甘肃省酒泉市实验中学学业水平考试数学模拟试卷(三)(有详细答案)

甘肃省酒泉市实验中学学业水平考试数学模拟试卷(三)
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)
1．已知集合A ＝{1，2}，集合B 满足A ∪B ＝{1，2，3}，则集合B 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．函数f (x )＝ln(x 2
－x )的定义域为( ) A ．(0，1)
B ．[0，1]
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)
3．已知x ，y 的可行域如图阴影所示，z ＝mx ＋y (m >0)在该区域内取得最小值的最优解有无数个，则实数m 的值为( )
A ．－74 B.47 C.1
2
D ．2
4．设α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，下列命题中，可判断α∥β的是( ) A ．l ⊂α，m ⊂α且l ∥β，m ∥β B ．l ⊂α，m ⊂β且m ∥α C ．l ∥α，m ∥β且l ∥m D ．l ⊥α，m ⊥β且l ∥m 5．设M ＝x 2
，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M <N D ．与x 有关
6．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7)
B ．(－7，24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
7．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10
a 7＋a 8＝( )
A. 2 B ．3－2 2 C ．3＋2 2 D. 3
8．若f (x )是偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则f (x －1)＜0的解集是( ) A ．(－1，0) B ．(－∞，0)∪(1，2) C ．(1，2)
D ．(0，2)
9．如果cos (π＋A )＝－12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.2
2
10．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2
＋y 2
＝2的位置关系一定是( ) A ．相离
B ．相切
C ．相交但直线不过圆心
D ．相交且直线过圆心
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
11．函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－x 的最大值为 .
12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝5
13
，a ＝1，则
b ＝________．
13．已知函数f (x )＝4x ＋a
x
(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________． 14．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为__________m.
15．在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2
＋y 2
＝9相交”发生的概率为________．
三、解答题(本大题共5小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
16．（8分）已知数列{a n }为单调递减的等差数列，a 1+a 2+a 3=21，且a 1﹣1，a 2﹣3，a 3﹣3成等比数列．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =|a n |，求数列{b n }的前项n 和T n ．
17．(8分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝3
5
.
(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．
18．已知二次函数f （x ）=ax 2
+2x +c 的对称轴为x =1，g （x ）=x +（x ＞0）． （1）求函数g （x ）的最小值及取得最小值时x 的值；
（2）试确定c 的取值范围，使g （x ）﹣f （x ）=0至少有一个实根；
19.（8分）据相关规定，24小时内的降水量为日降水量（单位：mm ），不同的日降水量对应
的降水强度如下表： 日降水量 (010)，
[1025)，
[2550)，
[50100)， [100250)， [250)+∞，
降水强度
小雨 中雨 大雨 暴雨 大暴雨 特大暴雨
为分析某市“主汛期”的降水情况，从该市2015年6月～8月有降水记录的监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，具体数据如下： 16 12 23 65 24 37 39 21 36 68 （1）请完成以下表示这组数据的茎叶图；
1
2 2
13
367
65
（2）从样本中降水强度为大雨以上（含大雨）天气的5天中随机选取2天，求恰有1天是暴雨天气的概率．
20.(8分)在三棱锥V ­ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．
(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V ­ABC 的体积．
详细解答过程： 一、选择题
1．解析：∵A ∪B ＝{1，2，3}，A ＝{1，2}，∴集合B 中应含有元素3，故集合B 可以为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，故选D.
答案：D
2．解析：要使函数有意义，需满足x 2
－x >0，解得x <0或x >1，故选C. 答案：C
3．解析：由题意知y ＝－mx ＋z (m >0)，欲使目标函数在可行域内取得最小值的最优解有无数个，则需要－m ＝k AC ＝1－3
2－1
＝－2，∴m ＝2，因此选D.
答案：D
4．解析：选项A ，只有当l 与m 相交时，才有α∥β；选项B ，当m ∥α时，α与β还可能相交；选项C ，α与β也可能相交；选项D ，结合线面垂直的性质及面面平行的判定可知正确．
答案：D
5． 解析：M －N ＝x 2
＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋34
>0，∴M >N .
答案：A
6．解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 答案：B
7．解析：a 1，12
a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2
＝a 1＋2a 1q ，解得q ＝1＋2，
a 9＋a 10a 7＋a 8
＝q 2＝(1＋2)2
＝3＋2 2. 答案：C
8．解析：根据函数的性质作出函数f (x )的图象如图，把函数f (x )的图象向右平移1个单位，得到函数f (x －1)的图象，如图，则不等式f (x －1)＜0的解集为(0，2)．
答案：D
9．解析：∵cos(α＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝1
2，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋A ＝cos A ＝12.
答案：B
10．解析：∵x 2＋y 2
＝2的圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2
≤1，
又∵r ＝2，∴0<d <r ，∴直线与圆相交但直线不过圆心． 答案：C 二、填空题
11．解析：∵f (x )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322
＋112，而sin x ∈[－1，1]，∴当sin x ＝1时，取
最大值5.
答案：5
12． 解析：∵cos A ＝45，cos C ＝5
13，且A ，C 为三角形内角，
∴sin A ＝35，sin C ＝12
13
.
sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝63
65
，
又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝2113
.
答案：2113
13．解析：由题f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)，根据基本不等式4x ＋a x
≥4a ，当且仅当4x ＝a x
时取等号，而由题知当x ＝3时取得最小值，即a ＝36.
答案：36
14．解析：设电视塔AB 高为xm ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x .在Rt △
ADB 中，
∠ADB ＝30°，所以BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理，得BD 2
＝BC 2
＋CD 2
－2BC ·CD ·cos 120°，
即(3x )2
＝x 2
＋402
－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m. 答案：40
15． 解析：直线y ＝kx 与圆(x －5)2
＋y 2
＝9相交，需要满足圆心到直线的距离小于半径，d ＝|5k |1＋k
2
＜3，解得－34＜k ＜3
4，而k ∈[－1，1]，所以发生的概率3
22＝34. 答案：3
4
三、解答题
16．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2+a 3=21得a 2=7， ∴a 1=7﹣d ，a 3=7+d ，
∵a 1﹣1，a 2﹣3，a 3﹣3成等比数列， ∴
，即42=（6﹣d ）（4+d ），
解得d 1=4（舍），d 2=﹣2，
∴a n =a 2+（n ﹣2）d =7+（n ﹣2）•（﹣2）=﹣2n +11．
（2），
设数列{a n }的前项n 和为S n ，则．
当n ≤5时，
．
当n ≥6时，T n =b 1+b 2+…+b n =a 1+a 2+…+a 5﹣（a 6+a 7+…+a n ） =
．
∴．
17．解：(1)∵b 2＝a 2＋c 2
－2accos B ＝4＋25－2×2×5×35
＝17，
∴b ＝17. (2)∵cos B ＝3
5，
∴sin B ＝4
5
，
由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745
＝5
sin C
，
∴sin C ＝417
17.
18．解：（1）∵x ＞0，∴，
∴
，当且仅当
，即x =1时“=”成立，即g （x ）min =2，此时x =1．
（2）∵f （x ）=ax 2+2x +c 的对称轴为x =1， ∴a =﹣1，
∴f （x ）=﹣x 2
+2x +c ，
当x ∈（0，+∞）时，g （x ）﹣f （x ）=0至少有一个实根⇔g （x ）=f （x ）至少有一个实根． 即y =g （x ）与y =f （x ）的图象在（0，+∞）上至少有一个交点，f （x ）=﹣（x ﹣1）2
+1+c ， ∴f （x ）max =1+c ，g （x ）min =2，
∴1+c ≥2，∴c ≥1，∴c 的取值范围为[1，+∞）．
19. 解：（1）12 6
213 4 367 9 65 8
（2）记降水强度为大雨的3天为a，b，c，降水强度为暴雨的2天为d，e，从这5天中抽取2天的所有情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，基本事件总数为10.
记“5天中抽取2天，恰有一天发生暴雨”为事件A，可能结果为ad，ae，bd，be，cd，ce，即事件A包含的基本事件数为6.
所以恰有1天发生暴雨的概率
6
()0.6
10
P A==．
20. (1)证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB.
又∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，
∴VB∥平面MOC.
(2)证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，
∴OC⊥AB.
又∵平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，
∴OC⊥平面VAB.
又OC⊂平面MOC，
∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)解：在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝2，OC＝1.
∴等边三角形VAB的面积S△VAB＝ 3.
又∵OC⊥平面VAB，
∴三棱锥C­VAB的体积等于1
3
OC·S△VAB＝
3
3
.
又∵三棱锥V­ABC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，
∴三棱锥V­ABC的体积为
3 3
.。