23332S a S a S +==，解得，2322
13
S a S
=
=- （Ⅱ）证明：有题设条件有11n n n n a S a S ++=+， 故11,1n n S a +≠≠，且111,11
n n n n n n S a
a S S a +++=
=-- 从而对3k ≥有1
111211
1121
11
111
k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a S a S a a ------------+
+-===-+-+- ①
19．(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) 设d 为非零实数，a n =
1n
[C 1n d+2C n 2d 2+…+(n—1)C n n-1d n-1+nC n n d n ](n∈N *
). (I) 写出a 1,a 2,a 3并判断{a n }是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设b n =nda n (n∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和S n ．
解析：（1）
2
123,(1),(1)a d a d d a d d ==+=
+
20.(2011年高考全国卷理科20)设数列{}n a 满足10a =且
111
1.11n n
a a +-=--
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1
1
1, 1.n
n n n k n
k a b b S n
+=-=
=∑记S 证明：
【解析】：（Ⅰ）由
111
1.11n n
a a +-=--得11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭
为等差数列，
前项为
1111,1,1(1)111n d n n a a ===+-⨯=--于是，11
1,1n n a a n n
∴-==-
（Ⅱ）
11
1
111
n
n
n
a n
b
n
n
+-
-
-++
==
1
11
n n
n n n n
+-
==-
++
1
()()()
12231
n
n k
k
S b
n n
=
==-+-++-
+
∑11
1
n
=-<
+
21.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列}
{
n
a的首项1
1
=
a，前n
项和为
n
S，已知对任意整数k属于M，当n>k时，)
(2
k
n
k
n
k
n
S
S
S
S+
=
+
-
+
都成立
（1）设M=｛1｝，2
2
=
a，求
5
a的值；
（2）设M=｛3，4｝，求数列}
{
n
a的通项公式
（2）由题意：
333444
3,2(),(1);4,2(),(2)
n n n n n n
n S S S S n S S S S
+-+-
∀>+=+∀>+=+，42135314
4,2(),(3);5,2(),(4);
n n n n n n
n S S S S n S S S S
+-++-+
∀>+=+∀>+=+
当5
n≥时，由（1）（2）得：
434
2,(5)
n n
a a a
+-
-=
由（3）（4）得：
524
2,(6)
n n
a a a
+-
-=
由（1）（3）得：
421
2,(7);
n n n
a a a
+-+
+=
由（2）（4）得：
531
2,(8);
n n n
a a a
+-+
+=
由（7）（8）知：
412
,,,
n n n
a a a
++-
成等差，
513
,,,
n n n
a a a
++-
成等差；设公差分别为：
12
,,
d d
由（5）（6）得：
532442421541222,(9);222,(10);n n n n n n a a d a a d a a d a a d +-++-+=+=-+=+=-+
由（9）（10）得：54214122321,2,;n n n n a a d d a d d a a d d ++---=-=+-=-{}a (2)n n ∴≥成等差，设公差为d,
在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：121222+6a 152(255),452;a d a a d a d +=++-=-即
1212228282(279),351a a d a a d a d ++=++-=-即 23,2,2 1.n a d a n ∴==∴=-
22．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分）
设整数4n ≥，(,)P a b 是平面直角坐标系xOy 中的点，其中
,{1,2,3,,},a b n a b ∈>
（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1
()3
a b -是整数的点P 的个数，求n B
23．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分）
若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，
记()n S A =12...n a a a +++． （Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；
（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；
（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？
如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A 5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列， 所以
)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .
)].1()2)(1()1)(1[(2
)
1(121--++--+----=
n c n c n c n n 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以
所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数, 所以要使2
)
1(,0)(-=n n A S n 必须使
为偶数, 即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即. 当
,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a
),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a
;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时
当n A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，
,1,0243314-===---k k k a a a
当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列A n ，
使得.
0)(,01==n A S a
24．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分）
已知等比数列{a n }的公比q=3，前3项和S 3=
133。

（I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6
x π
=
处取得最大值，且最
大值为a 3，求函数f （x ）的解析式。

25．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为
36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合
**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列
123,,,,,
n c c c c 。

（1）求1234,,,c c c c ；
（2）求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,
n a a a ；
（3）求数列{}n c 的通项公式。

【2010年高考试题】
（2010浙江理数）（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5
2
S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-
解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为083
22=+q a a ，解得q =-2，
带入所求式可知答案选D ，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题
（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么
127...a a a +++=
（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35
（2010辽宁理数）（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

已知a 2a 4=1,
37S =,则5S =
（A ）
152 (B)314 (C)33
4
(D)172
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了同学们解决问题的能力。

【解析】由a 2a 4=1可得24
11a q =，因此12
1a q
=
，又因为2
31(1)7S a q q =++=，联力两式有11(3)(2)0q q +-=，所以q=
1
2
,所以5514(1)
3121412
S --
==-，故选B 。

（2010江西理数） 5.等比数列
{}
n a 中，12a =，8a =4，函数
()128()()
()f x x x a x a x a =---，则()'0f =（ ）
A ．6
2 B. 9
2 C. 12
2 D. 15
2 【答案】C
【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。

考虑到求导中，含有x 项均取0，则()'
0f 只与函数()f x 的一次项
有关；得：412123
818()2a a a a a a ⋅⋅==。

（2010江西理数）4. 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

（ ）
A. 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

B. 错误！不能通过编辑域代码创建对象。

C. 2
D. 不存在
【答案】B
【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。

1133lim
(
)1213
n
n →+∞-=-
（2010重庆理数）（1）在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 解析：
832007
2010
==q a a 2=∴q （2010四川理数）（8）已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+，则lim
n
n n
a S →∞=
（A ）0 （B ）
1
2
（C ） 1 （D ）2
（2010天津理数）（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且
369s s =，则数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前5项和为
（A ）
158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158
【答案】C
【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。

显然q≠1，所以
36
3 9(1q)1-
=
12
1-q1
q
q q
q
-
⇒+⇒=
-
，所以
1
{}
n
a
是首项为1，公比为
1
2
的等比数列，前5项和
5
5
1
1()31
2
116
1
2
T
-
==
-
.
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。

（2010广东理数）4. 已知{}
n
a为等比数列，S n是它的前n项和。

若
231
2
a a a
⋅=，且
4
a与
2
7
a的等差中项为
5
4
，则
5
S=
A．35 B.33 C.31 D.29
1.（2010安徽理数）10、设{}n a是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为,,
X Y Z，则下列等式中恒成立的是
A、2
X Z Y
+=B、()()
Y Y X Z Z X
-=-
C、2
Y XZ
=D、()()
Y Y X X Z X
-=-
【答案】D
【分析】取等比数列1,2,4,令1
n=得1,3,7
X Y Z
===代入验算，只有选项D满足。

【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n 表示代入验证得结论.
（2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n s 为前n 个圆的面积之和，则lim n →∞
n s =
A ． 22
r π B. 8
3
2r π C.42r π D.62r π
（2010福建理数）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】A
【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得
2d =，
所以22(1)
11212(6)362
n n n S n n n n -=-+
⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小
值。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。

（2010辽宁理数）（16）已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n
a n
的最小值为__________.
（2010福建理数）11．在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a = ． 【答案】n-1
4
【解析】由题意知11141621a a a ++=，解得11a =，所以通项n a =n-1
4。

【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式的应用，属基础题。

3. （2010江苏卷）8、函数y=x 2
(x>0)的图像在点(a k ,a k 2
)处的切线与x 轴交点的横坐标为
a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a k ,a k 2
)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2
k
a x =
，
所以1135,1641212
k
k a a a a a +=
++=++=。

（2010江西理数）22. （本小题满分14分） 证明以下命题：
（1） 对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得222
a b c ，，成等差数列。

（2） 存在无穷多个互不相似的三角形△n ，其边长n n n a b c ，，为正整数且222
n n n
a b c ，，成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

下证互不相似。

任取正整数
m ，n ，若△m
，
△
n
相似：则三边对应成比例
2222
2221121
21121
m m m m m n n n n n --++-==--++-，
由比例的性质得：
11
11
m m m n n n -+=⇒=-+，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

（2010北京理数）（20）（本小题共13分） 已
知
集
合
121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)
n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于
12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为 1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…
A 与
B 之间的距离为111
(,)||i d A B a b -=
-∑
（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ⊆，P 中有m(m≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d
(P).
证明：d
（P ）≤
2(1)
mn
m -.
所以1
(,)||(,)n
i
i
i d A C B C a b d A B =--=
-=∑
(II)设12(,,...,)n A a a a =，12(,,...,)n B b b b =，12(,,...,)n C c c c =n S ∈ (,)d A B k =，(,)d A C l =，(,)d B C h =. 记(0,0,...,0)n O S =∈，由（I ）可知
(,)(,)(,)d A B d A A B A d O B A k =--=-= (,)(,)(,)d A C d A A C A d O C A l =--=-= (,)(,)d B C d B A C A h =--=
所以||(1,2,...,)i i b a i n -=中1的个数为k ，||(1,2,...,)i i c a i n -=的1的
个数为l 。

设t 是使||||1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，则2h l k t =+- 由此可知，,,k l h 三个数不可能都是奇数，
即(,)d A B ,(,)d A C ,(,)d B C 三个数中至少有一个是偶数。

（2010四川理数）（21）（本小题满分12分）
已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *
都有。