上海市吴淞中学2020学年高二数学下学期期中考试(无答案)新人教版

2020学年度第二学期吴淞中学高二数学期中试卷
一、填空题（每题4分，共48分）
1．直线l 过点(31)-，，且它的一个法向量()23n →
=-，
，则直线l 的方程为 ． 2．已知直线10ax y -+=和直线230x y +=互相垂直，那么实数a = ．
3．已知直线1l 20y -+=和2l ：350x +-=，则直线1l 与2l 的夹角为 ． 4．已知方程1622
2=-+-k
y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． 5．经过点(34)P ，且与圆2225x y +=相切的直线方程是 ．
6．若圆0422
2=--+y x y x 的圆心到直线02=+-y x 的距离为 ．
7．从2、3、4、5这四个不同的数字中任选出三个数字，组成没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 个．
8．与双曲线2
214y x -=有共同渐近线，且过点M(2，2)的双曲线的标准方程为 ． 9．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22
=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为 ．
10．已知 A AB ,3=、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，1233
OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，则动点P 的轨迹方程是 ．
11．焦点在轴x 上的椭圆方程为2
221(0)x y a a
+=>，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点B ，使得122F BF π
∠=，那么实数a 的取值范围是 ．
12．已知AB 是椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的长轴，若把该长轴n 等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点121,,,n P P P -L ，设左焦点为1F ，则
()111121111n n lim
F A F P F P F P F B n -→∞+++++L = ．
二、选择题（每题4分，共16分）
13．已知直线420ax y a -++=和直线20x ay -+=平行，那么a 的值是 （ ）
（A ）2 （B ）2- （C ）2± （D ）不存在
14．已知椭圆22
912144x y +=，1F 、2F 为椭圆焦点，CD 为过1F 的弦，且倾斜角为α，则2F CD ∆的周长是 （ ）
（A ）10 （B ）12 （C ）16 （D ）随α变化而变化
15．若椭圆14222=+m y x 与双曲线122
22=-y m
x 有相同的焦点， 则实数m 为 （ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）±1 （D ）不确定
16．曲线1y =与直线()24y k x =-+有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ）
（A ）53(,]124 （B ）5(,)12+∞ （C ）5(0,)12 （D ）13(,)34
三、解答题（共86分）
17．（本题满分12分） 在直角坐标系下，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(12)A ，、(40)B ，、(24)C ，，求BC 边上的高所在直线的方程．
18．（本题满分12分）
已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(3)M m -，到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．
19．（本题满分14分）
已知圆C ：22(3)(1)4x y ++-=，若直线l 过点(40)A ，
，且被圆1C 截得的弦长为直线l 的方程．
20．（本题满分14分）
已知双曲线2
2
12y x -=，经过点(11)M ，能否作一条直线l ，使直线l 与双曲线交于A 、B ，且M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程；若不存在，说明理由．
21．（本题满分16分）
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，
要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱
线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？
（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和
拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=
，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到01．
米）．
22．（本题满分18分） 已知椭圆Γ的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三个顶点．
（1）若点M 满足1()2
AM AQ AB =+u u u u r u u u r u u u r ，求点M 的坐标； （2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E ．若
2
122b k k a
⋅=-，证明：E 为CD 的中点； （3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的
两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=u u u r u u u r u u u r ？令10a =，5b =，点P 的坐标是(81)--，
，若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=u u u r u u u r u u u r ，求点1P 、2P 的坐标．。